Vektor, Contoh Kerja (KBAT)

Sampai ke $P$ dengan pergi dari $O$ ke $A$, kemudian sebahagian jalan di sepanjang $AB$: $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}$. Tuliskan $\overrightarrow{AB}$ dalam sebutan $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$ dahulu:

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$$

Oleh sebab $AP:PB=1:2$, titik $P$ ialah satu bahagian di sepanjang garis yang dibelah kepada tiga, jadi $\overrightarrow{AP}=\tfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$:

$$\overrightarrow{AP}=\tfrac{1}{3}(\mathbf{b}-\mathbf{a})$$

Kini tambah di sepanjang laluan dan kumpulkan sebutan serupa:

$$\overrightarrow{OP}=\mathbf{a}+\tfrac{1}{3}(\mathbf{b}-\mathbf{a})=\mathbf{a}-\tfrac{1}{3}\mathbf{a}+\tfrac{1}{3}\mathbf{b}=\tfrac{2}{3}\mathbf{a}+\tfrac{1}{3}\mathbf{b}$$

Tentukan $M$ dan $N$ sebagai vektor dari $O$ dahulu: $\overrightarrow{OM}=\tfrac{1}{2}\mathbf{a}$, dan oleh sebab $ON:NB=2:1$, $\overrightarrow{ON}=\tfrac{2}{3}\mathbf{b}$.

Ikut laluan $O\to A\to P$. Menggunakan $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OA}=\tfrac{2}{3}\mathbf{b}-\mathbf{a}$:

$$\overrightarrow{OP}=\mathbf{a}+h\!\left(\tfrac{2}{3}\mathbf{b}-\mathbf{a}\right)=(1-h)\mathbf{a}+\tfrac{2h}{3}\mathbf{b}$$

Kini ikut laluan $O\to B\to P$. Menggunakan $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB}=\tfrac{1}{2}\mathbf{a}-\mathbf{b}$:

$$\overrightarrow{OP}=\mathbf{b}+k\!\left(\tfrac{1}{2}\mathbf{a}-\mathbf{b}\right)=\tfrac{k}{2}\mathbf{a}+(1-k)\mathbf{b}$$

Oleh sebab $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$ tidak selari, dua ungkapan bagi $\overrightarrow{OP}$ hanya boleh sepadan jika pekalinya sepadan. Samakan pekali:

$$1-h=\tfrac{k}{2}\qquad\text{dan}\qquad \tfrac{2h}{3}=1-k$$

Daripada persamaan pertama $k=2(1-h)=2-2h$. Gantikan ke dalam yang kedua:

$$\tfrac{2h}{3}=1-(2-2h)=2h-1 \;\Rightarrow\; 2h=6h-3 \;\Rightarrow\; 4h=3 \;\Rightarrow\; h=\tfrac{3}{4}$$

$$k=2-2\!\left(\tfrac{3}{4}\right)=2-\tfrac{3}{2}=\tfrac{1}{2}$$

Tuliskan vektor $\mathbf{a}+t\mathbf{b}$ dalam komponen dahulu, dengan $t$ sebagai pemboleh ubah tak diketahui:

$$\mathbf{a}+t\mathbf{b}=\binom{3+t}{-4+2t}$$

Syarat magnitud $|\mathbf{a}+t\mathbf{b}|=2\sqrt{10}$ lebih mudah digunakan setelah dikuasa duakan, kerana $(2\sqrt{10})^{2}=40$. Samakan jumlah kuasa dua komponen dengan $40$:

$$(3+t)^{2}+(-4+2t)^{2}=40$$

Kembangkan setiap kuasa dua dengan teliti dan kumpulkan sebutan:

$$(9+6t+t^{2})+(16-16t+4t^{2})=5t^{2}-10t+25=40$$

Bawa semua ke satu pihak dan bahagikan dengan $5$ untuk mendapat kuadratik mudah, kemudian faktorkan:

$$5t^{2}-10t-15=0 \;\Rightarrow\; t^{2}-2t-3=0 \;\Rightarrow\; (t-3)(t+1)=0$$

Oleh sebab $OC:CA=2:1$, titik $C$ berada $\tfrac{2}{3}$ jalan dari $O$ ke $A$; pecahan yang sama meletakkan $D$ pada $OB$. Tuliskan kedua-duanya sebagai vektor dari $O$:

$$\overrightarrow{OC}=\tfrac{2}{3}\mathbf{a}\qquad \overrightarrow{OD}=\tfrac{2}{3}\mathbf{b}$$

Cari $\overrightarrow{CD}$ dengan menolak, dan bandingkan dengan $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$:

$$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}=\tfrac{2}{3}\mathbf{b}-\tfrac{2}{3}\mathbf{a}=\tfrac{2}{3}(\mathbf{b}-\mathbf{a})=\tfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$$

Bergerak $A\to B\to C\to A$ kembali ke titik permulaan, jadi tiga vektor sesaran itu berjumlah vektor sifar. Gunakan ini untuk mendapatkan $\overrightarrow{CA}$:

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\mathbf{0}\;\Rightarrow\;\overrightarrow{CA}=-\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)=-\left[\binom{5}{-3}+\binom{-2}{7}\right]=-\binom{3}{4}=\binom{-3}{-4}$$

Kini cari magnitud $\overrightarrow{CA}$ dan bahagikannya untuk mendapat vektor unit:

$$|\overrightarrow{CA}|=\sqrt{(-3)^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{25}=5\;\Rightarrow\;\hat{\mathbf{CA}}=\dfrac{1}{5}\binom{-3}{-4}$$

Dalam segi empat selari $ABCD$, sisi bertentangan $AB$ dan $DC$ sama panjang dan selari, jadi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Cari $\overrightarrow{AB}$ dahulu:

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\binom{5}{3}-\binom{1}{2}=\binom{4}{1}$$

Oleh sebab $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}$ mesti sama dengan ini, susun semula untuk $\overrightarrow{OD}$:

$$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{AB}=\binom{6}{7}-\binom{4}{1}=\binom{2}{6}$$

Oleh sebab $\overrightarrow{OA}$ selari dengan $3\mathbf{i}+4\mathbf{j}$, ia mestilah gandaan skalar bagi vektor itu: $\overrightarrow{OA}=k(3\mathbf{i}+4\mathbf{j})$ untuk suatu skalar $k$, jadi $p=3k$ dan $q=4k$.

$$\overrightarrow{OA}=k(3\mathbf{i}+4\mathbf{j})=3k\mathbf{i}+4k\mathbf{j}$$

Gunakan syarat magnitud, dengan $|3\mathbf{i}+4\mathbf{j}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$, untuk mencari $k$:

$$|\overrightarrow{OA}|=|k|\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5|k|=20\;\Rightarrow\;|k|=4\;\Rightarrow\;k=4\text{ atau }k=-4$$

Tiga titik segaris apabila vektor antara dua titik ialah gandaan skalar bagi vektor antara pasangan lain yang berkongsi satu titik sama. Cari $\overrightarrow{LM}$ dan $\overrightarrow{MN}$:

$$\overrightarrow{LM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OL}=\binom{5}{4}-\binom{2}{1}=\binom{3}{3}\qquad \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=\binom{11}{10}-\binom{5}{4}=\binom{6}{6}$$

Bandingkan kedua-dua vektor:

$$\overrightarrow{MN}=\binom{6}{6}=2\binom{3}{3}=2\overrightarrow{LM}$$