二次函数，练习题

先整理成标准式 $ax^{2}+bx+c=0$，使一边为零：

$$x^{2}+2x-15=0$$

因式分解：找两个数，乘积为 $-15$、和为 $+2$。它们是 $+5$ 与 $-3$：

$$(x+5)(x-3)=0$$

令每个因式为零，分别求解：

$$x+5=0 \;\Rightarrow\; x=-5 \qquad x-3=0 \;\Rightarrow\; x=3$$

对 $ax^{2}+bx+c=0$，根之和为 $-\dfrac{b}{a}$，根之积为 $\dfrac{c}{a}$。这里 $a=1$，$b=-5$，$c=3$，直接读出：

$$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{1}=5 \qquad \alpha\beta=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$$

(c) 不要去解出两个根。改用恒等式 $\alpha^{2}+\beta^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta$，它由你已有的两个值构成：

$$\alpha^{2}+\beta^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta=(5)^{2}-2(3)=25-6=19$$

两个相等的根意味着判别式为零。对 $ax^{2}+bx+c=0$，判别式是 $b^{2}-4ac$。

这里 $a=1$，$b=k$，$c=9$，令它为零：

$$b^{2}-4ac=0 \;\Rightarrow\; k^{2}-4(1)(9)=0$$

解出 $k$：

$$k^{2}=36 \;\Rightarrow\; k=\pm 6$$

用配方法。取 $x$ 的系数 $-6$ 的一半，即 $-3$。

写出平方 $(x-3)^{2}$，它展开为 $x^{2}-6x+9$，所以要减去多出的 $9$，并保留 $+11$：

$$x^{2}-6x+11=(x-3)^{2}-9+11=(x-3)^{2}+2$$

所以 $p=3$，$q=2$。平方项 $(x-3)^{2}$ 永不为负，其最小值为 $0$，在 $x-3=0$ 时取得。

此时 $f(x)$ 取到最小值：

$$f(x)_{\min}=0+2=2 \quad\text{在}\quad x=3$$

先用因式分解求对应方程 $x^{2}-x-6=0$ 的根。乘积为 $-6$、和为 $-1$ 的两个数是 $-3$ 与 $+2$：

$$(x-3)(x+2)=0 \;\Rightarrow\; x=3 \;\text{或}\; x=-2$$

$y=x^{2}-x-6$ 的图像是开口向上的抛物线，所以只在两根之间跌到 $x$ 轴下方。不等式问哪里 $y<0$，即内部那段区间：

$$-2<x<3$$

没有实根意味着判别式为负：$b^{2}-4ac<0$。这里 $a=1$，$b=p$，$c=p+3$。

代入并仔细展开：

$$p^{2}-4(1)(p+3)<0 \;\Rightarrow\; p^{2}-4p-12<0$$

这本身是一个关于 $p$ 的二次不等式。把左边因式分解：乘积为 $-12$、和为 $-4$ 的两个数是 $-6$ 与 $+2$：

$$(p-6)(p+2)<0 \;\Rightarrow\; p=6 \;\text{与}\; p=-2 \;\text{为边界}$$

表达式 $(p-6)(p+2)$ 是开口向上的抛物线，所以只在两根之间为负：

$$-2<p<6$$