二次函数，例题（简单）

「求解」要求找出使方程成立的 $x$ 值，而这里的系数是较小的整数，所以因式分解最快。我们需要两个数，它们相乘等于 $-15$（常数项），相加等于 $+2$（$x$ 的系数）。

列出 $-15$ 的因数对：$(1,-15)$、$(-1,15)$、$(3,-5)$ 和 $(-3,5)$。$+5$ 和 $-3$ 这一对符合，因为 $5\times(-3)=-15$，$5+(-3)=2$。

于是方程因式分解为：

只有当其中一个因式为零时乘积才为零，所以让每个括号分别等于零：

两根为 $x=-5$ 和 $x=3$。至少验证一个：代入 $x=3$ 得 $(3)^2+2(3)-15 = 9+6-15 = 0$，代入 $x=-5$ 得 $(-5)^2+2(-5)-15 = 25-10-15 = 0$，两根都确认无误。

二次公式为 $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。这里 $a=3$、$b=5$、$c=-2$。

先计算判别式 $b^2-4ac$：

由于 $49$ 是完全平方数，$\sqrt{49}=7$。代入公式：

分别取正负号：

所以 $x=\tfrac{1}{3}$ 或 $x=-2$。代入 $x=-2$：$3(-2)^2+5(-2)-2 = 12-10-2 = 0$，确认此根正确。

判别式 $b^2-4ac$ 让我们不必完全求解就能知道根的性质。这里 $a=1$、$b=-6$、$c=9$。

当判别式等于 $0$ 时，方程有两个相等的实根（重根）。这一点可直接看出，因为 $x^2-6x+9=(x-3)^2$，得到 $x=3$（重复两次）。

用配方法。把 $x$ 的系数取一半：$-6$ 的一半是 $-3$。

由于 $(x-3)^2 = x^2-6x+9$ 多出了 $+9$，我们再减回去：

平方项 $(x-3)^2$ 永不为负，其最小值是 $0$，在 $x=3$ 时取得。

所以 $f(x)$ 的最小值是 $2$，在 $x=3$ 处取得。顶点为 $(3,\,2)$，且因为 $x^2$ 的系数为正，它是最小点。

验证：$f(3)=9-18+11=2$。

对于曲线 $y=ax^2+bx+c$，对称轴是通过顶点的垂直线，可直接由 $x=-\dfrac{b}{2a}$ 求得。这里 $a=1$、$b=-8$、$c=10$，先认清系数再代入。

化简分子中的双重负号，再相除。

当两个根已知时，可直接由因式 $(x-\alpha)(x-\beta)=0$ 重新构造方程，注意括号内保留每个根本身的符号。

展开括号并合并同类项。

先因式分解找出临界值，即使该式子等于零的 $x$ 值，因为这些正是图像与 $x$ 轴相交的位置。

$x^2$ 的系数为正，所以图像是开口向上的抛物线。它只在两根之间的区间内位于 $x$ 轴上或下方（即 $\le 0$）。

两个根相等，当且仅当判别式 $b^2-4ac$ 等于零。识别系数 $a=1$、$b=k$、$c=16$，然后令判别式为零。

解出 $k$。