积分，例题（KBAT）

先令两者相等，求出曲线与直线的交点：

$$x^{2}=x+2 \;\Rightarrow\; x^{2}-x-2=0 \;\Rightarrow\; (x-2)(x+1)=0 \;\Rightarrow\; x=-1 \text{ 或 } x=2$$

在这两值之间，直线位于曲线上方，检验 $x=0$：直线为 $2$，曲线为 $0$。所以围成的面积是（上 − 下）的积分：

$$\text{面积}=\int_{-1}^{2}\big[(x+2)-x^{2}\big]\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}+2x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{2}$$

在上限 $x=2$ 处求值：

$$\frac{(2)^{2}}{2}+2(2)-\frac{(2)^{3}}{3}=2+4-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$$

再在下限 $x=-1$ 处求值：

$$\frac{(-1)^{2}}{2}+2(-1)-\frac{(-1)^{3}}{3}=\frac{1}{2}-2+\frac{1}{3}=-\frac{7}{6}$$

用上限的值减去下限的值：

$$\text{面积}=\frac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{20}{6}+\frac{7}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$$

区域绕 x 轴旋转所生成的体积为 $V=\pi\displaystyle\int_{a}^{b}y^{2}\,dx$。把曲线平方，正好干净地去掉根号：

$$y=\sqrt{x+1} \;\Rightarrow\; y^{2}=x+1$$

代入体积公式，上下限为 $x=0$ 与 $x=3$：

$$V=\pi\int_{0}^{3}(x+1)\,dx=\pi\left[\frac{x^{2}}{2}+x\right]_{0}^{3}$$

代入上下限；下限没有贡献：

$$=\pi\left(\frac{(3)^{2}}{2}+3\right)-\pi(0)=\pi\left(\frac{9}{2}+3\right)=\frac{15\pi}{2}$$

第 (a) 部分。用商法则 $\dfrac{d}{dx}\dfrac{u}{v}=\dfrac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^{2}}$ 对 $\dfrac{x}{x+1}$ 求导，其中 $u=x$、$v=x+1$，所以 $\frac{du}{dx}=1$、$\frac{dv}{dx}=1$：

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{x+1}\right)=\frac{(x+1)(1)-x(1)}{(x+1)^{2}}=\frac{x+1-x}{(x+1)^{2}}=\frac{1}{(x+1)^{2}}$$

这就证明了所求结果。第 (b) 部分。

由于积分是求导的逆运算，第 (a) 部分告诉我们 $\dfrac{x}{x+1}$ 是 $\dfrac{1}{(x+1)^{2}}$ 的原函数。于是直接对它代入上下限：

$$\int_{0}^{1}\frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx=\left[\frac{x}{x+1}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{1+1}-\frac{0}{0+1}=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}$$

这个区域是由 y 轴围成的，而不是 x 轴，所以要改为对 $y$ 积分，先把曲线方程改写成以 $x$ 为主项。

$$y=x^{2} \;\Rightarrow\; x=\sqrt{y} \quad (x\ge 0)$$

曲线与 y 轴之间的面积是 $\displaystyle\int_{c}^{d}x\,dy$，所以对 $\sqrt{y}$ 在 $y=1$ 到 $y=4$ 之间积分：

$$\text{面积}=\int_{1}^{4}\sqrt{y}\,dy=\left[\frac{2}{3}y^{3/2}\right]_{1}^{4}$$

代入上下限求值：

$$=\frac{2}{3}(4)^{3/2}-\frac{2}{3}(1)^{3/2}=\frac{2}{3}(8)-\frac{2}{3}(1)=\frac{16}{3}-\frac{2}{3}=\frac{14}{3}$$

位移只需对 $v$ 做一次定积分，但求总路程之前要先检查质点的运动方向，找出 $v=0$ 的时刻。

$$v=0: \; 6-2t=0 \;\Rightarrow\; t=3$$

(a) 当 $t=4$ 时相对于 $O$ 的位移，是 $v$ 从 $t=0$ 到 $t=4$ 的定积分：

$$s=\int_{0}^{4}(6-2t)\,dt=\big[6t-t^{2}\big]_{0}^{4}=(24-16)-0=8$$

(b) 质点在 $t=3$ 时改变方向，所以分别求出这一刻前后所走的路程：

$$\int_{0}^{3}(6-2t)\,dt=\big[6t-t^{2}\big]_{0}^{3}=18-9=9 \qquad \int_{3}^{4}(6-2t)\,dt=\big[6t-t^{2}\big]_{3}^{4}=8-9=-1$$

第二个积分为负值，是因为质点在那一秒内往回走，取其大小，再把两段路程相加：

$$\text{总路程}=9+|-1|=9+1=10$$

绕 y 轴旋转要用 $V=\pi\displaystyle\int_{c}^{d}x^{2}\,dy$，所以要把曲线方程改写成以 $x^{2}$ 为主项。

$$y=x^{2} \;\Rightarrow\; x^{2}=y$$

直接代入体积公式，上下限为 $y=0$ 与 $y=4$，不需要额外的代数处理，因为 $x^{2}$ 本身就是 $y$：

$$V=\pi\int_{0}^{4}y\,dy=\pi\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{4}$$

代入上下限：

$$=\pi\left(\frac{16}{2}\right)-\pi(0)=8\pi$$

先把二阶导数积分一次，得到斜率函数，并引入一个积分常数：

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=6x-4 \;\Rightarrow\; \frac{dy}{dx}=3x^{2}-4x+c_{1}$$

转折点表示该处斜率为零，把 $x=1,\ \dfrac{dy}{dx}=0$ 代入求 $c_{1}$：

$$3(1)^{2}-4(1)+c_{1}=0 \;\Rightarrow\; -1+c_{1}=0 \;\Rightarrow\; c_{1}=1$$

于是 $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-4x+1$。再积分一次得到 $y$，引入第二个常数：

$$y=x^{3}-2x^{2}+x+c_{2}$$

代入点 $(2,7)$ 求 $c_{2}$：

$$7=(2)^{3}-2(2)^{2}+(2)+c_{2}=8-8+2+c_{2}=2+c_{2} \;\Rightarrow\; c_{2}=5$$

这条曲线在两个根之间会跌到 x 轴下方，所以若直接从 $x=0$ 到 $x=4$ 做一次积分，负的部分会抵消掉一部分正值。应改为在 $x=1$ 和 $x=3$ 处把区域分开，先求原函数：

$$\int(x^{2}-4x+3)\,dx=\frac{x^{3}}{3}-2x^{2}+3x=F(x)$$

在每个边界求 $F$ 的值：

$$F(0)=0,\quad F(1)=\frac{1}{3}-2+3=\frac{4}{3},\quad F(3)=9-18+9=0,\quad F(4)=\frac{64}{3}-32+12=\frac{4}{3}$$

曲线在 $[0,1]$ 和 $[3,4]$ 位于 x 轴上方，但在 $[1,3]$ 位于下方，所以中间那一段要先取绝对值，再相加：

$$\text{面积}=\big[F(1)-F(0)\big]+\big|F(3)-F(1)\big|+\big[F(4)-F(3)\big]=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}+\frac{4}{3}$$

把三段相等的面积相加：

$$\text{面积}=4$$