Hukum Linear Contoh Kerja (Sederhana)

Q: Bagaimana saya memutuskan antara memplot \lg x dan memplot x?

Lihat di mana pemboleh ubah berada. Dalam hukum kuasa y=axny = ax^{n}y=axn, xxx ialah tapak, jadi anda plot lg⁡y\lg ylgy melawan lg⁡x\lg xlgx. Dalam hukum eksponen y=abxy = ab^{x}y=abx, xxx ialah eksponen, jadi anda plot lg⁡y\lg ylgy melawan xxx biasa.

Q: Mengapa membahagi dengan x bagi y = ax + bx^{2}?

Membahagi setiap sebutan dengan xxx memberi yx=bx+a\frac{y}{x} = bx + axy=bx+a, iaitu garis lurus dalam yx\frac{y}{x}xy dan xxx. Kecerunan menjadi bbb dan pintasan menjadi aaa, jadi kedua-dua pemalar boleh dibaca daripada satu garis.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Hukum Linear sederhana ini melangkah melepasi membaca garis lurus yang sudah siap, dan masuk ke dalam penjelmaan itu sendiri. Anda akan membahagi sesuatu hubungan dengan $x$ untuk melinearkan $y = ax + bx^{2}$ , kemudian menggunakan logaritma untuk meluruskan dua hubungan peperiksaan yang paling lazim: hukum kuasa $y = ax^{n}$ dan hukum eksponen $y = ab^{x}$ .

Setiap satu menggunakan nombor kecil dan kemas supaya algebra kekal jelas. Cara terbaik ialah menutup penyelesaian, mencuba penjelmaan dan aritmetik sepenuhnya di atas kertas, dan barulah menyemak baris demi baris dengan kerja kami.

Jika jawapan anda berbeza, cari langkah tepat tempat kedua-dua penyelesaian bercapah, memutuskan apa yang hendak diplot dan di mana logaritma jatuh ialah tempat kebanyakan markah dimenangi atau hilang.

Contoh kerja

Kerjakan ketiga-tiganya. Cuba setiap satu sepenuhnya sebelum membaca penyelesaiannya, dan perhatikan bagaimana disiplin yang sama, susun semula menjadi $Y = mX + c$ , namakan $Y$ dan $X$ , kemudian padankan kecerunan dan pintasan dengan pemalar, membawa setiap satu.

Q1[4 marks]

Pemboleh ubah $x$ dan $y$ dihubungkan oleh $y = ax + bx^{2}$ , dengan $a$ dan $b$ ialah pemalar. Suatu graf garis lurus $\frac{y}{x}$ melawan $x$ melalui titik $(2, 7)$ dan $(5, 16)$ .

Cari nilai $a$ dan $b$ .

Show worked solution

Linearkan hubungan itu dahulu. Bahagi setiap sebutan dengan $x$ supaya persamaan sepadan dengan $Y = mX + c$ :

\frac{y}{x} = a + bx = bx + a

Jadi paksi menegak ialah $Y = \frac{y}{x}$ dan paksi mengufuk ialah $X = x$ . Kecerunan ialah $b$ dan pintasan ialah $a$ .

Cari kecerunan daripada dua titik:

b = \frac{16 - 7}{5 - 2} = \frac{9}{3} = 3

Gantikan titik $(2, 7)$ untuk mencari pintasan $a$ :

7 = 3(2) + a \;\Rightarrow\; 7 = 6 + a \;\Rightarrow\; a = 1

Jawapan

$a = 1$ dan $b = 3$ , jadi $y = x + 3x^{2}$ . Semak dengan titik kedua: pada $x = 5$ , $y = 5 + 3(25) = 80$ , dan $\frac{y}{x} = \frac{80}{5} = 16$ , yang sepadan dengan $(5, 16)$ .

Q2[4 marks]

Pemboleh ubah $x$ dan $y$ dihubungkan oleh $y = ax^{n}$ , dengan $a$ dan $n$ ialah pemalar. Apabila $\lg y$ diplot melawan $\lg x$ , suatu garis lurus melalui $(\lg x, \lg y) = (1, 5)$ dan $(3, 9)$ .

Cari nilai $a$ dan $n$ .

Show worked solution

Ambil $\lg$ pada kedua-dua belah dan guna hukum kuasa dan hukum hasil darab logaritma untuk meluruskan hubungan:

\lg y = \lg\left(a x^{n}\right) = \lg a + n\lg x = (n)\lg x + \lg a

Berbanding dengan $Y = mX + c$ , paksi menegak ialah $Y = \lg y$ dan paksi mengufuk ialah $X = \lg x$ . Kecerunan ialah $n$ dan pintasan ialah $\lg a$ .

Cari kecerunan daripada dua titik:

n = \frac{9 - 5}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2

Gantikan titik $(1, 5)$ untuk mencari pintasan $\lg a$ , kemudian nyahkan logaritma:

5 = 2(1) + \lg a \;\Rightarrow\; \lg a = 3 \;\Rightarrow\; a = 10^{3} = 1000

Jawapan

$n = 2$ dan $a = 1000$ , jadi $y = 1000\,x^{2}$ . Semak titik kedua: pada $\lg x = 3$ , $\lg y = 2(3) + 3 = 9$ , yang sepadan dengan $(3, 9)$ .

Q3[4 marks]

Pemboleh ubah $x$ dan $y$ dihubungkan oleh $y = ab^{x}$ , dengan $a$ dan $b$ ialah pemalar. Apabila $\lg y$ diplot melawan $x$ , suatu garis lurus melalui $(0, 2)$ dan $(3, 5)$ .

Cari nilai $a$ dan $b$ .

Show worked solution

Ambil $\lg$ pada kedua-dua belah. Di sini pemboleh ubah $x$ berada pada eksponen, jadi hukum kuasa membawanya turun sebagai pekali:

\lg y = \lg\left(a b^{x}\right) = \lg a + x\lg b = (\lg b)x + \lg a

Berbanding dengan $Y = mX + c$ , paksi menegak ialah $Y = \lg y$ dan paksi mengufuk ialah $X = x$ . Kecerunan ialah $\lg b$ dan pintasan ialah $\lg a$ .

Titik $(0, 2)$ terletak pada paksi menegak, jadi ia memberi pintasan terus:

\lg a = 2 \;\Rightarrow\; a = 10^{2} = 100

Kini cari kecerunan daripada dua titik dan nyahkan logaritma untuk mendapat $b$ :

\lg b = \frac{5 - 2}{3 - 0} = \frac{3}{3} = 1 \;\Rightarrow\; b = 10^{1} = 10

Jawapan

$a = 100$ dan $b = 10$ , jadi $y = 100(10)^{x}$ . Semak titik kedua: pada $x = 3$ , $\lg y = 1(3) + 2 = 5$ , yang sepadan dengan $(3, 5)$ .

Q4[3 marks]

Pemboleh ubah $x$ dan $y$ dihubungkan oleh $y = px^{2} + q$ , dengan $p$ dan $q$ ialah pemalar. Suatu graf garis lurus $y$ melawan $x^{2}$ melalui titik $(1, 7)$ dan $(3, 17)$ .

Cari nilai $p$ dan $q$ .

Show worked solution

Hubungan ini sudah linear sebaik sahaja paksi mengufuk ialah $x^{2}$ : paksi menegak ialah $Y = y$ dan paksi mengufuk ialah $X = x^{2}$ , sepadan dengan $Y = mX + c$ . Kecerunan ialah $p$ dan pintasan ialah $q$ .

Cari kecerunan daripada dua titik:

p = \frac{17 - 7}{3 - 1} = \frac{10}{2} = 5

Gantikan titik $(1, 7)$ untuk mencari $q$ :

7 = 5(1) + q \;\Rightarrow\; q = 2

Jawapan

$p = 5$ dan $q = 2$ , jadi $y = 5x^{2} + 2$ . Semak dengan titik kedua: pada $x^{2} = 3$ , $y = 5(3) + 2 = 17$ , yang sepadan dengan $(3, 17)$ .

Q5[4 marks]

Pemboleh ubah $x$ dan $y$ dihubungkan oleh $xy = ax + b$ , dengan $a$ dan $b$ ialah pemalar. Suatu graf garis lurus $y$ melawan $\frac{1}{x}$ melalui titik $(2, 9)$ dan $(5, 21)$ .

Cari nilai $a$ dan $b$ .

Show worked solution

Bahagi setiap sebutan dengan $x$ supaya persamaan sepadan dengan $Y = mX + c$ :

\frac{xy}{x} = \frac{ax}{x} + \frac{b}{x} \;\Rightarrow\; y = a + b\cdot\frac{1}{x}

Jadi paksi menegak ialah $Y = y$ dan paksi mengufuk ialah $X = \frac{1}{x}$ . Kecerunan ialah $b$ dan pintasan ialah $a$ .

Cari kecerunan daripada dua titik:

b = \frac{21 - 9}{5 - 2} = \frac{12}{3} = 4

Gantikan titik $(2, 9)$ untuk mencari pintasan $a$ :

9 = 4(2) + a \;\Rightarrow\; 9 = 8 + a \;\Rightarrow\; a = 1

Jawapan

$a = 1$ dan $b = 4$ , jadi $xy = x + 4$ , iaitu $y = 1 + \frac{4}{x}$ . Semak dengan titik kedua: pada $\frac{1}{x} = 5$ , $y = 1 + 4(5) = 21$ , yang sepadan dengan $(5, 21)$ .

Q6[3 marks]

Pemboleh ubah $x$ dan $y$ dihubungkan oleh $\frac{1}{y} = ax + b$ , dengan $a$ dan $b$ ialah pemalar. Suatu graf garis lurus $\frac{1}{y}$ melawan $x$ melalui titik $(1, 7)$ dan $(4, 19)$ .

Cari nilai $a$ dan $b$ .

Show worked solution

Hubungan ini sudah linear sebaik sahaja paksi menegak ialah $\frac{1}{y}$ : $Y = \frac{1}{y}$ dan $X = x$ , sepadan dengan $Y = mX + c$ . Kecerunan ialah $a$ dan pintasan ialah $b$ .

Cari kecerunan daripada dua titik:

a = \frac{19 - 7}{4 - 1} = \frac{12}{3} = 4

Gantikan titik $(1, 7)$ untuk mencari $b$ :

7 = 4(1) + b \;\Rightarrow\; b = 3

Jawapan

$a = 4$ dan $b = 3$ , jadi $\frac{1}{y} = 4x + 3$ , iaitu $y = \frac{1}{4x + 3}$ . Semak dengan titik kedua: pada $x = 4$ , $\frac{1}{y} = 4(4) + 3 = 19$ , yang sepadan dengan $(4, 19)$ .

Q7[4 marks]

Pemboleh ubah $x$ dan $y$ dihubungkan oleh $y = ab^{x^{2}}$ , dengan $a$ dan $b$ ialah pemalar. Apabila $\lg y$ diplot melawan $x^{2}$ , suatu garis lurus melalui $(0, 3)$ dan $(2, 7)$ .

Cari nilai $a$ dan $b$ .

Show worked solution

Ambil $\lg$ pada kedua-dua belah. Oleh sebab $x$ dikuasa duakan dalam eksponen, $x^{2}$ itu sendiri menjadi pemboleh ubah mengufuk:

\lg y = \lg\left(ab^{x^{2}}\right) = \lg a + x^{2}\lg b = (\lg b)x^{2} + \lg a

Berbanding dengan $Y = mX + c$ , paksi menegak ialah $Y = \lg y$ dan paksi mengufuk ialah $X = x^{2}$ . Kecerunan ialah $\lg b$ dan pintasan ialah $\lg a$ .

Titik $(0, 3)$ terletak pada paksi menegak, jadi ia memberi pintasan terus:

\lg a = 3 \;\Rightarrow\; a = 10^{3} = 1000

Kini cari kecerunan daripada dua titik dan nyahkan logaritma untuk mendapat $b$ :

\lg b = \frac{7 - 3}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2 \;\Rightarrow\; b = 10^{2} = 100

Jawapan

$a = 1000$ dan $b = 100$ , jadi $y = 1000(100)^{x^{2}}$ . Semak dengan titik kedua: pada $x^{2} = 2$ , $\lg y = 2(2) + 3 = 7$ , yang sepadan dengan $(2, 7)$ .

Q8[3 marks]

Pemboleh ubah $x$ dan $y$ dihubungkan oleh $y^{2} = ax + b$ , dengan $a$ dan $b$ ialah pemalar. Suatu graf garis lurus $y^{2}$ melawan $x$ melalui titik $(2, 13)$ dan $(5, 25)$ .

Cari nilai $a$ dan $b$ .

Show worked solution

Hubungan ini sudah linear sebaik sahaja paksi menegak ialah $y^{2}$ : $Y = y^{2}$ dan $X = x$ , sepadan dengan $Y = mX + c$ . Kecerunan ialah $a$ dan pintasan ialah $b$ .

Cari kecerunan daripada dua titik:

a = \frac{25 - 13}{5 - 2} = \frac{12}{3} = 4

Gantikan titik $(2, 13)$ untuk mencari $b$ :

13 = 4(2) + b \;\Rightarrow\; 13 = 8 + b \;\Rightarrow\; b = 5

Jawapan

$a = 4$ dan $b = 5$ , jadi $y^{2} = 4x + 5$ . Semak dengan titik kedua: pada $x = 5$ , $y^{2} = 4(5) + 5 = 25$ , yang sepadan dengan $(5, 25)$ .

Ketiga-tiga soalan kelihatan berbeza, satu membahagi, dua mengambil logaritma, namun rancangannya sama: susun semula sehingga persamaan terbaca sebagai $Y = mX + c$ , nyatakan tepat apa itu $Y$ dan $X$ , dan barulah padankan kecerunan dan pintasan dengan pemalar. Menamakan paksi sebelum menyentuh nombor yang menjaga hukum kuasa dan hukum eksponen daripada dikelirukan.

Poin kaedah utama

Tiga contoh ini melatih penjelmaan yang membawa separuh lebih sukar Hukum Linear. Ingat poin berikut semasa anda berlatih lebih banyak.

Untuk melinearkan $y = ax + bx^{2}$ , bahagi setiap sebutan dengan $x$ : $\frac{y}{x} = bx + a$ , jadi plot $\frac{y}{x}$ melawan $x$ .
Bagi hukum kuasa $y = ax^{n}$ , ambil $\lg$ pada kedua-dua belah: $\lg y = n\lg x + \lg a$ , jadi plot $\lg y$ melawan $\lg x$ .
Bagi hukum eksponen $y = ab^{x}$ , ambil $\lg$ pada kedua-dua belah: $\lg y = (\lg b)x + \lg a$ , jadi plot $\lg y$ melawan $x$ .
Bezanya ialah di mana $x$ berada: $x^{n}$ menjadikan kecerunan $n$ dan memerlukan $\lg x$ pada paksi mengufuk; $b^{x}$ menjadikan kecerunan $\lg b$ dan mengekalkan $x$ sendiri.
Apabila pintasan sama dengan $\lg a$ atau $\lg b$ , nyahkannya dengan kuasa sepuluh: $\lg a = k \Rightarrow a = 10^{k}$ .
Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, penjelmaan yang betul memperoleh markah kaedah walaupun sebelum anda sampai ke nilai akhir pemalar.

Bagaimana guru membantu

Kesilapan yang paling kerap kami lihat di sini ialah logaritma yang tergopoh, meninggalkan pintasan sebagai $\lg a$ dan bukan $a$ , atau mengelirukan hukum kuasa dengan hukum eksponen. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memperlahankan penjelmaan bersama anda, supaya anda nampak tepat mengapa $\lg x$ tergolong pada satu graf dan $x$ biasa pada yang lain.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang menerangkan sebab di sebalik setiap langkah, bukan hanya caranya. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya memutuskan antara memplot

\lg x

dan memplot

x

Lihat di mana pemboleh ubah berada. Dalam hukum kuasa $y = ax^{n}$ , $x$ ialah tapak, jadi anda plot $\lg y$ melawan $\lg x$ .

Dalam hukum eksponen $y = ab^{x}$ , $x$ ialah eksponen, jadi anda plot $\lg y$ melawan $x$ biasa.

Mengapa membahagi dengan

x

bagi

y = ax + bx^{2}

Membahagi setiap sebutan dengan $x$ memberi $\frac{y}{x} = bx + a$ , iaitu garis lurus dalam $\frac{y}{x}$ dan $x$ . Kecerunan menjadi $b$ dan pintasan menjadi $a$ , jadi kedua-dua pemalar boleh dibaca daripada satu garis.

Pintasan keluar sebagai

\lg a = 3

. Bagaimana saya dapat

a

Nyahkan logaritma dengan menaikkan sepuluh kepada kuasa itu: $a = 10^{3} = 1000$ . Meninggalkan jawapan sebagai $\lg a$ ialah cara lazim kehilangan markah akhir, jadi sentiasa tukar semula kepada $a$ atau $b$ .

Bagaimana saya boleh menyemak pemalar pada akhirnya?

Gantikan titik kedua yang diberi ke dalam persamaan garis lurus anda. Jika ia menghasilkan nilai yang betul pada graf, dan hubungan asal menghasilkan semula data, kedua-dua pemalar adalah mantap.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Hukum Linear, Contoh Kerja (sederhana)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?