Contoh Kerja Fungsi Kuadratik (Mudah)

Q: Apakah sebenarnya yang diberitahu oleh pembeza?

Nilai b2−4acb^2-4acb2−4ac mendedahkan jenis punca sebelum anda menyelesaikannya: positif bermaksud dua punca nyata berbeza, sifar bermaksud dua punca sama, dan negatif bermaksud tiada punca nyata.

Q: Mengapa perlu menyempurnakan kuasa dua dan bukan sekadar membaca nombor?

Menyempurnakan kuasa dua menulis semula fungsi sebagai (x−h)2+k(x-h)^2+k(x−h)2+k, yang menunjukkan titik pusingan (h,k)(h,k)(h,k) dan nilai minimum atau maksimum kkk secara terus, maklumat yang tidak dapat dibaca daripada bentuk biasa.

Cara menggunakan set ini

Set ini menghimpunkan empat masalah Fungsi Kuadratik mudah, setiap satunya diselesaikan baris demi baris supaya anda nampak dengan tepat dari mana setiap nombor datang. Bersama-sama, ia merangkumi empat kemahiran yang diperlukan setiap pelajar Add Math pada awal bab ini: menyelesaikan kuadratik melalui pemfaktoran, menyelesaikannya dengan rumus kuadratik, menggunakan pembeza $b^2-4ac$ untuk menentukan jenis punca, dan menyempurnakan kuasa dua untuk membaca nilai minimum.

Buat setiap soalan di atas kertas dahulu sebelum melihat penyelesaian kami. Tutup kerja kami, cuba selesaikan sepenuhnya, kemudian bandingkan baris demi baris.

Semakan cara ini menangkap silap kecil, tanda yang tercicir, faktor yang salah, yang senyap-senyap merampas markah kaedah, dan ia membina tabiat menunjukkan setiap langkah dengan jelas.

Perhatikan bentuk setiap jawapan, bukan sekadar nombor akhir. Kuadratik yang difaktorkan memberi puncanya secara percuma; pembeza mengklasifikasikan punca sebelum sebarang penyelesaian dibuat; dan kuasa dua yang disempurnakan mendedahkan titik pusingan secara terus.

Mengenal pasti alat yang sebenarnya diminta oleh soalan ialah separuh daripada kerja dalam bab ini, dan empat contoh ini dipilih untuk melatih pertimbangan itu. Baca perkataan soalan dengan teliti,'selesaikan', 'jenis punca', dan 'nilai minimum' masing-masing menunjuk kepada langkah pertama yang berbeza.

Empat contoh kerja

Q1[3 marks]

Selesaikan persamaan kuadratik $x^2 + 2x - 15 = 0$ dengan pemfaktoran.

Show worked solution

Perkataan 'selesaikan' meminta nilai $x$ yang menjadikan persamaan itu benar, dan pekali di sini ialah nombor bulat kecil, jadi pemfaktoran ialah jalan paling cepat. Kita perlukan dua nombor yang didarab memberi $-15$ (sebutan pemalar) dan dijumlah memberi $+2$ (pekali $x$ ).

Senaraikan pasangan faktor $-15$ : $(1,-15)$ , $(-1,15)$ , $(3,-5)$ dan $(-3,5)$ . Pasangan $+5$ dan $-3$ memenuhinya, kerana $5\times(-3)=-15$ dan $5+(-3)=2$ .

Maka persamaan difaktorkan sebagai:

(x+5)(x-3)=0

Hasil darab bernilai sifar hanya apabila salah satu faktor ialah sifar, jadi samakan setiap kurungan dengan sifar:

x+5=0 \;\Rightarrow\; x=-5 \qquad \text{atau} \qquad x-3=0 \;\Rightarrow\; x=3

Punca-puncanya ialah $x=-5$ dan $x=3$ . Eloklah menyemak sekurang-kurangnya satu: menggantikan $x=3$ memberi $(3)^2+2(3)-15 = 9+6-15 = 0$ , dan menggantikan $x=-5$ memberi $(-5)^2+2(-5)-15 = 25-10-15 = 0$ , jadi kedua-dua punca disahkan.

Q2[3 marks]

Selesaikan $3x^2 + 5x - 2 = 0$ menggunakan rumus kuadratik.

Show worked solution

Rumus berkesan untuk setiap kuadratik, jadi ia pilihan selamat apabila pekali $x^2$ bukan $1$ dan faktor lebih sukar dikenal pasti. Rumus kuadratik ialah $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ .

Baca pekali dengan teliti: di sini $a=3$ , $b=5$ dan $c=-2$ , sambil mengekalkan tanda $c$ .

Mula-mula nilaikan pembeza $b^2-4ac$ , berhati-hati dengan tanda negatif berganda:

b^2-4ac = 5^2 - 4(3)(-2) = 25 + 24 = 49

Oleh sebab $49$ ialah kuasa dua sempurna, $\sqrt{49}=7$ , yang memberitahu kita punca akan menjadi nombor nisbah. Gantikan ke dalam rumus, ingat seluruh pengangka berada di atas $2a$ :

x = \dfrac{-5 \pm 7}{2(3)} = \dfrac{-5 \pm 7}{6}

Ambil kedua-dua tanda secara berasingan untuk mendapat dua punca:

x = \dfrac{-5+7}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \qquad \text{atau} \qquad x = \dfrac{-5-7}{6} = \dfrac{-12}{6} = -2

Maka $x=\tfrac{1}{3}$ atau $x=-2$ . Menggantikan $x=-2$ memberi $3(-2)^2+5(-2)-2 = 12-10-2 = 0$ , dan $x=\tfrac13$ memberi $3(\tfrac19)+5(\tfrac13)-2 = \tfrac13+\tfrac53-2 = 0$ , jadi kedua-dua punca disahkan.

Q3[2 marks]

Dengan menggunakan pembeza, tentukan jenis punca bagi $x^2 - 6x + 9 = 0$ .

Show worked solution

Di sini soalan hanya meminta jenis punca, jadi kita tidak perlu menyelesaikannya sepenuhnya, pembeza $b^2-4ac$ menentukannya. Kenal pasti pekali: $a=1$ , $b=-6$ dan $c=9$ .

Mengkuasaduakan $b$ negatif tetap memberi nilai positif, satu tempat silap yang biasa.

b^2-4ac = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0

Apabila pembeza bersamaan $0$ , persamaan itu mempunyai dua punca nyata dan sama (punca berulang). Ini boleh dilihat terus, kerana $x^2-6x+9=(x-3)^2$ , memberi $x=3$ dua kali.

Pembeza positif pula memberi dua punca berbeza, dan pembeza negatif memberi tiada punca nyata.

Q4[3 marks]

Ungkapkan $f(x) = x^2 - 6x + 11$ dalam bentuk $(x-h)^2 + k$ . Seterusnya nyatakan nilai minimum $f(x)$ dan koordinat titik pusingan.

Show worked solution

Frasa 'nilai minimum' ialah isyarat untuk menyempurnakan kuasa dua, kerana bentuk yang disempurnakan menunjukkan verteks sepintas lalu. Bahagikan pekali $x$ kepada dua: separuh daripada $-6$ ialah $-3$ , jadi kita bermula daripada $(x-3)^2$ .

Oleh sebab $(x-3)^2 = x^2-6x+9$ membawa lebihan $+9$ , kita tolak semula supaya nilainya tidak berubah:

f(x) = (x-3)^2 - 9 + 11 = (x-3)^2 + 2

Sebutan kuasa dua $(x-3)^2$ tidak pernah negatif; nilai terkecilnya ialah $0$ , dicapai apabila kurungan itu sifar, iaitu apabila $x=3$ .

Maka nilai minimum $f(x)$ ialah $2$ , berlaku pada $x=3$ . Titik pusingan ialah $(3,\,2)$ , dan ia titik minimum kerana pekali $x^2$ adalah positif, jadi parabola membuka ke atas.

Semak dengan penggantian: $f(3)=(3)^2-6(3)+11 = 9-18+11 = 2$ , sepadan dengan nilai yang dibaca daripada kuasa dua yang disempurnakan.

Q5[2 marks]

Nyatakan persamaan paksi simetri bagi lengkung $y = x^2 - 8x + 10$ .

Show worked solution

Bagi lengkung $y=ax^2+bx+c$ , paksi simetri ialah garis mencancang yang melalui verteks, diberikan terus oleh $x=-\dfrac{b}{2a}$ . Di sini $a=1$ , $b=-8$ dan $c=10$ , jadi kenal pasti pekali sebelum menggantikan.

x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-8}{2(1)}

Permudahkan tanda negatif berganda pada pengangka, kemudian bahagikan.

x = \dfrac{8}{2} = 4

Jawapan

Paksi simetri ialah $x=4$ . Sebagai semakan, menyempurnakan kuasa dua memberi $y=(x-4)^2-6$ , mengesahkan garis verteks yang sama $x=4$ .

Q6[3 marks]

Bentukkan persamaan kuadratik yang puncanya $4$ dan $-3$ , berikan jawapan dalam bentuk $x^2+bx+c=0$ .

Show worked solution

Apabila kedua-dua punca diketahui, persamaan boleh dibina semula terus daripada faktor $(x-\alpha)(x-\beta)=0$ , dengan tanda setiap punca dikekalkan di dalam kurungannya sendiri.

(x-4)(x-(-3))=0 \;\Rightarrow\; (x-4)(x+3)=0

Kembangkan kurungan dan kumpulkan sebutan serupa.

x^2+3x-4x-12=0 \;\Rightarrow\; x^2-x-12=0

Jawapan

Persamaannya ialah $x^2-x-12=0$ . Sebagai semakan, hasil tambah punca $4+(-3)=1$ bersamaan $-b$ (kerana $b=-1$ ), dan hasil darab $4\times(-3)=-12$ bersamaan $c$ , sepadan dengan pekali.

Q7[3 marks]

Selesaikan ketaksamaan $x^2-2x-8\le0$ .

Show worked solution

Mulakan dengan memfaktorkan untuk mencari nilai genting, nilai $x$ di mana ungkapan itu bersamaan sifar, kerana ini ialah titik di mana graf memotong paksi- $x$ .

x^2-2x-8=(x-4)(x+2)=0 \;\Rightarrow\; x=4 \text{ atau } x=-2

Pekali $x^2$ adalah positif, jadi graf ialah parabola yang membuka ke atas. Ia terletak pada atau di bawah paksi- $x$ ( $\le 0$ ) hanya pada selang di antara kedua-dua puncanya.

-2 \le x \le 4

Jawapan

Penyelesaiannya ialah $-2\le x\le 4$ . Sebagai semakan, $x=0$ terletak dalam selang ini dan memberi $0^2-2(0)-8=-8\le0$ , seperti yang dijangka.

Q8[3 marks]

Cari nilai $k$ , dengan $k>0$ , supaya persamaan $x^2+kx+16=0$ mempunyai dua punca sama.

Show worked solution

Dua punca sama berlaku tepat apabila pembeza $b^2-4ac$ bersamaan sifar. Kenal pasti pekali $a=1$ , $b=k$ dan $c=16$ , kemudian samakan pembeza dengan sifar.

k^2-4(1)(16)=0

Selesaikan persamaan ini untuk $k$ .

k^2=64 \;\Rightarrow\; k=\pm8

Jawapan

Oleh sebab $k>0$ , nilai yang diperlukan ialah $k=8$ . Sebagai semakan, penggantian memberi $x^2+8x+16=(x+4)^2=0$ , punca berulang sebenar pada $x=-4$ .

Poin kaedah utama

Faktorkan dahulu bagi kuadratik mudah: cari dua nombor dengan hasil darab dan hasil tambah yang betul, kemudian samakan setiap kurungan dengan sifar.
Rumus kuadratik $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ sentiasa berkesan, gantikan $a$ , $b$ , $c$ dengan teliti dan berhati-hati dengan tanda.
Pembeza $b^2-4ac$ menamakan punca: positif memberi dua punca nyata berbeza, sifar memberi dua punca sama, negatif memberi tiada punca nyata.
Menyempurnakan kuasa dua menulis semula $x^2+bx+c$ sebagai $(x-h)^2+k$ , jadi anda membaca nilai minimum $k$ dan titik pusingan $(h,k)$ terus.
Tunjukkan setiap baris, dengan pemarkahan analitik, kaedah yang betul memperoleh markah walaupun jawapan akhir tergelincir.

Silap biasa yang perlu dielakkan

Semasa memfaktorkan, semak kedua-dua hasil darab dan hasil tambah, pasangan yang salah selalunya memenuhi salah satu sahaja. Dalam rumus kuadratik, letakkan seluruh pengangka di atas $2a$ , dan kuasaduakan $b$ negatif dahulu, kerana $(-6)^2=36$ , bukan $-36$ .

Semasa menyempurnakan kuasa dua, pemalar yang ditambah di dalam kurungan mesti ditolak semula di luarnya. Penggantian jawapan semula ke dalam persamaan asal menangkap hampir semua silap ini sebelum ia merugikan markah.

Bagaimana guru membantu

Di dalam kelas, guru kami memerhati tempat markah bocor: tanda yang tercicir apabila faktor negatif, pembeza dikira dengan $a$ yang salah, atau $+9$ terlupa semasa menyempurnakan kuasa dua. Kami minta anda menyebut setiap langkah dengan kuat, supaya penaakulan menjadi automatik jauh sebelum peperiksaan.

Kami juga membantu anda memutuskan, dalam beberapa saat pertama, kaedah yang diminta soalan, faktorkan, guna rumus, uji pembeza, atau sempurnakan kuasa dua, kerana pilihan tunggal itu membentuk keseluruhan penyelesaian. Oleh sebab Add Math dimarkahkan secara analitik, kami melatih anda menyusun setiap baris dengan jelas supaya kaedah itu sendiri memperoleh markah.

Pengajaran dijalankan dalam bahasa Inggeris, dan kami membina daripada kes mudah di sini sehingga yang lebih rumit, satu langkah kukuh pada satu masa.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Perlukah saya sentiasa cuba memfaktorkan sebelum menggunakan rumus?

Jika kuadratik boleh difaktorkan dengan nombor bulat kecil, pemfaktoran lebih cepat dan kurang ralat. Apabila anda tidak dapat mengenal pasti faktor dengan cepat, beralih kepada rumus $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ , yang berkesan untuk setiap kuadratik.

Apakah sebenarnya yang diberitahu oleh pembeza?

Nilai $b^2-4ac$ mendedahkan jenis punca sebelum anda menyelesaikannya: positif bermaksud dua punca nyata berbeza, sifar bermaksud dua punca sama, dan negatif bermaksud tiada punca nyata.

Mengapa perlu menyempurnakan kuasa dua dan bukan sekadar membaca nombor?

Menyempurnakan kuasa dua menulis semula fungsi sebagai $(x-h)^2+k$ , yang menunjukkan titik pusingan $(h,k)$ dan nilai minimum atau maksimum $k$ secara terus, maklumat yang tidak dapat dibaca daripada bentuk biasa.

Adakah saya kehilangan semua markah jika jawapan akhir saya salah?

Tidak. Add Math dimarkahkan secara analitik, jadi langkah betul yang ditunjukkan dengan jelas tetap memperoleh markah kaedah walaupun silap kemudian merosakkan nilai akhir.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Fungsi Kuadratik, Contoh Kerja (mudah)

Cara menggunakan set ini

Empat contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?