线性定律，SPM 高级数学（中四）

我们在科学、商业与日常测量中遇到的许多关系并不是直线，它们是弯曲的。曲线很难用肉眼分析：两个人可以在同一堆散乱的点上画出很不一样的曲线，而从曲线上读取一个可靠的数值也很别扭。

线性定律正是解决这个问题的技巧。通过改变我们在每条坐标轴上所画的量，我们把一个非线性关系改写成一条直线，而直线是人人都能一致地画出与读取的。

在 SPM 高级数学里，这是中四的第六章，属于几何这个学习领域。它包含三项直接取自 KSSM DSKP 的内容标准：线性与非线性关系、线性定律与非线性关系，以及线性定律的应用。

三者合起来，带你从辨别直线关系与曲线关系，经过把曲线化为直线的方法，直到解决置于真实情境中的完整问题。

我们的老师喜欢教这一章，因为它把之前的几项技巧收拢进一个令人满足又实用的整体。你会用到坐标几何里的斜率观念、第四章的指数与对数定律，以及把某个变量变成主项的细致代数。

它也是课程中最动手的章节之一：你会在方格纸上描点，把直尺架在上面，直接从自己画的直线上读数，所以整洁、有意识的书写在这里得到非常直接的回报。

值得记住的心像是一场实验。设想你收集了一些成对的测量值，怀疑它们遵循某个定律，例如 $y = ax^{n}$ 或 $y = ab^{x}$，但你还不知道其中的常数。

照原样描点，这些点会画出一条曲线。线性定律只问一个问题：我该改画什么，才能让这些相同的点落在一条直线上？

一旦落成直线，那条直线的斜率与竖直截距就把未知常数直接交到你手里。

这正是科学家与工程师在把模型拟合到数据时所做的事，因此这一章让人觉得真正有用，而不只是抽象。它也磨炼一项你在整门高级数学乃至日后都会依靠的能力：仔细、诚实并带着正确单位地从图上读取定量信息。

在这里觉得得心应手的学生，往往对之后每一个涉及图形的课题都同样从容。

线性定律这一章分为三项内容标准。以下的编码与标题直接来自 DSKP，记住它们，有助于你准确辨认一道题目在考哪一项技巧。

这三项标准构成一条自然的顺序。标准 6.1 培养你对直线与最佳拟合直线的眼力；6.2 给你把曲线化为直线并从中读出常数的代数；而 6.3 则让两者一同用在情境题上。

如果 6.1 的描点与拟合技巧还不稳，后面的一切都会跟着摇晃，所以先把 6.1 打稳。

直线形式就是目标。每一道线性定律的题目，本质上都是在争取抵达同一个目标：一条直线的方程。

无论原来的关系长什么样，只要你能把它改写成某个表达式 $Y$ 是某个表达式 $X$ 的直线函数，你就快完成了，因为一条直线只有两个数要找，就是它的斜率与截距。

$$Y = mX + c$$

最佳拟合直线。真实数据从不会完美地落在一条线上，因此你要画出那条尽量靠近所有点的直线，让线上方与下方的点数大致相等。

你可以用一把清晰的直尺凭眼画，也可以借助数码科技。不要强迫直线穿过原点，也不要只把第一个点与最后一个点连起来，一条好的最佳拟合直线要平衡整组数据。

读取斜率与截距。直线画好后，用两个落在直线上且相距较远的点来读斜率，绝不用两个原始数据点，因为它们通常略微偏离直线。

竖直截距 $c$ 是 $X = 0$ 时 $Y$ 的值；若你的 $X$ 轴不是从零开始，就把直线往回延长，或用方程算出 $c$，而不要在坐标轴边缘瞎猜。

$$m = \dfrac{Y_{2}-Y_{1}}{X_{2}-X_{1}}$$

把曲线化为线性形式。这是本章的核心技巧。

把给定的方程重新整理，直到它与 $Y = mX + c$ 相符，再读出每一部分应当是什么。例如 $y = px^{2} + qx$ 并没有明显的直线，但两边除以 $x$ 得到 $\frac{y}{x} = px + q$。

现在以 $Y = \frac{y}{x}$ 对 $X = x$ 作图：斜率就是 $p$，截距就是 $q$。

用对数处理幂与乘积。当未知量位于指数上或作为幂出现时，先在两边取对数（以 10 为底，写作 $\lg$）。

像 $y = ax^{n}$ 这样的关系，一旦两边取 $\lg$ 就变成直线，因为对数定律把幂 $n$ 变成一个乘数，把乘积变成和。

$$y = ax^{n} \;\Rightarrow\; \lg y = n\,\lg x + \lg a$$

指数关系的化法不同。形如 $y = ab^{x}$ 的定律，变量在指数上，取 $\lg$ 后变成 $\lg y = (\lg b)\,x + \lg a$。

这里你以 $\lg y$ 对 $x$ 本身作图，所以斜率是 $\lg b$，截距是 $\lg a$。选对这一对坐标轴，正是直线与曲线之间的分别，所以在动手做数值表之前先决定它。

还原常数，别忘了反对数。读出斜率与截距后，倒推回原来的常数。

若 $\lg a$ 等于截距，那么 $a$ 是反对数，$a = 10^{\text{截距}}$，而不是截距本身。忘掉这最后一步反对数，是一张完全正确的图仍然算出错误常数的最常见原因之一。

解读与推算。画好的直线是一件工具，不只是一个答案。

用这条直线或你所建立的方程，读出给定 $x$ 对应的 $y$ 值，或者反过来。在数据范围之内估值是内插；把直线延伸到范围之外是推算，这正是 DSKP 要求你做的，但要清楚说明，推算的前提是同一个定律继续成立。

哪些会给、哪些必须自己会。对数的换底公式是 SPM 考试所提供的公式之一，它能帮上取对数那几步，但线性定律的方法本身，目标形式 $Y = mX + c$，以及你读取斜率与截距的方式，都不在所提供的公式表内。

那套推理要靠你自己理解并记住；所幸它是一种思路，而不是一条需要死背的长公式。

线性定律可以在任何一份笔试中被考到。试卷一（3472/1）历时 2小时，共 80分：甲组有 12题，占 64分，全部作答；乙组有 3题，占 16分，从中作答 2题。

试卷二（3472/2）历时 2小时30分钟，共 100分，分布于甲组（7题，50分，全部作答）、乙组（4题，30分，作答 3题）与丙组（4题，20分，作答 2题）。

两份试卷的题目都是有限作答主观题与结构式题目，采用分析式评分，作答时可使用不可编程的科学计算器。由于本章天然地涉及建立一张变换后的数值表、把它们描到方格纸上并画出最佳拟合直线，它很适合那种较长的结构式题目，分数逐步累积：描出的图、一条直线、它的斜率与截距、常数，最后是一个推算值。

我们不会预测任何单独一章会占多少分，因为这逐年不同。

在一道结构式的线性定律题里，按顺序做各小部分，并让每个阶段都整洁：选得好的比例尺、准确描出的点、一条干净的最佳拟合直线，以及你用来求斜率的两个点清楚标出。我们的课程以英语授课，而 SPM 试卷以马来文与英文双语命题，因此你会用两种语言的术语来练习，也记得带齐正确的用具，一支削尖的铅笔、一把长的透明直尺和方格纸，应付考试当天。

线性定律里丢掉的分数，大多来自少数几个反复出现的习惯，而每一个只要稍加留意都能改正。在每一套练习之前先读一读，直到它们成为本能。

• 强迫最佳拟合直线。不要把直线硬推过原点，或硬穿过第一个与最后一个点。画那条平衡所有点的直线，让上方与下方的点数大致相等。
• 用数据点来读斜率。从你画出的直线上两个相距较远的点求斜率，绝不用两个原始表值，因为它们通常略微偏离直线。
• 在错误的位置读截距。截距 $c$ 在 $X = 0$ 处。若横轴不是从零开始，你不能在方格的左边缘读它，要把直线往回延长到 $X = 0$，或用方程算出 $c$。
• 选错坐标轴。对于 $y = ax^{n}$ 你要以 $\lg y$ 对 $\lg x$ 作图，而对于 $y = ab^{x}$ 你要以 $\lg y$ 对 $x$ 作图。在建表之前先让化法与方程对上，否则每一个描出的点都会错。
• 忘记反对数。当截距等于 $\lg a$ 时，常数是 $a = 10^{\text{截距}}$，不是截距本身。斜率等于 $\lg b$ 时也要同样小心。
• 表格与比例尺马虎。仔细重新算出每一个变换值，$\frac{1}{x}$、$\lg y$、$\frac{y}{x}$，并选一个用上大部分方格纸的比例尺。一个描错的点或一个别扭的比例尺，会悄悄毁掉整条直线。

这些没有一个关乎天分，每一个都只是可以在练习中逐一勾掉的小习惯。在线性定律里考得好的学生，只是那些细心的人：清楚的表格、合理的比例尺、平衡的直线，以及记得的反对数。

把每一次失误当作反馈而非失败，你的准确度就会很快提升。

线性定律会回报手握铅笔与直尺、耐心而有条理的练习。按顺序做完以下步骤，再用下面的资源来温习和自我测验。

让温习分成短而频密的时段，而不是一次长时间的死记。把方程化为线性形式是一项靠重复建立的技巧，每天做几道化式、画一张图，就能让方法保持新鲜，并慢慢磨掉那些丢分的小失误。

当某一步开始变得自动，就往前走；若还不够，就放慢速度反复练，直到它变得自动为止。

1. 1

   先掌握目标与术语

   把 $Y = mX + c$ 这个形式牢牢记住，并确保你能在表格或图形上分辨线性关系与非线性关系。

2. 2

   反复练习化式

   取常见的方程，$y = ax^{n}$、$y = ab^{x}$、$y = px^{2}+qx$、$y = \frac{a}{x}+b$，把每一个改写成 $Y = mX + c$，并指明 $Y$、$X$、斜率与截距。

3. 3

   练习描点与最佳拟合直线

   在真正的方格纸上选一个好的比例尺，准确地描出变换值，反复画出平衡的最佳拟合直线，直到手感自然。

4. 4

   练熟取对数与反对数

   练习两边取 $\lg$，再用 $a = 10^{\text{截距}}$ 还原常数，让最后这一步永远不会难倒你。

5. 5

   限时做整题

   把整道试卷二式的题目从头做到尾，建表、描点、画线、斜率、截距、常数、推算，计时进行，之后再回顾例题精解。

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