向量，例题（KBAT）

沿路径抵达 $P$：先从 $O$ 到 $A$，再沿 $AB$ 走一段，$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}$。先用 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 写出 $\overrightarrow{AB}$：

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$$

由于 $AP:PB=1:2$，点 $P$ 在被分成三份的线段上占一份，所以 $\overrightarrow{AP}=\tfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$：

$$\overrightarrow{AP}=\tfrac{1}{3}(\mathbf{b}-\mathbf{a})$$

现在沿路径相加，合并同类项：

$$\overrightarrow{OP}=\mathbf{a}+\tfrac{1}{3}(\mathbf{b}-\mathbf{a})=\mathbf{a}-\tfrac{1}{3}\mathbf{a}+\tfrac{1}{3}\mathbf{b}=\tfrac{2}{3}\mathbf{a}+\tfrac{1}{3}\mathbf{b}$$

先把 $M$ 与 $N$ 表示成从 $O$ 出发的向量：$\overrightarrow{OM}=\tfrac{1}{2}\mathbf{a}$，又因为 $ON:NB=2:1$，所以 $\overrightarrow{ON}=\tfrac{2}{3}\mathbf{b}$。

沿路径 $O\to A\to P$。用 $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OA}=\tfrac{2}{3}\mathbf{b}-\mathbf{a}$：

$$\overrightarrow{OP}=\mathbf{a}+h\!\left(\tfrac{2}{3}\mathbf{b}-\mathbf{a}\right)=(1-h)\mathbf{a}+\tfrac{2h}{3}\mathbf{b}$$

再沿路径 $O\to B\to P$。用 $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB}=\tfrac{1}{2}\mathbf{a}-\mathbf{b}$：

$$\overrightarrow{OP}=\mathbf{b}+k\!\left(\tfrac{1}{2}\mathbf{a}-\mathbf{b}\right)=\tfrac{k}{2}\mathbf{a}+(1-k)\mathbf{b}$$

由于 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 不平行，两个 $\overrightarrow{OP}$ 的表达式只有在系数相等时才能相等。令系数相等：

$$1-h=\tfrac{k}{2}\qquad\text{且}\qquad \tfrac{2h}{3}=1-k$$

由第一个方程 $k=2(1-h)=2-2h$。代入第二个：

$$\tfrac{2h}{3}=1-(2-2h)=2h-1 \;\Rightarrow\; 2h=6h-3 \;\Rightarrow\; 4h=3 \;\Rightarrow\; h=\tfrac{3}{4}$$

$$k=2-2\!\left(\tfrac{3}{4}\right)=2-\tfrac{3}{2}=\tfrac{1}{2}$$

先把向量 $\mathbf{a}+t\mathbf{b}$ 写成分量，保留 $t$ 为未知数：

$$\mathbf{a}+t\mathbf{b}=\binom{3+t}{-4+2t}$$

大小条件 $|\mathbf{a}+t\mathbf{b}|=2\sqrt{10}$ 平方后更好用，因为 $(2\sqrt{10})^{2}=40$。令分量平方和等于 $40$：

$$(3+t)^{2}+(-4+2t)^{2}=40$$

仔细展开每个平方并合并各项：

$$(9+6t+t^{2})+(16-16t+4t^{2})=5t^{2}-10t+25=40$$

把所有项移到一边并除以 $5$，得到简单的二次方程，再因式分解：

$$5t^{2}-10t-15=0 \;\Rightarrow\; t^{2}-2t-3=0 \;\Rightarrow\; (t-3)(t+1)=0$$

由于 $OC:CA=2:1$，点 $C$ 位于从 $O$ 到 $A$ 的 $\tfrac{2}{3}$ 处；同样的分数也确定了 $D$ 在 $OB$ 上的位置。先把两者写成从 $O$ 出发的向量：

$$\overrightarrow{OC}=\tfrac{2}{3}\mathbf{a}\qquad \overrightarrow{OD}=\tfrac{2}{3}\mathbf{b}$$

相减求出 $\overrightarrow{CD}$，并与 $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$ 比较：

$$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}=\tfrac{2}{3}\mathbf{b}-\tfrac{2}{3}\mathbf{a}=\tfrac{2}{3}(\mathbf{b}-\mathbf{a})=\tfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$$

沿 $A\to B\to C\to A$ 走一圈会回到起点，所以这三个位移向量之和为零向量。用这一点求出 $\overrightarrow{CA}$：

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\mathbf{0}\;\Rightarrow\;\overrightarrow{CA}=-\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)=-\left[\binom{5}{-3}+\binom{-2}{7}\right]=-\binom{3}{4}=\binom{-3}{-4}$$

接着求 $\overrightarrow{CA}$ 的大小，再除以它得到单位向量：

$$|\overrightarrow{CA}|=\sqrt{(-3)^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{25}=5\;\Rightarrow\;\hat{\mathbf{CA}}=\dfrac{1}{5}\binom{-3}{-4}$$

在平行四边形 $ABCD$ 中，对边 $AB$ 与 $DC$ 等长且平行，所以 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$。先求 $\overrightarrow{AB}$：

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\binom{5}{3}-\binom{1}{2}=\binom{4}{1}$$

由于 $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}$ 必须等于这个值，重新整理求 $\overrightarrow{OD}$：

$$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{AB}=\binom{6}{7}-\binom{4}{1}=\binom{2}{6}$$

因为 $\overrightarrow{OA}$ 与 $3\mathbf{i}+4\mathbf{j}$ 平行，它必定是该向量的标量倍数：$\overrightarrow{OA}=k(3\mathbf{i}+4\mathbf{j})$，其中 $k$ 为某个标量，因此 $p=3k$，$q=4k$。

$$\overrightarrow{OA}=k(3\mathbf{i}+4\mathbf{j})=3k\mathbf{i}+4k\mathbf{j}$$

利用大小条件求 $k$，注意 $|3\mathbf{i}+4\mathbf{j}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$：

$$|\overrightarrow{OA}|=|k|\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5|k|=20\;\Rightarrow\;|k|=4\;\Rightarrow\;k=4\text{ 或 }k=-4$$

当两点之间的向量是另一对共用同一点的向量的标量倍数时，三点共线。先求 $\overrightarrow{LM}$ 与 $\overrightarrow{MN}$：

$$\overrightarrow{LM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OL}=\binom{5}{4}-\binom{2}{1}=\binom{3}{3}\qquad \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=\binom{11}{10}-\binom{5}{4}=\binom{6}{6}$$

比较这两个向量：

$$\overrightarrow{MN}=\binom{6}{6}=2\binom{3}{3}=2\overrightarrow{LM}$$