向量，SPM 高级数学（中四）

有些量只用一个数就能完整描述：温度、质量、时间、距离。另一些则不然，如果一架飞机以 800 公里/小时飞行，你仍要知道它朝哪个方向，才能说出它将到达哪里。

同时带有大小与方向的量叫作向量，而这一章为你提供了一套整洁、可靠的语言来处理它们。只用大小来描述的量是标量；分辨这两者，正是本章的起点。

在 SPM 高级数学里，这是中四的第八章。它由三项直接取自 KSSM DSKP 的内容标准构成：向量、向量的加法与减法，以及笛卡儿平面上的向量。

三者合起来，带你从认识并画出一个向量，经过把若干向量合成为一个合向量，直到在 $x$–$y$ 平面上把向量当作分量来处理，那时每一步运算都变成普通的算术。

我们的老师喜欢教这一章，因为它既直观又动手。向量画成一支箭，有向线段，所以你能亲眼看见加法发生：把一支箭的尾接在前一支箭的头上，从最开始到最末端的整段行程就是合向量。

这幅图一旦稳固，分量形式下的相同运算便显得理所当然而非抽象，代数几乎能自我检验。

这一章也向前、向外相连。分量形式 $x\mathbf{i} + y\mathbf{j}$ 重新用上中四早前的坐标观念，向量的大小其实是乔装的勾股定理，而你在这里建立的推理，证明几点共线、把一段行程拆成几段，会在物理、日后的数学，以及任何为运动或力建模的领域里再次出现。

它是一种真正有用的思维方式，而不是一堆孤立的窍门。

由于向量同时保存两项信息，要及早养成的习惯是让大小与方向在脑中、在纸上都保持在一起。丢分的常见根源，就是把向量当成普通数字来对待，漏掉它的方向、它的箭头或它的正负号。

从第一行起就保持记号整洁，本章其余部分也会随之保持整洁。

向量这一章分为三项内容标准。以下的编码与标题直接来自 DSKP；认得它们，有助于你准确看出一道题目在考哪一项技巧。

这三项标准彼此相承。标准 8.1 确立向量是什么以及如何书写；8.2 教你用几何方式把向量合成为合向量；而 8.3 则把向量放进 $x$–$y$ 平面，使加、减与数乘变成对分量的简单算术。

若 8.1 的记号与方向观念还不稳，后面的内容都会跟着摇晃，所以先把 8.1 打稳。

向量有大小也有方向；标量只有大小。位移、速度、加速度与力是向量；距离、速率、质量与时间是标量。

对一个量做任何处理之前，先判断它属于哪一类，因为向量遵循与普通数字不同的合成规则，而为你的判断给出理由，正是标准 8.1.1 所要求的。

必须保持一致的记号。从 $A$ 到 $B$ 的向量写作 $\overrightarrow{AB}$，或写成一个粗体字母 $\mathbf{a}$（手写时在下面加波浪线或横线，$\underset{\sim}{a}$）。

它的大小，即模长，写作 $|\overrightarrow{AB}|$ 或 $|\mathbf{a}|$，永远是非负数。箭头与记号承载着方向，千万别把它们漏掉。

相等向量、负向量与零向量。两个向量相等，是指它们大小相同、方向相同，无论落在纸上哪个位置，位置并不重要。

向量 $-\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{a}$ 大小相同，但指向相反，所以 $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$。零向量 $\mathbf{0}$ 大小为零，且没有确定的方向。

数乘改变长度，不改变所在直线。把向量乘以正的标量 $k$，会拉长或缩短它而保持方向；负的 $k$ 还会把它反向。

这正是平行向量的关键：两个非零向量平行，当且仅当其中一个是另一个的标量倍。

$$\mathbf{a} = k\,\mathbf{b}, \quad k \neq 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{a} \parallel \mathbf{b}$$

向量相加，三角形法则与平行四边形法则。要把 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 相加，把 $\mathbf{b}$ 的尾接在 $\mathbf{a}$ 的头上；合向量从 $\mathbf{a}$ 的起点连到 $\mathbf{b}$ 的头。

这就是三角形法则，并可推广到首尾相接的任意多个向量。当两个向量从同一点出发时，平行四边形法则给出相同的合向量。

减法就是加上负向量。要求 $\mathbf{a} - \mathbf{b}$，就把 $\mathbf{a}$ 与 $-\mathbf{b}$ 相加。

几何题里一个有用的推论：对任意两个位置向量，$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$，连接两点的向量，等于终点的位置向量减去起点的位置向量。

位置向量让一切都取道原点。固定一个原点 $O$ 后，任意一点 $A$ 都有位置向量 $\overrightarrow{OA}$。

把图中每个向量都用 $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$ 等来表示，就把一幅纠缠的图变成一组你可以加减的方程，这是穿越较难几何题的标准路径。

分量形式把运算变成算术。在笛卡儿平面上，向量写作 $x\mathbf{i} + y\mathbf{j}$，沿 $x$ 轴走 $x$ 步，沿 $y$ 轴走 $y$ 步，或写成这两个数的一列。

要把向量相加或相减，你只需把对应的分量相加或相减；要乘以标量，就把每个分量都乘上去。

$$|x\mathbf{i} + y\mathbf{j}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$

单位向量以长度 1 指出方向。单位向量的大小为 $1$，用来表达纯粹的方向。

要求 $\mathbf{a}$ 方向上的单位向量，就把 $\mathbf{a}$ 除以它自己的大小。基向量 $\mathbf{i}$ 与 $\mathbf{j}$ 就是沿坐标轴的单位向量。

$$\hat{\mathbf{a}} = \dfrac{1}{|\mathbf{a}|}\,\mathbf{a}$$

向量能证明几何。由于平行意味着「标量倍」，向量是显示两线平行或三点共线的整洁工具：把相关向量用两个基向量表示出来，再证明其中一个是另一个的标量倍。

这类推理正是本章较高分数的所在。

哪些会给、哪些必须自己会。向量的各项结果，大小、单位向量公式、平行判别，都不在 SPM 考试所提供的公式表内，所以它们都必须记住，更重要的是理解。

所幸它们都很短，且都源自同一幅图，因此把箭头图看懂，远比死记硬背值钱得多。

向量可以在任何一份笔试中被考到。试卷一（3472/1）历时 2小时，共 80分：甲组有 12题，占 64分，全部作答；乙组有 3题，占 16分，从中作答 2题。

试卷二（3472/2）历时 2小时30分钟，共 100分，分布于甲组（7题，50分，全部作答）、乙组（4题，30分，作答 3题）与丙组（4题，20分，作答 2题）。

两份试卷的题目都是有限作答主观题与结构式题目，采用分析式评分，作答时可使用不可编程的科学计算器。向量很适合结构式题目，先给出一幅图，后面的小题在其上层层展开：把一个向量用另外两个表示、求合向量，再运用平行或共线的条件。

由于评分是分析式的，即使最后的数字有偏差，正确的方法仍能逐步得分。我们不会预测任何单独一章会占多少分，因为这逐年不同。

我们的课程以英语授课，而 SPM 试卷以马来文与英文双语命题，因此你会用两种语言学到这些关键术语，大小、合向量、单位向量。在这里，一幅清晰、带标注的图是最有价值的习惯：画出箭头，标明方向，并在动手计算之前把每个向量都用你的基向量表示出来。

向量里丢掉的大多数分数，都来自少数几个反复出现的习惯，而每一个只要你知道要留意，就很容易改正。每次做练习前先读一读这些。

• 把向量当成普通数字。向量除了大小还带方向。别丢掉箭头、粗体或正负号，$\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BA}$ 不是同一个向量；一个是另一个的负向量。
• 把向量和它的大小混为一谈。$\mathbf{a}$ 是向量；$|\mathbf{a}|$ 是一个非负数。在需要向量的地方写成大小（或反过来）会毁掉整段运算，只在你真正指长度的地方才加绝对值线。
• 把分量加错了搭档。在分量形式下，$x$ 与 $x$ 相加，$y$ 与 $y$ 相加。把 $x$ 分量和 $y$ 分量混在一起，是一个随手画个草图就能抓到的隐形错误。
• 求单位向量时忘了除以大小。$\mathbf{a}$ 方向上的单位向量是 $\mathbf{a}$ 除以 $|\mathbf{a}|$，而不是 $\mathbf{a}$ 本身。它的长度必须算出为 $1$；把各分量平方后相加即可核对。
• 减法方向搞反。$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$，终点减起点。反过来会把答案的方向弄反，通常也把每个分量的正负号弄反。
• 负向量与平行向量中的符号失误。负的标量会把向量反向；检验平行时，要容许 $k$ 取负值。漏掉一个负号，是一段正确的平行论证仍旧落到错误常数上的最常见方式。

这些都与天分无关，每一个都只是你能在练习中逐项打勾的小习惯。在向量里得高分的学生，无非是仔细的那些人：一幅清晰的图、一致的记号、分量对分量地相加，以及记得为单位向量做那一次除法。

向量回报的是手握铅笔、图形清晰的短而勤的练习。走完以下步骤，再用下面的资源温习与自测。

由于这一章非常直观，永远先画再算，一幅随手的箭头图，能把大多数题目从令人困惑变得一目了然。让你的练习短而勤：每天几幅图加一道分量计算，比一次冗长的临时抱佛脚更能把记号与运算钉牢。

1. 1

   先把语言搞对

   确保你能带理由地分辨向量与标量，并正确、一致地书写 $\overrightarrow{AB}$、$\mathbf{a}$ 与 $|\mathbf{a}|$。

2. 2

   把运算画出来

   在纸上练习三角形法则与平行四边形法则，直到把向量当作箭头去加、减、数乘都变得自然为止。

3. 3

   切换到分量

   把向量改写成 $x\mathbf{i} + y\mathbf{j}$，反复练习按分量加、减、数乘，再用 $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 求大小。

4. 4

   掌握单位向量与平行

   练习把向量除以它的大小来求单位向量，并用 $\mathbf{a} = k\mathbf{b}$ 证明向量平行或三点共线。

5. 5

   限时做整题

   从头到尾做完整的试卷二式题目，图、表达式、合向量、条件，计时进行，再复看例题。

• 向量，温习笔记
• 向量，常见错误
• 向量，练习题
• 向量，试卷二作答指南
• 向量，关键词汇
• 向量，例题（简易）
• 向量，例题（中等）
• 向量，例题（KBAT）