线性定律例题（中等）| SPM Add Math

Q: 我怎么决定该画 \lg x 还是画 x？

看变量在哪里。幂律 y=axny = ax^{n}y=axn 里 xxx 是底数，所以以 lg⁡y\lg ylgy 对 lg⁡x\lg xlgx 作图。指数律 y=abxy = ab^{x}y=abx 里 xxx 是指数，所以以 lg⁡y\lg ylgy 对普通的 xxx 作图。

Q: 为什么 y = ax + bx^{2} 要除以 x？

每一项除以 xxx 得到 yx=bx+a\frac{y}{x} = bx + axy=bx+a，这是关于 yx\frac{y}{x}xy 与 xxx 的一条直线。斜率变成 bbb，截距变成 aaa，因此两个常数都能从一条直线读出。

Q: 截距算出来是 \lg a = 3，怎么求 a？

用十的幂消去对数：a=103=1000a = 10^{3} = 1000a=103=1000。把答案留成 lg⁡a\lg alga 是常见的丢掉最后一分的方式，所以务必换回 aaa 或 bbb。

这些例题涵盖什么

这组中等的线性定律例题不再只是读一条现成的直线，而是走进化简本身。你会把一个关系除以 $x$ 来线性化 $y = ax + bx^{2}$ ，再用对数拉直两个最常见的考试关系：幂律 $y = ax^{n}$ 与指数律 $y = ab^{x}$ 。

每一题都用小而干净的数字，让代数始终看得见。最好的用法是先把解答盖住，在纸上完整做完化简和运算，然后再逐行对照我们的算法。

如果答案不同，就找出两份解答分岔的那一步，决定要画什么、对数落在哪里，正是大多数分数得失的地方。

例题解析

三题全部做完。每一题都先自己完整做一遍，再看对应的解答，并留意同一套纪律，整理成 $Y = mX + c$ 、说清 $Y$ 与 $X$ 、再把斜率与截距对应到常数，如何贯穿每一题。

Q1[4 marks]

变量 $x$ 与 $y$ 由 $y = ax + bx^{2}$ 联系，其中 $a$ 与 $b$ 为常数。以 $\frac{y}{x}$ 对 $x$ 作图得到的直线通过点 $(2, 7)$ 与 $(5, 16)$ 。

求 $a$ 与 $b$ 的值。

Show worked solution

先把关系线性化。每一项都除以 $x$ ，使方程与 $Y = mX + c$ 对应：

\frac{y}{x} = a + bx = bx + a

所以纵轴是 $Y = \frac{y}{x}$ ，横轴是 $X = x$ 。斜率是 $b$ ，截距是 $a$ 。

由两点求斜率：

b = \frac{16 - 7}{5 - 2} = \frac{9}{3} = 3

代入点 $(2, 7)$ 求截距 $a$ ：

7 = 3(2) + a \;\Rightarrow\; 7 = 6 + a \;\Rightarrow\; a = 1

答案

$a = 1$ ， $b = 3$ ，所以 $y = x + 3x^{2}$ 。用第二个点检验：在 $x = 5$ 时， $y = 5 + 3(25) = 80$ ，且 $\frac{y}{x} = \frac{80}{5} = 16$ ，与 $(5, 16)$ 吻合。

Q2[4 marks]

变量 $x$ 与 $y$ 由 $y = ax^{n}$ 联系，其中 $a$ 与 $n$ 为常数。当以 $\lg y$ 对 $\lg x$ 作图时，直线通过 $(\lg x, \lg y) = (1, 5)$ 与 $(3, 9)$ 。

求 $a$ 与 $n$ 的值。

Show worked solution

两边取 $\lg$ ，用对数的幂法则与乘积法则把关系拉直：

\lg y = \lg\left(a x^{n}\right) = \lg a + n\lg x = (n)\lg x + \lg a

与 $Y = mX + c$ 对照，纵轴是 $Y = \lg y$ ，横轴是 $X = \lg x$ 。斜率是 $n$ ，截距是 $\lg a$ 。

由两点求斜率：

n = \frac{9 - 5}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2

代入点 $(1, 5)$ 求截距 $\lg a$ ，再消去对数：

5 = 2(1) + \lg a \;\Rightarrow\; \lg a = 3 \;\Rightarrow\; a = 10^{3} = 1000

答案

$n = 2$ ， $a = 1000$ ，所以 $y = 1000\,x^{2}$ 。检验第二个点：在 $\lg x = 3$ 时， $\lg y = 2(3) + 3 = 9$ ，与 $(3, 9)$ 吻合。

Q3[4 marks]

变量 $x$ 与 $y$ 由 $y = ab^{x}$ 联系，其中 $a$ 与 $b$ 为常数。当以 $\lg y$ 对 $x$ 作图时，直线通过 $(0, 2)$ 与 $(3, 5)$ 。

求 $a$ 与 $b$ 的值。

Show worked solution

两边取 $\lg$ 。这里变量 $x$ 位于指数上，所以幂法则把它作为系数带下来：

\lg y = \lg\left(a b^{x}\right) = \lg a + x\lg b = (\lg b)x + \lg a

与 $Y = mX + c$ 对照，纵轴是 $Y = \lg y$ ，横轴是 $X = x$ 。斜率是 $\lg b$ ，截距是 $\lg a$ 。

点 $(0, 2)$ 落在纵轴上，因此直接给出截距：

\lg a = 2 \;\Rightarrow\; a = 10^{2} = 100

再由两点求斜率，并消去对数得到 $b$ ：

\lg b = \frac{5 - 2}{3 - 0} = \frac{3}{3} = 1 \;\Rightarrow\; b = 10^{1} = 10

答案

$a = 100$ ， $b = 10$ ，所以 $y = 100(10)^{x}$ 。检验第二个点：在 $x = 3$ 时， $\lg y = 1(3) + 2 = 5$ ，与 $(3, 5)$ 吻合。

Q4[3 marks]

变量 $x$ 与 $y$ 由 $y = px^{2} + q$ 联系，其中 $p$ 与 $q$ 为常数。以 $y$ 对 $x^{2}$ 作图得到的直线通过点 $(1, 7)$ 与 $(3, 17)$ 。

求 $p$ 与 $q$ 的值。

Show worked solution

只要横轴取 $x^{2}$ ，这个关系就已经是直线：纵轴是 $Y = y$ ，横轴是 $X = x^{2}$ ，与 $Y = mX + c$ 对应。斜率是 $p$ ，截距是 $q$ 。

由两点求斜率：

p = \frac{17 - 7}{3 - 1} = \frac{10}{2} = 5

代入点 $(1, 7)$ 求 $q$ ：

7 = 5(1) + q \;\Rightarrow\; q = 2

答案

$p = 5$ ， $q = 2$ ，所以 $y = 5x^{2} + 2$ 。检验第二个点：在 $x^{2} = 3$ 时， $y = 5(3) + 2 = 17$ ，与 $(3, 17)$ 吻合。

Q5[4 marks]

变量 $x$ 与 $y$ 由 $xy = ax + b$ 联系，其中 $a$ 与 $b$ 为常数。以 $y$ 对 $\frac{1}{x}$ 作图得到的直线通过点 $(2, 9)$ 与 $(5, 21)$ 。

求 $a$ 与 $b$ 的值。

Show worked solution

每一项都除以 $x$ ，使方程与 $Y = mX + c$ 对应：

\frac{xy}{x} = \frac{ax}{x} + \frac{b}{x} \;\Rightarrow\; y = a + b\cdot\frac{1}{x}

所以纵轴是 $Y = y$ ，横轴是 $X = \frac{1}{x}$ 。斜率是 $b$ ，截距是 $a$ 。

由两点求斜率：

b = \frac{21 - 9}{5 - 2} = \frac{12}{3} = 4

代入点 $(2, 9)$ 求截距 $a$ ：

9 = 4(2) + a \;\Rightarrow\; 9 = 8 + a \;\Rightarrow\; a = 1

答案

$a = 1$ ， $b = 4$ ，所以 $xy = x + 4$ ，即 $y = 1 + \frac{4}{x}$ 。检验第二个点：在 $\frac{1}{x} = 5$ 时， $y = 1 + 4(5) = 21$ ，与 $(5, 21)$ 吻合。

Q6[3 marks]

变量 $x$ 与 $y$ 由 $\frac{1}{y} = ax + b$ 联系，其中 $a$ 与 $b$ 为常数。以 $\frac{1}{y}$ 对 $x$ 作图得到的直线通过点 $(1, 7)$ 与 $(4, 19)$ 。

求 $a$ 与 $b$ 的值。

Show worked solution

只要纵轴取 $\frac{1}{y}$ ，这个关系就已经是直线： $Y = \frac{1}{y}$ ， $X = x$ ，与 $Y = mX + c$ 对应。斜率是 $a$ ，截距是 $b$ 。

由两点求斜率：

a = \frac{19 - 7}{4 - 1} = \frac{12}{3} = 4

代入点 $(1, 7)$ 求 $b$ ：

7 = 4(1) + b \;\Rightarrow\; b = 3

答案

$a = 4$ ， $b = 3$ ，所以 $\frac{1}{y} = 4x + 3$ ，即 $y = \frac{1}{4x + 3}$ 。检验第二个点：在 $x = 4$ 时， $\frac{1}{y} = 4(4) + 3 = 19$ ，与 $(4, 19)$ 吻合。

Q7[4 marks]

变量 $x$ 与 $y$ 由 $y = ab^{x^{2}}$ 联系，其中 $a$ 与 $b$ 为常数。当以 $\lg y$ 对 $x^{2}$ 作图时，直线通过 $(0, 3)$ 与 $(2, 7)$ 。

求 $a$ 与 $b$ 的值。

Show worked solution

两边取 $\lg$ 。由于 $x$ 在指数中被平方， $x^{2}$ 本身就成为横轴变量：

\lg y = \lg\left(ab^{x^{2}}\right) = \lg a + x^{2}\lg b = (\lg b)x^{2} + \lg a

与 $Y = mX + c$ 对照，纵轴是 $Y = \lg y$ ，横轴是 $X = x^{2}$ 。斜率是 $\lg b$ ，截距是 $\lg a$ 。

点 $(0, 3)$ 落在纵轴上，因此直接给出截距：

\lg a = 3 \;\Rightarrow\; a = 10^{3} = 1000

再由两点求斜率，并消去对数得到 $b$ ：

\lg b = \frac{7 - 3}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2 \;\Rightarrow\; b = 10^{2} = 100

答案

$a = 1000$ ， $b = 100$ ，所以 $y = 1000(100)^{x^{2}}$ 。检验第二个点：在 $x^{2} = 2$ 时， $\lg y = 2(2) + 3 = 7$ ，与 $(2, 7)$ 吻合。

Q8[3 marks]

变量 $x$ 与 $y$ 由 $y^{2} = ax + b$ 联系，其中 $a$ 与 $b$ 为常数。以 $y^{2}$ 对 $x$ 作图得到的直线通过点 $(2, 13)$ 与 $(5, 25)$ 。

求 $a$ 与 $b$ 的值。

Show worked solution

只要纵轴取 $y^{2}$ ，这个关系就已经是直线： $Y = y^{2}$ ， $X = x$ ，与 $Y = mX + c$ 对应。斜率是 $a$ ，截距是 $b$ 。

由两点求斜率：

a = \frac{25 - 13}{5 - 2} = \frac{12}{3} = 4

代入点 $(2, 13)$ 求 $b$ ：

13 = 4(2) + b \;\Rightarrow\; 13 = 8 + b \;\Rightarrow\; b = 5

答案

$a = 4$ ， $b = 5$ ，所以 $y^{2} = 4x + 5$ 。检验第二个点：在 $x = 5$ 时， $y^{2} = 4(5) + 5 = 25$ ，与 $(5, 25)$ 吻合。

三道题看起来不同，一道用除法，两道取对数，但计划是一样的：整理到方程读作 $Y = mX + c$ ，说清 $Y$ 与 $X$ 到底是什么，然后才把斜率与截距对应到常数。在动数字之前先给两条轴命名，正是让幂律和指数律不至于混淆的关键。

关键方法要点

这三道例题演练的是承担线性定律较难那一半的化简。多做练习时，记住以下几点。

要线性化 $y = ax + bx^{2}$ ，把每一项除以 $x$ ： $\frac{y}{x} = bx + a$ ，因此以 $\frac{y}{x}$ 对 $x$ 作图。
对幂律 $y = ax^{n}$ ，两边取 $\lg$ ： $\lg y = n\lg x + \lg a$ ，因此以 $\lg y$ 对 $\lg x$ 作图。
对指数律 $y = ab^{x}$ ，两边取 $\lg$ ： $\lg y = (\lg b)x + \lg a$ ，因此以 $\lg y$ 对 $x$ 作图。
区别在于 $x$ 的位置： $x^{n}$ 使斜率为 $n$ ，横轴需要 $\lg x$ ； $b^{x}$ 使斜率为 $\lg b$ ，横轴保留 $x$ 本身。
当截距等于 $\lg a$ 或 $\lg b$ 时，用十的幂消去它： $\lg a = k \Rightarrow a = 10^{k}$ 。
由于采用分析式评分，正确的化简即使在算出常数最终值之前，也能拿到方法分。

老师如何帮忙

我们在这里最常见的失误是仓促取对数，把截距留成 $\lg a$ 而不是 $a$ ，或者把幂律与指数律弄混。在一对一的课堂上，我们的老师会陪你把化简放慢，让你看清为什么 $\lg x$ 属于一张图，而普通的 $x$ 属于另一张。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是会讲清楚每一步「为什么」的人，而不只是「怎么做」。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此这套记号在两种版本里对你都是同一个意思。

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常见问题

我怎么决定该画

\lg x

还是画

x

？

看变量在哪里。幂律 $y = ax^{n}$ 里 $x$ 是底数，所以以 $\lg y$ 对 $\lg x$ 作图。

指数律 $y = ab^{x}$ 里 $x$ 是指数，所以以 $\lg y$ 对普通的 $x$ 作图。

为什么

y = ax + bx^{2}

要除以

x

？

每一项除以 $x$ 得到 $\frac{y}{x} = bx + a$ ，这是关于 $\frac{y}{x}$ 与 $x$ 的一条直线。斜率变成 $b$ ，截距变成 $a$ ，因此两个常数都能从一条直线读出。

截距算出来是

\lg a = 3

，怎么求

a

？

用十的幂消去对数： $a = 10^{3} = 1000$ 。把答案留成 $\lg a$ 是常见的丢掉最后一分的方式，所以务必换回 $a$ 或 $b$ 。

最后怎么检验我的常数？

把第二个给定点代入你的直线方程。若它在图上给出正确的值，而原关系也能重现数据，两个常数就都稳了。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

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