Fungsi Kuadratik Soalan Latihan

Q: Bila saya patut menyempurnakan kuasa dua dan bukan memfaktorkan?

Faktorkan untuk mencari punca dengan cepat. Sempurnakan kuasa dua apabila anda perlukan verteks, nilai minimum atau maksimum dan tempat ia berlaku, kerana bentuk (x−p)2+q(x-p)^{2}+q(x−p)2+q menunjukkan kedua-duanya sekali pandang.

Q: Apakah yang diberitahu oleh diskriminan?

Bagi ax2+bx+c=0ax^{2}+bx+c=0ax2+bx+c=0, b2−4ac>0b^{2}-4ac>0b2−4ac>0 memberi dua punca nyata berbeza, =0=0=0 memberi dua punca sama, dan <0<0<0 memberi tiada punca nyata. Banyak soalan menukar syarat pada punca kepada syarat pada b2−4acb^{2}-4acb2−4ac.

Q: Bagaimana saya menentukan kawasan yang memenuhi ketaksamaan kuadratik?

Cari punca, lakar parabola, dan baca tandanya. Parabola membuka ke atas berada di bawah sifar antara puncanya dan di atas sifar di luarnya. Titik ujian yang cepat mengesahkan pilihan anda.

Q: Adakah saya hilang semua markah jika jawapan akhir saya salah?

Tidak. Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, satu baris kaedah yang betul dan kerja yang betul masih memperoleh markah walaupun aritmetik tergelincir di akhir. Sebab itulah anda patut sentiasa menunjukkan kerja penuh.

Cara menggunakan soalan latihan ini

Enam soalan di bawah meningkat kesukarannya merentas seluruh bab Fungsi Kuadratik, daripada satu pemfaktoran hingga penaakulan dengan diskriminan. Beri diri anda kira-kira enam hingga sembilan minit bagi setiap soalan dan kerjakan di atas kertas dahulu, menulis setiap baris seperti dalam peperiksaan sebenar, satu baris kaedah, penyusunan semula yang jelas, kemudian jawapan akhir.

Jangan buka penyelesaian sehingga anda benar-benar menulis percubaan penuh di atas kertas.

Apabila kerja anda berbeza dengan kerja kami, berhenti pada baris tepat tempat kedua-duanya mula bercapah; langkah tunggal itulah yang hampir selalu menyebabkan markah hilang. Oleh sebab Add Math dinilai secara analitik, satu baris kaedah yang jelas masih memperoleh markah walaupun aritmetik akhir tergelincir, jadi tunjukkan bentuk piawai $ax^{2}+bx+c=0$ , faktornya, atau diskriminan sepenuhnya.

Anggap halaman ini sebagai latihan, matlamatnya ialah mencari langkah lemah sekarang, sementara masih ada masa untuk membetulkannya.

Enam soalan latihan

Q1[3 marks]

Selesaikan persamaan kuadratik $x^{2}+2x=15$ .

Show worked solution

Mula-mula susun semula kepada bentuk piawai $ax^{2}+bx+c=0$ , supaya satu belah menjadi sifar:

x^{2}+2x-15=0

Faktorkan: cari dua nombor yang hasil darabnya $-15$ dan hasil tambahnya $+2$ . Nombor itu ialah $+5$ dan $-3$ :

(x+5)(x-3)=0

Samakan setiap faktor dengan sifar dan selesaikan:

x+5=0 \;\Rightarrow\; x=-5 \qquad x-3=0 \;\Rightarrow\; x=3

Jawapan

$x=-5$ atau $x=3$ . Semak punca pertama: $(-5)^{2}+2(-5)=25-10=15$ , seperti yang dikehendaki.

Q2[4 marks]

Persamaan kuadratik $x^{2}-5x+3=0$ mempunyai punca $\alpha$ dan $\beta$ . Cari (a) $\alpha+\beta$ , (b) $\alpha\beta$ , dan (c) nilai $\alpha^{2}+\beta^{2}$ .

Show worked solution

Bagi $ax^{2}+bx+c=0$ , hasil tambah punca ialah $-\dfrac{b}{a}$ dan hasil darab ialah $\dfrac{c}{a}$ . Di sini $a=1$ , $b=-5$ , $c=3$ , jadi baca terus:

\alpha+\beta=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{1}=5 \qquad \alpha\beta=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3

(c) Jangan selesaikan puncanya. Sebaliknya gunakan identiti $\alpha^{2}+\beta^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta$ , yang dibina daripada dua nilai yang sudah anda miliki:

\alpha^{2}+\beta^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta=(5)^{2}-2(3)=25-6=19

Jawapan

$\alpha+\beta=5$ , $\alpha\beta=3$ , dan $\alpha^{2}+\beta^{2}=19$ . Identiti itu menukar dua kuantiti mudah kepada jawapan tanpa perlu mencari $\alpha$ dan $\beta$ secara berasingan.

Q3[4 marks]

Persamaan kuadratik $x^{2}+kx+9=0$ mempunyai dua punca yang sama. Cari nilai-nilai $k$ yang mungkin.

Show worked solution

Dua punca yang sama bermakna diskriminan bersamaan sifar. Bagi $ax^{2}+bx+c=0$ diskriminan ialah $b^{2}-4ac$ .

Di sini $a=1$ , $b=k$ , $c=9$ , jadi samakan dengan sifar:

b^{2}-4ac=0 \;\Rightarrow\; k^{2}-4(1)(9)=0

Selesaikan untuk $k$ :

k^{2}=36 \;\Rightarrow\; k=\pm 6

Jawapan

$k=6$ atau $k=-6$ . Semak $k=6$ : persamaan menjadi $x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}=0$ , yang memang mempunyai satu punca berulang $x=-3$ .

Q4[5 marks]

Ungkapkan $f(x)=x^{2}-6x+11$ dalam bentuk $(x-p)^{2}+q$ . Seterusnya nyatakan nilai minimum $f(x)$ dan nilai $x$ di mana ia berlaku.

Show worked solution

Sempurnakan kuasa dua. Ambil separuh daripada pekali $x$ , iaitu $-6$ ; separuhnya ialah $-3$ .

Tulis kuasa dua $(x-3)^{2}$ , yang berkembang kepada $x^{2}-6x+9$ , jadi tolak lebihan $9$ dan kekalkan $+11$ :

x^{2}-6x+11=(x-3)^{2}-9+11=(x-3)^{2}+2

Jadi $p=3$ dan $q=2$ . Sebutan kuasa dua $(x-3)^{2}$ tidak pernah negatif, dan nilai terkecilnya ialah $0$ , dicapai apabila $x-3=0$ .

Pada titik itu $f(x)$ mengambil nilai minimumnya:

f(x)_{\min}=0+2=2 \quad\text{pada}\quad x=3

Jawapan

$f(x)=(x-3)^{2}+2$ ; nilai minimum ialah $2$ , berlaku pada $x=3$ . Semak dengan mengembang: $(x-3)^{2}+2=x^{2}-6x+9+2=x^{2}-6x+11$ , yang sepadan dengan asal.

Q5[5 marks]

Cari julat nilai $x$ dengan $x^{2}-x-6<0$ .

Show worked solution

Mula-mula cari punca persamaan sepadan $x^{2}-x-6=0$ secara pemfaktoran. Dua nombor yang hasil darabnya $-6$ dan hasil tambahnya $-1$ ialah $-3$ dan $+2$ :

(x-3)(x+2)=0 \;\Rightarrow\; x=3 \;\text{atau}\; x=-2

Graf $y=x^{2}-x-6$ ialah parabola membuka ke atas, jadi ia turun di bawah paksi- $x$ hanya antara kedua-dua puncanya. Ketaksamaan bertanya di mana $y<0$ , iaitu kawasan dalam itu:

-2<x<3

Jawapan

$-2<x<3$ . Semak dengan titik ujian di dalam, $x=0$ : $0-0-6=-6<0$ , benar; dan di luar, $x=4$ : $16-4-6=6>0$ , jadi $x=4$ betul-betul dikecualikan.

Q6[6 marks]

Persamaan kuadratik $x^{2}+px+(p+3)=0$ tidak mempunyai punca nyata. Cari julat nilai $p$ .

Show worked solution

Tiada punca nyata bermakna diskriminan negatif: $b^{2}-4ac<0$ . Di sini $a=1$ , $b=p$ , $c=p+3$ .

Gantikan dan kembangkan dengan teliti:

p^{2}-4(1)(p+3)<0 \;\Rightarrow\; p^{2}-4p-12<0

Ini sendiri ialah ketaksamaan kuadratik dalam $p$ . Faktorkan sebelah kiri: dua nombor yang hasil darabnya $-12$ dan hasil tambahnya $-4$ ialah $-6$ dan $+2$ :

(p-6)(p+2)<0 \;\Rightarrow\; p=6 \;\text{atau}\; p=-2 \;\text{ialah sempadan}

Ungkapan $(p-6)(p+2)$ ialah parabola membuka ke atas, jadi ia negatif hanya antara puncanya:

-2<p<6

Jawapan

$-2<p<6$ . Semak $p=0$ , yang terletak di dalam: diskriminan ialah $0-0-12=-12<0$ , jadi tiada punca nyata, seperti dikehendaki.

Pada sempadan $p=6$ diskriminan ialah $36-24-12=0$ , memberi punca sama, jadi sempadan betul-betul dikecualikan oleh ketaksamaan tegas.

Cara menilai diri seperti pemeriksa

Add Math dinilai secara analitik, bermakna markah dilekatkan pada langkah, bukan hanya pada nombor akhir. Apabila menyemak skrip sendiri, berikan markah kepada diri anda seperti seorang pemeriksa: cari kaedah yang betul dimulakan, penggantian yang tepat, dan pernyataan akhir yang jelas.

Markah kaedah: adakah anda menulis gerak yang betul, bentuk piawai $ax^{2}+bx+c=0$ , rumus hasil tambah/darab, atau $b^{2}-4ac$ bagi diskriminan?
Markah kerja: adakah faktor, kuasa dua yang disempurnakan, atau diskriminan yang digantikan semuanya betul?
Markah jawapan: adakah nilai atau julat akhir dinyatakan dengan jelas, dan disahkan oleh titik ujian atau penggantian?
Bagi ketaksamaan, punca sempadan yang betul memperoleh markah walaupun sebelum anda memutuskan kawasan mana yang memenuhi tanda.
Jika nombor akhir anda salah tetapi baris kaedah betul, berikan diri anda markah kaedah, itulah tepat yang dilakukan oleh pemeriksa sebenar.

Bagaimana guru membantu

Menilai diri sendiri amat berkuasa, tetapi sukar untuk melihat titik buta sendiri. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati baris tepat tempat markah tergelincir, ralat tanda semasa menyempurnakan kuasa dua, atau kawasan salah dipilih dalam ketaksamaan, dan membetulkan tabiat itu serta-merta.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang menerangkan sebab di sebalik setiap langkah. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi kami pastikan tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bila saya patut menyempurnakan kuasa dua dan bukan memfaktorkan?

Faktorkan untuk mencari punca dengan cepat. Sempurnakan kuasa dua apabila anda perlukan verteks, nilai minimum atau maksimum dan tempat ia berlaku, kerana bentuk $(x-p)^{2}+q$ menunjukkan kedua-duanya sekali pandang.

Apakah yang diberitahu oleh diskriminan?

Bagi $ax^{2}+bx+c=0$ , $b^{2}-4ac>0$ memberi dua punca nyata berbeza, $=0$ memberi dua punca sama, dan $<0$ memberi tiada punca nyata. Banyak soalan menukar syarat pada punca kepada syarat pada $b^{2}-4ac$ .

Bagaimana saya menentukan kawasan yang memenuhi ketaksamaan kuadratik?

Cari punca, lakar parabola, dan baca tandanya. Parabola membuka ke atas berada di bawah sifar antara puncanya dan di atas sifar di luarnya.

Titik ujian yang cepat mengesahkan pilihan anda.

Adakah saya hilang semua markah jika jawapan akhir saya salah?

Tidak. Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, satu baris kaedah yang betul dan kerja yang betul masih memperoleh markah walaupun aritmetik tergelincir di akhir.

Sebab itulah anda patut sentiasa menunjukkan kerja penuh.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Fungsi Kuadratik, Soalan Latihan

Cara menggunakan soalan latihan ini

Enam soalan latihan

Cara menilai diri seperti pemeriksa

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?