Pengamiran, Contoh Kerja (KBAT)

Mula-mula cari tempat lengkung dan garis bersilang dengan menyamakan keduanya:

$$x^{2}=x+2 \;\Rightarrow\; x^{2}-x-2=0 \;\Rightarrow\; (x-2)(x+1)=0 \;\Rightarrow\; x=-1 \text{ atau } x=2$$

Antara nilai ini, garis terletak di atas lengkung, uji $x=0$: garis memberi $2$, lengkung memberi $0$. Jadi luas yang dibatasi ialah kamiran bagi (atas − bawah):

$$\text{Luas}=\int_{-1}^{2}\big[(x+2)-x^{2}\big]\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}+2x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{2}$$

Nilaikan pada had atas $x=2$:

$$\frac{(2)^{2}}{2}+2(2)-\frac{(2)^{3}}{3}=2+4-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$$

Kemudian pada had bawah $x=-1$:

$$\frac{(-1)^{2}}{2}+2(-1)-\frac{(-1)^{3}}{3}=\frac{1}{2}-2+\frac{1}{3}=-\frac{7}{6}$$

Tolak nilai bawah daripada nilai atas:

$$\text{Luas}=\frac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{20}{6}+\frac{7}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$$

Isi padu yang terjana apabila suatu rantau dikisarkan pada paksi-x ialah $V=\pi\displaystyle\int_{a}^{b}y^{2}\,dx$. Mengkuasaduakan lengkung menghapuskan punca dengan kemas:

$$y=\sqrt{x+1} \;\Rightarrow\; y^{2}=x+1$$

Gantikan ke dalam formula isi padu dengan had $x=0$ dan $x=3$:

$$V=\pi\int_{0}^{3}(x+1)\,dx=\pi\left[\frac{x^{2}}{2}+x\right]_{0}^{3}$$

Kenakan had; had bawah tidak menyumbang apa-apa:

$$=\pi\left(\frac{(3)^{2}}{2}+3\right)-\pi(0)=\pi\left(\frac{9}{2}+3\right)=\frac{15\pi}{2}$$

Bahagian (a). Bezakan $\dfrac{x}{x+1}$ dengan petua hasil bahagi $\dfrac{d}{dx}\dfrac{u}{v}=\dfrac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^{2}}$, dengan $u=x$ dan $v=x+1$, supaya $\frac{du}{dx}=1$ dan $\frac{dv}{dx}=1$:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{x+1}\right)=\frac{(x+1)(1)-x(1)}{(x+1)^{2}}=\frac{x+1-x}{(x+1)^{2}}=\frac{1}{(x+1)^{2}}$$

Ini membuktikan hasil yang dikehendaki. Bahagian (b).

Oleh sebab pengamiran menyongsangkan pembezaan, bahagian (a) memberitahu kita bahawa $\dfrac{x}{x+1}$ ialah kamiran bagi $\dfrac{1}{(x+1)^{2}}$. Jadi kenakan had padanya terus:

$$\int_{0}^{1}\frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx=\left[\frac{x}{x+1}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{1+1}-\frac{0}{0+1}=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}$$

Rantau ini dibatasi oleh paksi-y, bukan paksi-x, jadi kamir terhadap $y$, mula-mula tulis semula persamaan lengkung dengan $x$ sebagai objek.

$$y=x^{2} \;\Rightarrow\; x=\sqrt{y} \quad (x\ge 0)$$

Luas antara lengkung dan paksi-y ialah $\displaystyle\int_{c}^{d}x\,dy$, jadi kamir $\sqrt{y}$ antara $y=1$ dan $y=4$:

$$\text{Luas}=\int_{1}^{4}\sqrt{y}\,dy=\left[\frac{2}{3}y^{3/2}\right]_{1}^{4}$$

Nilaikan pada had:

$$=\frac{2}{3}(4)^{3/2}-\frac{2}{3}(1)^{3/2}=\frac{2}{3}(8)-\frac{2}{3}(1)=\frac{16}{3}-\frac{2}{3}=\frac{14}{3}$$

Sesaran ialah satu kamiran tentu bagi $v$, tetapi jumlah jarak memerlukan arah zarah disemak dahulu, cari bila $v=0$.

$$v=0: \; 6-2t=0 \;\Rightarrow\; t=3$$

(a) Sesaran dari $O$ apabila $t=4$ ialah kamiran tentu bagi $v$ dari $t=0$ hingga $t=4$:

$$s=\int_{0}^{4}(6-2t)\,dt=\big[6t-t^{2}\big]_{0}^{4}=(24-16)-0=8$$

(b) Zarah itu menyongsang arah pada $t=3$, jadi cari jarak yang dilalui sebelum dan selepas saat itu secara berasingan:

$$\int_{0}^{3}(6-2t)\,dt=\big[6t-t^{2}\big]_{0}^{3}=18-9=9 \qquad \int_{3}^{4}(6-2t)\,dt=\big[6t-t^{2}\big]_{3}^{4}=8-9=-1$$

Kamiran kedua negatif kerana zarah bergerak ke belakang pada saat itu, ambil magnitudnya, kemudian tambah kedua-dua peringkat perjalanan:

$$\text{Jumlah jarak}=9+|-1|=9+1=10$$

Kisaran pada paksi-y menggunakan $V=\pi\displaystyle\int_{c}^{d}x^{2}\,dy$, jadi lengkung perlu ditulis dengan $x^{2}$ sebagai objek.

$$y=x^{2} \;\Rightarrow\; x^{2}=y$$

Gantikan terus ke dalam formula isi padu antara $y=0$ dan $y=4$, tiada algebra tambahan diperlukan, kerana $x^{2}$ sudah pun ialah $y$:

$$V=\pi\int_{0}^{4}y\,dy=\pi\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{4}$$

Kenakan had:

$$=\pi\left(\frac{16}{2}\right)-\pi(0)=8\pi$$

Kamir terbitan kedua sekali untuk mendapat fungsi kecerunan, yang memperkenalkan satu pemalar kamiran:

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=6x-4 \;\Rightarrow\; \frac{dy}{dx}=3x^{2}-4x+c_{1}$$

Titik pusingan bermaksud kecerunan sifar di situ, jadi gantikan $x=1,\ \dfrac{dy}{dx}=0$ untuk mencari $c_{1}$:

$$3(1)^{2}-4(1)+c_{1}=0 \;\Rightarrow\; -1+c_{1}=0 \;\Rightarrow\; c_{1}=1$$

Jadi $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-4x+1$. Kamir sekali lagi untuk mendapat $y$, memperkenalkan pemalar kedua:

$$y=x^{3}-2x^{2}+x+c_{2}$$

Gantikan titik $(2,7)$ untuk mencari $c_{2}$:

$$7=(2)^{3}-2(2)^{2}+(2)+c_{2}=8-8+2+c_{2}=2+c_{2} \;\Rightarrow\; c_{2}=5$$

Lengkung ini turun ke bawah paksi-x antara kedua-dua puncanya, jadi satu kamiran sahaja dari $x=0$ hingga $x=4$ akan membiarkan bahagian negatif membatalkan sebahagian bahagian positif. Sebaliknya, bahagikan rantau pada $x=1$ dan $x=3$, dan mula dengan kamiran tak tentu:

$$\int(x^{2}-4x+3)\,dx=\frac{x^{3}}{3}-2x^{2}+3x=F(x)$$

Nilaikan $F$ pada setiap sempadan:

$$F(0)=0,\quad F(1)=\frac{1}{3}-2+3=\frac{4}{3},\quad F(3)=9-18+9=0,\quad F(4)=\frac{64}{3}-32+12=\frac{4}{3}$$

Lengkung berada di atas paksi pada $[0,1]$ dan $[3,4]$, tetapi di bawahnya pada $[1,3]$, jadi ambil magnitud bahagian tengah itu sebelum menambah:

$$\text{Luas}=\big[F(1)-F(0)\big]+\big|F(3)-F(1)\big|+\big[F(4)-F(3)\big]=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}+\frac{4}{3}$$

Tambah ketiga-tiga bahagian yang sama:

$$\text{Luas}=4$$