二次函数，SPM 高级数学（中四）

二次函数是任何形如 $f(x)=ax^{2}+bx+c$ 的规则，其中 $a$、$b$、$c$ 为常数且 $a\neq 0$。条件 $a\neq 0$ 十分重要：若 $a$ 为零，$x^{2}$ 项便会消失，规则就只剩下一次的了。

正因为有这个平方项，它的图形绝不会是直线，而是一条光滑的 U 形曲线，称为抛物线。二次函数是中四高级数学的第二章，也是你从第一章的一般函数概念，走向一族可以求解、因式分解、作图与求极值的具体函数的地方。

本章包含三项直接取自 KSSM DSKP 的内容标准：二次方程与不等式、二次方程根的类型，以及二次函数本身。三者合起来涵盖四项彼此相连的技能，解二次方程、由判别式判断有多少实根、由根重建方程，以及描述或画出函数所对应的抛物线。

没有一项是孤立的；每一项都依赖其他项，因此我们把本章当作一个连贯的故事来教，而不是一堆零散的技巧。

我们的老师把二次函数视为一章主力课。你在这里反复练习的代数，展开、因式分解、配方、代入公式，会在往后的课程里一再出现。

由于 SPM 采用分析式评分，你的分数来自每一行正确的运算，而不只是最后的答案，因此把一道二次题写得整洁、条理分明，值得反复练习到成为本能。能用三种不同方法解一道二次方程、并为眼前的题目选出最快路径的学生，在考场上确实占有优势。

全程记住抛物线这幅图很有帮助。当 $a>0$ 时曲线开口向上、有最低点；当 $a<0$ 时开口向下、有最高点。

这个唯一的最低或最高点，顶点，正是最大值与最小值问题的关键，也是顶点式 $a(x-h)^{2}+k$ 如此好用的原因。本章几乎每一道题，追根究底，都是在问抛物线位于何处、朝哪个方向开口，以及在哪里与坐标轴相交。

回报来得很快，而且持续不断。二次思维会在方程组里一次方程与非一次方程相遇时重现，在坐标几何里直线与曲线相交时重现，也在微分里寻找转折点时重现。

求最大值与最小值的应用题，最大的利润、最大的面积、最高的高度，都是伪装过的二次问题。由于后面大部分课程都默默假设你在这里已经熟练，我们从不匆匆略过本章；你现在投入的时间，日后会加倍偿还。

二次函数一章分为三项内容标准。下面的代号与标题直接取自 DSKP，把它们记熟，你就能一眼看出一道题究竟在考什么。

留意这三项标准如何层层相扣。标准 2.1 给你求解与构造二次方程的工具；2.2 加入判别式，让你不必求解就能判断根；而 2.3 把整幅图景搬上图形，让根变成 x 轴截点、让顶点变成最大值或最小值。

若你在 2.1 的求解还不稳，后面一切都会比应有的更难，所以先把 2.1 打牢。

什么是二次函数。规则 $f(x)=ax^{2}+bx+c$（$a\neq 0$）永远画出一条抛物线。

$a$ 的正负决定开口方向：$a>0$ 开口向上（有最小点），$a<0$ 开口向下（有最大点）。$a$ 的大小决定曲线的宽窄，而常数 $c$ 就是 y 轴截距，即 $f(0)$ 的值。

用配方法求解。任何二次式都能改写成一个完全平方加上一个常数。

先从前两项提出 $a$，再加上并减去所得 $x$ 系数一半的平方，然后整理。这个方法不只解出方程，还直接给出顶点，这正是它即使不比公式快也值得掌握的原因。

用公式求解。当因式分解不好处理时，二次公式每次都能解出 $ax^{2}+bx+c=0$。

这是 SPM 公式表所提供的公式之一，所以你不必背它，但你必须能干净利落地代入，盯紧每一个符号。

$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

判别式。根号底下的式子 $b^{2}-4ac$ 称为判别式，单凭它就能在你动手解题之前告诉你方程有几个实根。

这条判断规则不在所提供的公式表中，所以要记牢：$b^{2}-4ac>0$ 给出两个相异实根，$b^{2}-4ac=0$ 给出两个相等（重复）实根，而 $b^{2}-4ac<0$ 则没有实根。

$$b^{2}-4ac \;\begin{cases} >0 & \text{两个相异实根}\\ =0 & \text{两个相等实根}\\ <0 & \text{没有实根}\end{cases}$$

由根构造方程。若 $\alpha$ 与 $\beta$ 是两根，则两根之和为 $\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}$，两根之积为 $\alpha\beta=\dfrac{c}{a}$。

由这两者你就能重建方程。这些关系不在所提供的公式表中，所以必须记住。

$$x^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0$$

二次不等式。要解像 $x^{2}-x-6>0$ 这样的式子，先求出对应方程的根，再判断哪个区间满足不等式。

画一张抛物线草图几乎能让它一目了然：对于 $a>0$ 的「$>0$」不等式，你要的是曲线在 x 轴上方的部分（两根之外）；对于「$<0$」，你要的是下方的部分（两根之间）。若你不想画图，数线或符号表也给出同样的答案。

顶点式。配方把 $f(x)=ax^{2}+bx+c$ 改写成 $f(x)=a(x-h)^{2}+k$。

在这个形式里，顶点可直接读作 $(h,k)$，对称轴则是竖直线 $x=h$。这个形式是画草图以及求任何最大值或最小值的最快途径。

$$f(x)=a(x-h)^{2}+k \quad\Rightarrow\quad \text{顶点 }(h,\,k),\ \text{对称轴 }x=h$$

$a$、$h$、$k$ 的作用。在顶点式里，改变 $k$ 使抛物线上下平移，改变 $h$ 使它左右平移，改变 $a$ 使它拉伸或翻转。

理解这三种移动，你就能不描一个点也想象出任何二次函数的样子。

图形位置与根。由于根就是 $f(x)=0$ 之处，判别式也告诉你抛物线如何与 x 轴相遇：两个相异根表示它在两点切过 x 轴，一个重根表示它恰好在顶点处触及 x 轴，没有实根则表示它完全不与轴相遇。

这正是把标准 2.2 与标准 2.3 连起来的桥梁。

最大值与最小值。当 $a<0$ 时顶点是最大点，当 $a>0$ 时顶点是最小点。

现实生活中的问题，最大面积、最高利润、最低成本，通常都归结为求这个顶点，因此配方往往就是整道题的解法。

二次函数在两份笔试中都可能出现。试卷一（3472/1）历时 2 小时，共 80 分：A 部分有 12 题，共 64 分，全部作答；B 部分有 3 题，共 16 分，从中作答 2 题。

试卷二（3472/2）历时 2 小时 30 分钟，共 100 分，分布于 A 部分（7 题，50 分，全部作答）、B 部分（4 题，30 分，作答 3 题）与 C 部分（4 题，20 分，作答 2 题）。

两份试卷中的题目都是有限作答主观题与结构式题目，采用分析式评分，你在考试时使用一台不可编程的科学计算器。我们不预测任何单一章节会占多少分，因为那逐年不同，但二次技能支撑着本章以外的许多题目，所以在这里练得熟练，好处远远超出第二章。

实际上，二次题目通常是结构式的：一段简短的题干给你一个方程或函数，然后一问接一问地要求你求解、借判别式讨论根、配方，或者作图并加以解读。按顺序作答，并小心地把前面的结果带到后面，你在某一问求出的顶点，往往正是下一问所需要的。

一张整洁、标注清楚的草图，即使题目只要求粗略画出，也能守住随后的分数。

二次函数里失去的分数，大多来自一小撮可以避免的习惯。在每一组练习之前读一读这份清单，直到它成为习惯。

• 判别式中的符号错误。$b^{2}$ 永远不是负的，即使 $b$ 是负的；而那一项是 $-4ac$，带着它自己的符号。仔细算 $b^{2}-4ac$，这里一个符号错就会改变根的类型，整道小题也随之丢分。
• 把相等根与没有根混淆。$b^{2}-4ac=0$ 表示两个相等（重复）实根、曲线触及 x 轴；$b^{2}-4ac<0$ 表示没有实根、曲线完全不碰 x 轴。要让条件与题目的措辞严格对应。
• 在两根之和里漏掉负号。两根之和是 $\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$，不是 $\frac{b}{a}$。忘掉那个负号，是由根构造方程时最常见的错误之一。
• 配方前没有先提出 $a$。当 $a\neq 1$ 时，你必须先从前两项提出 $a$，否则你所配出的完全平方就会是错的。把 $a$ 留在括号外，直到最后一步。
• 读错二次不等式的区间。解到底是在两根之间还是在两根之外，取决于不等式的符号以及 $a$ 的正负。画抛物线或用符号表，别靠猜。
• 顶点式里 $h$ 的符号搞错。在 $a(x-h)^{2}+k$ 中顶点是 $(h,k)$，所以 $a(x+3)^{2}+1$ 的顶点是 $(-3,1)$，而不是 $(3,1)$。把括号读作 $(x-h)$，$h$ 取与你所见相反的符号。

这些都无关能力，每一条都只是习惯，而习惯是可以改的。在练习中一条一条地把它们勾掉，你在本章的准确度就会迅速提升。

在这里考得好的学生，很少是最快的那一个；他们是始终整洁的那一个，所以把每一次失误都当作反馈，而不是失败。

二次函数会回报稳扎稳打、有条理的学法。按顺序走完下面的步骤，再用随后的资源来温习并在限时下自测。

把目标定在短而频繁的练习，而不是一次漫长的临阵磨枪。每天解几道方程、配一个完全平方、画一张草图，就能让技能保持新鲜，并慢慢磨掉那些让你丢分的小失误。

当某个方法开始变得自动，就换下一个；若还不自动，就放慢并重复到它自动为止。分散在两三周里，这套安静的日常会把第二章变成你最可靠的分数之一。

1. 1

   一题三解

   取一道二次方程，分别用因式分解、配方法和公式来解，好让你能为任何题目选出最快的路径。

2. 2

   让判别式变得自动

   反复练 $b^{2}-4ac$ 及其三种情形，直到你能一眼说出根的类型，并练习用到它的「取值范围」题。

3. 3

   把根与系数联系起来

   复习 $\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$ 与 $\alpha\beta=\frac{c}{a}$，再由给定的根构造新方程，并用展开来验证。

4. 4

   掌握顶点式

   配方得到 $a(x-h)^{2}+k$，读出顶点与对称轴，并用它来解最大值与最小值问题。

5. 5

   先作图，再限时自测

   练习快速而标注清楚的草图，开口方向、顶点、截点，再在计时下做综合练习与例题。

• 二次函数，复习笔记
• 二次函数，常见错误
• 二次函数，练习题
• 二次函数，试卷二答题指南
• 二次函数，重要术语
• 二次函数，例题精解（基础）
• 二次函数，例题精解（中等）
• 二次函数，例题精解（高阶思维 KBAT）