Fungsi Kuadratik, Matematik Tambahan SPM Tingkatan 4

Fungsi kuadratik ialah sebarang petua berbentuk $f(x)=ax^{2}+bx+c$ dengan $a$, $b$ dan $c$ sebagai pemalar dan $a\neq 0$. Syarat $a\neq 0$ itu penting: jika $a$ sifar, sebutan $x^{2}$ akan hilang dan petua itu hanya menjadi linear.

Kerana sebutan kuasa dua itu, grafnya tidak pernah menjadi garis lurus, ia lengkung berbentuk U yang licin dipanggil parabola. Fungsi Kuadratik ialah Bab 2 Matematik Tambahan Tingkatan 4, iaitu bab tempat anda beralih daripada idea am tentang fungsi dalam Bab 1 kepada satu keluarga fungsi khusus yang boleh anda selesaikan, faktorkan, lakar dan optimumkan.

Bab ini mengandungi tiga standard kandungan yang diambil terus daripada DSKP KSSM: Persamaan dan Ketaksamaan Kuadratik, Jenis-jenis Punca Persamaan Kuadratik, dan Fungsi Kuadratik itu sendiri. Bersama-sama, ketiga-tiganya merangkumi empat kemahiran yang saling berkait, menyelesaikan persamaan kuadratik, menilai berapa banyak punca nyata yang ada daripada pembeza, membina semula persamaan daripada puncanya, dan memerihalkan atau melakar parabola yang dilukis oleh fungsi itu.

Tiada satu pun berdiri sendiri; setiap satu bersandar pada yang lain, dan itulah sebabnya kami mengajar bab ini sebagai satu cerita yang bersambung, bukan senarai helah.

Guru kami menganggap Fungsi Kuadratik sebagai bab tunggak. Algebra yang anda latih di sini, mengembang, memfaktorkan, menyempurnakan kuasa dua, menggantikan ke dalam rumus, muncul berulang kali sepanjang kursus.

Oleh sebab SPM menggunakan permarkahan analitik, anda diberi markah bagi setiap baris kerja yang betul, bukan hanya jawapan akhir, jadi penyelesaian kuadratik yang kemas dan tersusun berbaloi dilatih sehingga menjadi automatik. Murid yang boleh menyelesaikan kuadratik dengan tiga cara berbeza, dan memilih yang terpantas bagi soalan di hadapannya, mempunyai kelebihan sebenar di dewan peperiksaan.

Ada baiknya sentiasa mengingati gambaran parabola. Apabila $a>0$ lengkung membuka ke atas dan mempunyai titik terendah; apabila $a<0$ ia membuka ke bawah dan mempunyai titik tertinggi.

Titik terendah atau tertinggi tunggal itu, verteks, ialah kunci kepada masalah nilai maksimum dan minimum, dan itulah sebab bentuk verteks $a(x-h)^{2}+k$ begitu berguna. Hampir setiap soalan dalam bab ini, pada dasarnya, ialah soalan tentang di mana parabola berada, ke arah mana ia membuka, dan di mana ia memotong paksi.

Ganjarannya datang dengan cepat dan berterusan. Pemikiran kuadratik muncul semula dalam Sistem Persamaan apabila persamaan linear dan tak linear bertemu, dalam Geometri Koordinat apabila garis bertemu lengkung, dan dalam Pembezaan apabila anda mencari titik pusingan.

Masalah perkataan maksimum dan minimum, untung yang terbesar, luas yang terbanyak, ketinggian yang tertinggi, ialah masalah kuadratik yang menyamar. Oleh sebab sebahagian besar silibus kemudian secara senyap menganggap anda sudah mahir di sini, kami tidak pernah tergesa-gesa melalui bab ini; masa yang anda laburkan sekarang dibayar semula berkali ganda.

Bab Fungsi Kuadratik disusun kepada tiga standard kandungan. Kod dan tajuk di bawah datang terus daripada DSKP, hafal supaya anda dapat mengenali secara pantas apa yang sebenarnya diuji oleh sesuatu soalan.

Perhatikan bagaimana ketiga-tiga standard ini saling membina. Standard 2.1 memberi anda alat untuk menyelesaikan dan membina persamaan kuadratik; 2.2 menambah pembeza, yang membolehkan anda menilai punca tanpa menyelesaikannya; dan 2.3 mengangkat keseluruhan gambaran ke atas graf, tempat punca menjadi pintasan-x dan verteks menjadi maksimum atau minimum.

Jika penyelesaian anda dalam 2.1 masih goyah, segala yang selepasnya terasa lebih sukar daripada sepatutnya, jadi kukuhkan 2.1 dahulu.

Apa itu fungsi kuadratik. Petua $f(x)=ax^{2}+bx+c$ dengan $a\neq 0$ sentiasa melukis parabola.

Tanda $a$ menentukan arah: $a>0$ membuka ke atas (titik minimum), $a<0$ membuka ke bawah (titik maksimum). Saiz $a$ menentukan sempit atau lebarnya lengkung, dan pemalar $c$ ialah pintasan-y, iaitu nilai $f(0)$.

Menyelesaikan dengan penyempurnaan kuasa dua. Sebarang kuadratik boleh ditulis semula sebagai kuasa dua sempurna tambah satu pemalar.

Faktorkan $a$ daripada dua sebutan pertama, tambah dan tolak kuasa dua bagi separuh pekali $x$ yang terhasil, kemudian kemaskan. Kaedah ini bukan sahaja menyelesaikan persamaan, malah terus memberikan verteks, itulah sebab ia berbaloi dikuasai walaupun rumus mungkin lebih pantas.

Menyelesaikan dengan rumus. Apabila pemfaktoran menyusahkan, rumus kuadratik menyelesaikan $ax^{2}+bx+c=0$ setiap kali.

Ini salah satu rumus yang dibekalkan dalam senarai rumus SPM, jadi anda tidak perlu menghafalnya, tetapi anda mesti boleh menggantikan ke dalamnya dengan kemas, memerhatikan setiap tanda.

$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

Pembeza. Ungkapan di bawah tanda punca, $b^{2}-4ac$, dipanggil pembeza, dan ia sendiri memberitahu anda berapa banyak punca nyata sebelum anda menyelesaikan apa-apa.

Petua keputusan ini tiada dalam senarai rumus yang dibekalkan, jadi hafalnya: $b^{2}-4ac>0$ memberi dua punca nyata berbeza, $b^{2}-4ac=0$ memberi dua punca nyata sama (berulang), dan $b^{2}-4ac<0$ memberi tiada punca nyata.

$$b^{2}-4ac \;\begin{cases} >0 & \text{dua punca nyata berbeza}\\ =0 & \text{dua punca nyata sama}\\ <0 & \text{tiada punca nyata}\end{cases}$$

Membentuk persamaan daripada puncanya. Jika $\alpha$ dan $\beta$ ialah punca, maka hasil tambah punca ialah $\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}$ dan hasil darab punca ialah $\alpha\beta=\dfrac{c}{a}$.

Daripada kedua-duanya anda boleh membina semula persamaan. Hubungan ini tiada dalam senarai rumus yang dibekalkan, jadi ia mesti diingat.

$$x^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0$$

Ketaksamaan kuadratik. Untuk menyelesaikan sesuatu seperti $x^{2}-x-6>0$, cari dahulu punca persamaan yang sepadan, kemudian tentukan rantau mana yang memenuhi ketaksamaan itu.

Lakaran ringkas parabola menjadikannya hampir visual: bagi ketaksamaan "$>0$" dengan $a>0$ anda mahukan bahagian lengkung di atas paksi-x (di luar punca); bagi "$<0$" anda mahukan bahagian di bawah (antara punca). Garis nombor atau jadual tanda memberi jawapan yang sama jika anda tidak mahu melakar.

Bentuk verteks. Penyempurnaan kuasa dua menulis semula $f(x)=ax^{2}+bx+c$ sebagai $f(x)=a(x-h)^{2}+k$.

Dalam bentuk ini verteks dibaca terus sebagai $(h,k)$, dan paksi simetri ialah garis mencancang $x=h$. Bentuk ini laluan terpantas kepada lakaran dan kepada sebarang nilai maksimum atau minimum.

$$f(x)=a(x-h)^{2}+k \quad\Rightarrow\quad \text{verteks }(h,\,k),\ \text{paksi }x=h$$

Kesan $a$, $h$ dan $k$. Dalam bentuk verteks, menukar $k$ menggelongsor parabola ke atas atau ke bawah, menukar $h$ menggelongsornya ke kiri atau ke kanan, dan menukar $a$ meregangkannya atau membalikkannya.

Memahami ketiga-tiga pergerakan ini membolehkan anda membayangkan sebarang kuadratik tanpa memplot satu titik pun.

Kedudukan graf dan punca. Kerana punca ialah tempat $f(x)=0$, pembeza turut memberitahu anda bagaimana parabola bertemu paksi-x: dua punca berbeza bermakna ia memotong paksi pada dua titik, satu punca berulang bermakna ia hanya menyentuh paksi pada verteks, dan tiada punca nyata bermakna ia langsung tidak bertemu paksi.

Inilah jambatan yang mengikat standard 2.2 dengan standard 2.3.

Nilai maksimum dan minimum. Verteks ialah titik maksimum apabila $a<0$ dan titik minimum apabila $a>0$.

Masalah kehidupan sebenar, luas terbesar, untung tertinggi, kos terendah, biasanya berbalik kepada mencari verteks ini, jadi penyempurnaan kuasa dua sering menjadi keseluruhan penyelesaian.

Fungsi Kuadratik boleh muncul dalam mana-mana kertas bertulis. Kertas 1 (3472/1) berlangsung 2 jam dan membawa 80 markah: Bahagian A mempunyai 12 soalan bernilai 64 markah yang anda jawab semuanya, dan Bahagian B mempunyai 3 soalan bernilai 16 markah yang anda jawab 2 daripadanya.

Kertas 2 (3472/2) berlangsung 2 jam 30 minit dan membawa 100 markah merentasi Bahagian A (7 soalan, 50 markah, jawab semua), Bahagian B (4 soalan, 30 markah, jawab 3) dan Bahagian C (4 soalan, 20 markah, jawab 2).

Merentasi kedua-dua kertas, itemnya ialah soalan subjektif respons terhad dan berstruktur, ia dimarkahkan menggunakan permarkahan analitik, dan anda menduduki peperiksaan itu dengan kalkulator saintifik yang tak boleh atur cara. Kami tidak meramalkan berapa markah yang akan dibawa oleh mana-mana bab tunggal, kerana itu berbeza dari tahun ke tahun, tetapi kemahiran kuadratik menyokong banyak soalan di luar bab ini, jadi kemahiran di sini membantu jauh melangkaui Bab 2.

Pada praktiknya item kuadratik biasanya berstruktur: satu pokok soalan ringkas memberi anda persamaan atau fungsi, kemudian bahagian demi bahagian meminta anda menyelesaikannya, membincangkan puncanya melalui pembeza, menyempurnakan kuasa dua, atau melakar dan mentafsir graf. Jawab bahagian mengikut susunan dan bawa hasil terdahulu ke hadapan dengan berhati-hati, verteks yang anda temui dalam satu bahagian selalunya tepat apa yang diperlukan bahagian seterusnya.

Lakaran yang kemas dan berlabel, walaupun hanya lakaran kasar diminta, melindungi markah yang mengikutinya.

Kebanyakan markah yang hilang dalam Fungsi Kuadratik datang daripada segelintir tabiat yang boleh dielakkan. Baca senarai ini sebelum setiap set latihan sehingga ia menjadi lumrah.

• Kesilapan tanda dalam pembeza. $b^{2}$ tidak pernah negatif, walaupun $b$ negatif, dan sebutan itu ialah $-4ac$ dengan tandanya sendiri. Kira $b^{2}-4ac$ dengan berhati-hati, satu kesilapan tanda di sini menukar jenis punca dan menghilangkan seluruh bahagian.
• Mengelirukan punca sama dengan tiada punca. $b^{2}-4ac=0$ bermaksud dua punca nyata sama (berulang) dan lengkung yang menyentuh paksi-x; $b^{2}-4ac<0$ bermaksud tiada punca nyata dan lengkung yang langsung tidak menyentuh paksi. Padankan syarat dengan perkataan soalan dengan tepat.
• Menggugurkan tanda tolak dalam hasil tambah punca. Hasil tambah punca ialah $\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$, bukan $\frac{b}{a}$. Melupakan tanda tolak itu ialah salah satu kesilapan paling lazim ketika membentuk persamaan daripada puncanya.
• Tidak memfaktorkan $a$ sebelum menyempurnakan kuasa dua. Apabila $a\neq 1$ anda mesti memfaktorkan $a$ daripada dua sebutan pertama dahulu, jika tidak kuasa dua sempurna yang anda bina akan salah. Kekalkan $a$ di luar kurungan sehingga akhir sekali.
• Membaca rantau yang salah dalam ketaksamaan kuadratik. Sama ada penyelesaian berada antara punca atau di luarnya bergantung pada tanda ketaksamaan dan tanda $a$. Lakar parabola atau gunakan jadual tanda dan bukannya meneka.
• Tersalah tanda $h$ dalam bentuk verteks. Dalam $a(x-h)^{2}+k$ verteksnya ialah $(h,k)$, jadi $a(x+3)^{2}+1$ mempunyai verteks $(-3,1)$, bukan $(3,1)$. Baca kurungan sebagai $(x-h)$ dan ambil $h$ dengan tanda bertentangan daripada yang anda nampak.

Tiada satu pun daripada ini berkaitan dengan kebolehan, setiap satu hanyalah tabiat, dan tabiat boleh diperbaiki. Tandakan satu demi satu dalam latihan anda, dan ketepatan anda dalam bab ini meningkat dengan pantas.

Murid yang mendapat markah baik di sini jarang yang paling laju; mereka ialah yang konsisten kemas, jadi anggap setiap kesilapan sebagai maklum balas, bukan kegagalan.

Fungsi Kuadratik memberi ganjaran kepada pendekatan yang mantap dan tersusun. Lalui langkah-langkah di bawah mengikut susunan, kemudian gunakan sumber yang berikut untuk mengulang kaji dan menguji diri anda dalam masa yang terhad.

Sasarkan sesi yang pendek dan kerap, bukan satu ulang kaji panjang secara mengejut. Beberapa persamaan yang diselesaikan, satu kuasa dua yang disempurnakan dan satu lakaran setiap hari mengekalkan kemahiran segar dan perlahan-lahan mengikis kesilapan kecil yang menghilangkan markah.

Apabila sesuatu kaedah mula terasa automatik, beralih ke yang seterusnya; apabila belum, perlahankan dan ulanginya sehingga ia automatik. Disebar sepanjang beberapa minggu, rutin senyap ini menjadikan Bab 2 antara markah anda yang paling boleh diharap.

1. 1

   Selesaikan tiga cara

   Ambil satu kuadratik dan selesaikannya dengan pemfaktoran, dengan penyempurnaan kuasa dua, dan dengan rumus, supaya anda boleh memilih laluan terpantas bagi sebarang soalan.

2. 2

   Jadikan pembeza automatik

   Latih $b^{2}-4ac$ dan tiga kesnya sehingga anda boleh menamakan jenis punca sepintas lalu, dan latih soalan 'julat nilai' yang menggunakannya.

3. 3

   Hubungkan punca dengan pekali

   Ulang $\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$ dan $\alpha\beta=\frac{c}{a}$, kemudian bentuk persamaan baharu daripada punca yang diberi dan semak dengan mengembangkannya.

4. 4

   Kuasai bentuk verteks

   Sempurnakan kuasa dua sehingga $a(x-h)^{2}+k$, baca verteks dan paksi simetri, dan gunakannya untuk masalah maksimum dan minimum.

5. 5

   Lakar, kemudian uji dalam masa terhad

   Latih lakaran pantas dan berlabel, arah, verteks, pintasan, kemudian cuba latihan campuran dan contoh kerja dengan jam berjalan.

• Fungsi Kuadratik, Nota Ringkas
• Fungsi Kuadratik, Kesilapan Lazim
• Fungsi Kuadratik, Soalan Latihan
• Fungsi Kuadratik, Panduan Menjawab Kertas 2
• Fungsi Kuadratik, Istilah Penting
• Fungsi Kuadratik, Contoh Kerja (Mudah)
• Fungsi Kuadratik, Contoh Kerja (Sederhana)
• Fungsi Kuadratik, Contoh Kerja (KBAT)