指数、根式与对数，例题（中等）

两边底数不同，一个是 $4$，一个是 $8$，所以还不能比较指数。办法是注意到 $4$ 和 $8$ 都是 $2$ 的幂：$4=2^{2}$，$8=2^{3}$。

把两边都改写成以 $2$ 为底，就能让指数相等。

把 $4$ 和 $8$ 换掉，再用幂的乘方律 $(a^{m})^{n}=a^{mn}$，幂再取幂时，指数相乘。要小心把整个指数 $x-1$ 放进括号里：

底数一致，指数就必须相等。令 $2x = 3x-3$，解这个一次方程：

所以 $x=3$。验证原方程两边：左边 $4^{3}=64$，右边 $8^{3-1}=8^{2}=64$。

两边相符，所以 $x=3$ 正确。

分母里的根式应当通过有理化去掉。把分子分母同乘分母的共轭式，同样两项、只把中间的符号反过来。

这里分母是 $\sqrt{5}-\sqrt{2}$，所以共轭式是 $\sqrt{5}+\sqrt{2}$。乘以 $\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$ 就是乘以 $1$，值不变。

分母是平方差 $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$，这正是共轭式有效的原因，根式消失了：

现在表达式是 $\dfrac{6(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3}$。把数字因数 $6$ 除以 $3$ 得到 $2$：

所以 $a=2$，$b=2$，得 $2\sqrt{5}+2\sqrt{2}$。数值验证：原式 $\dfrac{6}{2.236-1.414}\approx\dfrac{6}{0.822}\approx7.30$，而 $2\sqrt{5}+2\sqrt{2}\approx4.47+2.83=7.30$，答案得到确认。

题目只给了 $2$ 和 $3$ 的对数，所以思路是把 $24$ 分解成只由 $2$ 和 $3$ 组成的因数。质因数分解：$24 = 8\times 3 = 2^{3}\times 3$。

这样写 $24$，就能用对数律把它转成 $\log_{a}2$ 和 $\log_{a}3$。

用乘积律 $\log_{a}(MN)=\log_{a}M+\log_{a}N$ 把因数拆开：

再对第一项用幂律 $\log_{a}M^{k}=k\log_{a}M$，把指数 $3$ 提到前面：

最后代入已知值 $\log_{a}2=p$、$\log_{a}3=q$：

所以 $\log_{a}24 = 3p+q$。从结构上验证：$24=2^{3}\times 3$ 用了三个 $2$（给出 $3p$）和一个 $3$（给出 $q$），与答案完全吻合。

这三个根式还不一样，所以在相加或相减之前，必须把每一个都改写成某个整数乘以 $\sqrt{3}$。把根号下的数拆成完全平方因数乘以 $3$。

当每一项都变成同一个根式 $\sqrt{3}$ 的倍数后，它们就像代数里的同类项一样，只需把前面的整数系数相加或相减。

单个对数等于一个数时，可以直接改写成指数形式：$\log_a N = m$ 表示 $N=a^{m}$。这里底数是 $3$，对数值是 $2$，所以把方程改写成不含对数的形式。

化简右边，$3^{2}=9$，再解出这个一次方程中的 $x$。

一旦注意到 $2^{2x}=(2^{x})^{2}$，这个方程其实是二次方程的形式。设 $y=2^{x}$，其中 $y>0$，方程就变成关于 $y$ 的普通二次方程。

把这个二次方程分解因式，求出 $y$，再把每个为正的 $y$ 值换回 $2^{x}$，求出对应的 $x$。

这两个对数的底数彼此相关，因为 $4=2^{2}$。利用 $\log_{a^{n}}N=\dfrac{1}{n}\log_{a}N$ 把已知的对数改写成底数为 $2$ 的形式，当底数取平方时，对数值会减半。

代入已知值 $\log_{4}y=3$，求出 $\log_{2}y$。

负指数表示「取倒数」，所以先把括号内的分数上下颠倒，并把指数的符号改为正号。

注意到 $81$ 与 $16$ 都是四次方，$81=3^{4}$，$16=2^{4}$，所以底数本身就是一个四次方。分数指数 $\tfrac34$ 表示「先开四次方根，再三次方」（顺序也可以颠倒）。