积分，SPM 高级数学（中五）

在上一章里，你学会了微分，把一条曲线变成它的斜率函数 $\frac{dy}{dx}$。积分就是同一台机器反过来运转。

给出斜率函数，积分把原来的曲线找回来；给出变化率，它把原来的量找回来。因为它把微分倒过来，积分也常被称为反微分，而这两个运算正是同一个想法的两个方向，这也正是本章第一项内容标准要你理解的。

在 SPM 高级数学里，这是中五的第三章，与微分同属微积分这一板块。它包含四项直接取自 KSSM DSKP 的内容标准：积分作为微分的逆运算、不定积分、定积分，以及积分的应用。

这一章从一个想法，把微分倒过来，出发，走向整份课程里最有用的两个结果：曲线下的面积，以及旋转体的体积。

本章的核心是一条法则，被反复使用。要对 $x$ 的幂积分，你就把幂加一、再除以那个新的幂。

从这一个动作里长出了不定积分（它给出一族曲线，每一条都以常数 $+c$ 结尾）、由斜率函数复原出来的曲线方程，以及，一旦你加上上下限，定积分，它给出的是一个数而不是一个函数。

那个数正是积分变成几何的地方。定积分 $\int_{a}^{b} y\,dx$ 量的是曲线与 $x$ 轴之间夹住的面积，再进一步就是两条曲线之间的面积。

把其中一块区域绕某条轴旋转，同一个积分，把 $y$ 平方、再乘上一个 $\pi$，就给出它所生成的立体体积。起初像是倒着做的算术，最后成了一件量度没有简单公式可算的形状的工具。

我们的老师把积分当作微分的天然搭档，两者一起教：每一个积分结果都能靠再微分回去来检验。因为它位于中五较后，又能从一个想法里引出面积与体积，所以它是较长结构式题目的宠儿，这也使它成为一章：把演算写得仔细、写得完整，就能得到丰厚的回报。

积分分为四项内容标准。以下的编码与标题直接来自 DSKP，认得它们有助于你准确看出每一道题目在考哪一项技巧。

这四项标准按刻意安排的顺序层层递进。标准 3.1 定下一个大观念：积分与微分互为逆运算；3.2 把这个观念化为不定积分与常数 $+c$ 的一条可用法则；3.3 加上上下限得出定积分，再把它读作面积、读作体积；而 3.4 要你把整章调动起来去解题。

只要 3.1 的逆运算清楚了，3.2 的法则就不再显得任意，你不过是在问“我该微分什么才会得到这个？”

积分把微分倒过来。如果对函数 $F(x)$ 微分得到 $f(x)$，那么对 $f(x)$ 积分就把 $F(x)$ 找回来。

这就是那套记号背后的全部想法，也是你总能靠微分自己的答案来检验积分的原因，如果你回到了被积函数，那就对了。

$$\text{若 } \frac{d}{dx}F(x)=f(x)\ \text{ 则 }\ \int f(x)\,dx = F(x)+c$$

每一个不定积分都需要常数 $+c$。对常数微分得到零，所以当你把过程倒过来时，没有办法知道原来那里是什么常数，它可以是任何一个数。

因此不定积分代表的是一整族平行的曲线，你每一次都必须写上 $+c$。漏掉它是本章里最常见的小失误。

幂法则：把幂加一，再除以新的幂。对除了 $x^{-1}$ 以外的任何 $x$ 的幂，积分把指数升高一，再除以那个新的指数。

限制 $n\neq-1$ 很重要，因为那样 $n+1$ 会是零，而除以零无意义，这一个特殊情形落在本课程之外。

$$\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+c,\qquad n\neq -1$$

逐项积分，并把常数提到前面。积分是线性的：常数倍数直接穿过积分号，而和式一项一项地积分。

所以 $\int(6x^{2}-4x+5)\,dx$ 一块一块地做成 $2x^{3}-2x^{2}+5x+c$。单独一个常数积分成 $\int a\,dx = ax+c$。

遇到括号 $(ax+b)^{n}$，记得除以 $a$。当底数是一个线性表达式而不是单纯的 $x$ 时，你仍然把幂加一、除以新的幂，但你还必须除以 $a$，也就是 $x$ 的系数，来抵消链式法则。

忘了这个额外的除以 $a$ 是一个经典错误。

$$\int (ax+b)^{n}\,dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a\,(n+1)}+c,\qquad n\neq -1$$

斜率函数积分回去就是曲线。如果题目给你 $\frac{dy}{dx}$ 以及曲线经过的一个点，就积分求出用 $x$ 表示的 $y$ 加上 $c$，再把那个点代进去钉住 $c$ 的值。

正是那个点，把一族曲线变成题目所指的那一条特定曲线。

定积分是一个数，由反导数求出。加上下限与上限，积分就变成一个数值：积分得到 $F(x)$，再算 $F(b)-F(a)$。

常数 $+c$ 在这个相减里抵消，所以定积分你永远不写它。顺序要紧，是上限减下限，而不是反过来。

$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_{a}^{b} = F(b)-F(a)$$

曲线下的面积是一个定积分。曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴之间、从 $x=a$ 到 $x=b$ 的区域，面积是 $\int_{a}^{b} y\,dx$；若相对 $y$ 轴来量则是 $\int x\,dy$。

这是把区域切成许多细长矩形、在长条无限变薄时把它们的面积相加的极限情形，这正是标准 3.3 背后的图像。

$$A = \int_{a}^{b} y\,dx$$

符号带有含义，两条曲线之间的面积要相减。位于 $x$ 轴下方的区域给出负的积分，所以要得到真正的面积，你要在轴处把区域拆开，取每一片的大小。

对两条曲线之间的区域，就积分它们的差，上曲线减下曲线，$\int_{a}^{b}(y_{\text{上}}-y_{\text{下}})\,dx$。

把区域旋转，同一个积分就给出体积。把曲线下的面积绕某条轴转整整一圈，它就扫出一个立体。

把这个立体切成一片片薄圆盘、把它们的体积相加，就得到绕 $x$ 轴的 $V=\pi\int y^{2}\,dx$，或绕 $y$ 轴的 $V=\pi\int x^{2}\,dy$。别忘了 $\pi$，也记得在积分之前先把半径平方。

$$V = \pi\int_{a}^{b} y^{2}\,dx \qquad\text{或}\qquad V = \pi\int_{a}^{b} x^{2}\,dy$$

每一个积分都能靠微分来检验。因为这两个运算互为逆运算，抓错最快的办法就是微分你的答案、看看是否回到被积函数。

早早养成这个习惯：它把积分从一件你希望做对的事，变成一件你能当场核实的事。

积分可能出现在任一份笔试卷。试卷一（3472/1）历时 2小时，共 80分：甲组有 12题、共 64分，全部作答；乙组有 3题、共 16分，从中作答 2题。

试卷二（3472/2）历时 2小时30分钟，共 100分，分布于甲组（7题，50分，全部作答）、乙组（4题，30分，作答 3题）与丙组（4题，20分，作答 2题）。

两份卷的题目都是有限作答主观题与结构式题目，采用分析式评分，你用一台不可编程的科学计算器应考。积分特别适合试卷二较长的结构式题目，因为面积与体积的小题自然地串成一串：积分求出 $y$、算一个定积分得面积，再把同一块区域旋转得体积，分数一步一步累积起来。

我们不预测任何单一章节会占多少分，因为这逐年不同。

由于采用分析式评分，即使最后的数字略有偏差，你的方法仍能得分，所以务必写出积分后的表达式、上下限的代入，以及每一行的运算。我们的课以英文授课，而 SPM 试卷以马来文与英文双语命题，所以你会在两种语言里遇到关键术语，积分、不定积分、定积分、面积、旋转体积，无论题目怎样表述，你都能认出其中的微积分。

积分里大部分失分都来自少数几个反复出现的习惯，而每一个只要你能叫出它的名字就很容易改。每次做练习前先读一读，直到避开它们成为本能。

• 忘了积分常数。每一个不定积分都必须以 $+c$ 结尾，因为对常数微分得到零，而逆过程无法把它找回来。漏掉 $+c$ 是本章最常见的错误，而且当你需要一个点来求 $c$ 时，它还会毁掉下一步。
• 把幂加一却不除以新的幂（或反过来）。幂法则是一个两步的动作：把指数升高一，并且除以那个新的指数。只做一半，例如写成 $\int x^{3}\,dx = x^{4}$ 而没有 $\tfrac{1}{4}$，是常见的失误。永远把两步一起做。
• 对 $(ax+b)^{n}$ 积分时忽略了 $a$。对线性括号，你除了除以新的幂，还必须除以 $a$，也就是 $x$ 的系数。例如 $\int(2x+1)^{3}\,dx = \tfrac{(2x+1)^{4}}{8}+c$，其中的 $8$ 是 $4\times 2$。丢掉 $a$ 得到的答案微分回去对不上。
• 把上下限相减的顺序弄反。定积分是 $F(b)-F(a)$，上限减下限。把顺序颠倒会让你的答案变号。先写出方括号那一行，再代入上限、再代入下限，然后相减。
• 把负的积分当成负的面积。当一块区域沉到 $x$ 轴下方时，积分算出来是负的，但面积从来不是负的。在轴处把区域拆开，对每一部分积分，取每一块的大小再相加，不要报出负面积。
• 算体积时丢掉 $\pi$ 或忘了平方。绕 $x$ 轴的旋转体积是 $\pi\int y^{2}\,dx$：你必须在积分之前把 $y$ 平方，并保留 $\pi$ 这个因子。积分成 $y$ 而不是 $y^{2}$，或丢了 $\pi$，得到的根本不是体积。

这些都无关天分，每一个都只是练习中可以逐一勾掉的小习惯。在这一章拿高分的学生不过是细心的那些人：写上常数、把幂法则做全、把 $a$ 除出去、上下限按正确顺序相减、每个体积都由 $y^{2}$ 连同它的 $\pi$ 搭起来。

把每一次失误当作反馈而非失败，你的准确度就会很快攀升。

积分回报的是一套稳定的流程，把导数倒过来、加上常数，然后当上下限出现时，代入并相减。按下面的步骤走一遍，再用随后的资源温习与自测。

把学习时段保持得短而勤，而不是一次长时间硬啃。核心技巧，幂法则和它的括号版本，靠重复来建立，所以每天做几道混合题胜过偶尔一次马拉松。

当不定积分变得自动，就往定积分前进，再到面积与体积；当还不行时，就慢下来，把幂法则反复练，直到把导数倒过来成为本能。

1. 1

   把它锚在微分上

   拿几个你已经会的导数，直接把它们积分回去，让逆运算的关系，以及为什么要 $+c$，在你遇到任何一条新法则之前就变得显而易见。

2. 2

   先练幂法则，再练括号法则

   对 $x$ 的幂积分，直到加一再除变得自动，然后练 $(ax+b)^{n}$ 的形式，直到除以 $a$ 成为反射。每一个答案都用微分回去来检验。

3. 3

   由斜率函数复原曲线

   做那种给出 $\frac{dy}{dx}$ 和一个点的题：积分，再代入那个点求 $c$。这把不定积分接到一条具体的曲线上。

4. 4

   把积分读作面积与体积

   把定积分当作曲线下与两曲线之间的面积去求，区域在轴下方时留意符号，再用 $\pi\int y^{2}\,dx$ 把区域旋转求体积。

5. 5

   限时做完整的试卷二式题目

   在计时之下做那种把积分、面积与体积串在一起的较长结构式题目，事后复看例题精解，把方法收得更紧。

• 积分，温习笔记
• 积分，常见错误
• 积分，练习题
• 积分，例题精解（简单）
• 积分，例题精解（中等）
• 积分，例题精解（高阶思维）
• 积分，试卷二作答指南
• 积分，关键术语