Contoh Kerja Indeks, Surd & Logaritma (Sederhana)

Q: Bagaimana saya memilih konjugat semasa menyingkirkan surd?

Ambil penyebut dan tukar tanda antara dua sebutannya. Bagi 5−2\sqrt{5}-\sqrt{2}5−2 konjugatnya ialah 5+2\sqrt{5}+\sqrt{2}5+2; mendarabnya memberi (5)2−(2)2=3(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{2})^{2}=3(5)2−(2)2=3, nombor bulat tanpa surd.

Cara menggunakan set ini

Set ini menghimpunkan tiga masalah Indeks, Surd dan Logaritma sederhana, setiap satunya diselesaikan baris demi baris supaya anda nampak dengan tepat dari mana setiap langkah datang. Ia meningkat satu tahap melampaui asas: persamaan indeks yang kedua-dua belahnya bermula dengan asas berbeza, menyingkirkan surd daripada penyebut, dan menggunakan hukum logaritma untuk menulis satu logaritma dalam sebutan dua logaritma yang diberi.

Buat setiap soalan di atas kertas dahulu sebelum melihat penyelesaian kami. Tutup kerja kami, cuba selesaikan sepenuhnya, kemudian bandingkan baris demi baris.

Pada tahap sederhana, markah biasanya hilang bukan pada idea tetapi pada manipulasi, asas yang tidak ditulis semula, konjugat yang tersalah pilih, hukum logaritma yang dikenakan pada sebutan yang salah. Membanding langkah anda dengan langkah kami ialah cara menemui silap itu.

Benang sepunya ialah menulis semula: setiap masalah menjadi mudah sebaik sahaja anda ungkapkan segalanya dalam satu bentuk yang sesuai. Bagi indeks, itu bermakna satu asas dikongsi; bagi surd, ia bermakna menyingkirkan punca daripada penyebut; dan bagi logaritma, ia bermakna memecahkan nombor kepada faktor perdananya supaya hukum log dikenakan dengan kemas.

Latih diri bertanya dahulu, 'sepatutnya saya tulis ini sebagai apa?', soalan itu memandu setiap penyelesaian di bawah.

Tiga contoh kerja

Q1[3 marks]

Selesaikan persamaan indeks $4^{x}=8^{x-1}$ .

Show worked solution

Kedua-dua belah mempunyai asas berbeza, $4$ dan $8$ , jadi kita belum boleh membandingkan indeks. Penyelesaiannya ialah menyedari bahawa kedua-dua $4$ dan $8$ ialah kuasa $2$ : $4=2^{2}$ dan $8=2^{3}$ .

Menulis semula setiap belah dengan asas $2$ membolehkan kita menyamakan indeks.

Gantikan $4$ dan $8$ , kemudian gunakan hukum kuasa $(a^{m})^{n}=a^{mn}$ , darab indeks apabila kuasa dinaikkan kepada kuasa. Berhati-hati mengekalkan seluruh eksponen $x-1$ dalam kurungan:

(2^{2})^{x} = (2^{3})^{x-1} \;\Rightarrow\; 2^{2x} = 2^{3(x-1)} = 2^{3x-3}

Asas sepadan, jadi indeksnya mesti sama. Samakan $2x = 3x-3$ dan selesaikan persamaan linear:

2x = 3x - 3 \;\Rightarrow\; 3 = 3x - 2x \;\Rightarrow\; x = 3

Maka $x=3$ . Semak kedua-dua belah persamaan asal: sebelah kiri ialah $4^{3}=64$ , dan sebelah kanan ialah $8^{3-1}=8^{2}=64$ .

Kedua-duanya sepadan, jadi $x=3$ betul.

Q2[4 marks]

Ungkapkan $\dfrac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ dalam bentuk $a\sqrt{5}+b\sqrt{2}$ , dengan $a$ dan $b$ integer.

Show worked solution

Surd di penyebut patut disingkirkan dengan penukaran nisbah (rationalising). Darab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut, dua sebutan yang sama dengan tanda antaranya ditukar.

Di sini penyebut ialah $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ , jadi konjugatnya ialah $\sqrt{5}+\sqrt{2}$ . Mendarab dengan $\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$ ialah mendarab dengan $1$ , jadi nilainya tidak berubah.

\dfrac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \dfrac{6(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}

Penyebut ialah beza dua kuasa dua, $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ , iaitu sebab tepat mengapa konjugat berkesan, surd hilang:

(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2}) = (\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{2})^{2} = 5-2 = 3

Kini ungkapan ialah $\dfrac{6(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3}$ . Bahagikan faktor berangka $6$ dengan $3$ untuk mendapat $2$ :

\dfrac{6(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3} = 2(\sqrt{5}+\sqrt{2}) = 2\sqrt{5}+2\sqrt{2}

Maka $a=2$ dan $b=2$ , memberi $2\sqrt{5}+2\sqrt{2}$ . Semakan berangka: asalnya $\dfrac{6}{2.236-1.414}\approx\dfrac{6}{0.822}\approx7.30$ , dan $2\sqrt{5}+2\sqrt{2}\approx4.47+2.83=7.30$ , jadi jawapannya disahkan.

Q3[4 marks]

Diberi $\log_{a}2=p$ dan $\log_{a}3=q$ , ungkapkan $\log_{a}24$ dalam sebutan $p$ dan $q$ .

Show worked solution

Kita hanya diberi logaritma $2$ dan $3$ , jadi rancangannya ialah memecahkan $24$ kepada faktor yang terdiri daripada $2$ dan $3$ sahaja. Faktorkan kepada perdana: $24 = 8\times 3 = 2^{3}\times 3$ .

Menulis $24$ begini membolehkan hukum log menukarkannya kepada $\log_{a}2$ dan $\log_{a}3$ .

Kenakan hukum hasil darab $\log_{a}(MN)=\log_{a}M+\log_{a}N$ untuk memisahkan faktor:

\log_{a}24 = \log_{a}(2^{3}\times 3) = \log_{a}2^{3} + \log_{a}3

Kini gunakan hukum kuasa $\log_{a}M^{k}=k\log_{a}M$ pada sebutan pertama untuk membawa indeks $3$ ke hadapan:

\log_{a}2^{3} + \log_{a}3 = 3\log_{a}2 + \log_{a}3

Akhirnya gantikan nilai yang diberi $\log_{a}2=p$ dan $\log_{a}3=q$ :

\log_{a}24 = 3p + q

Maka $\log_{a}24 = 3p+q$ . Semakannya bersifat struktur: $24=2^{3}\times 3$ menggunakan tiga faktor $2$ (memberi $3p$ ) dan satu faktor $3$ (memberi $q$ ), yang sepadan dengan jawapan dengan tepat.

Q4[3 marks]

Ringkaskan $\sqrt{75}+\sqrt{12}-\sqrt{27}$ , dan berikan jawapan dalam bentuk $k\sqrt{3}$ , dengan $k$ suatu integer.

Show worked solution

Ketiga-tiga surd ini belum sepadan, jadi sebelum kita boleh menambah atau menolak, setiap satu mesti ditulis semula sebagai suatu integer didarab dengan $\sqrt{3}$ . Pecahkan nombor di bawah punca kepada faktor kuasa dua sempurna didarab dengan $3$ .

\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt{3}, \quad \sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}, \quad \sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}

Apabila setiap sebutan menjadi gandaan surd yang sama $\sqrt{3}$ , ia berkelakuan seperti sebutan serupa dalam algebra, tambah atau tolak pekali integernya sahaja.

5\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3\sqrt{3} = (5+2-3)\sqrt{3} = 4\sqrt{3}

Jawapan

Surd yang diringkaskan ialah $4\sqrt{3}$ (jadi $k=4$ ). Semakan: $\sqrt{75}+\sqrt{12}-\sqrt{27}\approx8.66+3.46-5.20\approx6.93$ , dan $4\sqrt{3}\approx4(1.732)=6.93$ , sepadan.

Q5[3 marks]

Selesaikan persamaan $\log_{3}(2x+1)=2$ .

Show worked solution

Satu logaritma tunggal yang bersamaan dengan suatu nombor boleh ditukar terus kepada bentuk indeks: $\log_a N = m$ bermaksud $N=a^{m}$ . Di sini asasnya $3$ dan logaritmanya bersamaan $2$ , jadi tulis semula persamaan tanpa logaritma.

\log_{3}(2x+1)=2 \;\Longrightarrow\; 2x+1=3^{2}

Ringkaskan sebelah kanan, $3^{2}=9$ , kemudian selesaikan persamaan linear yang terhasil bagi $x$ .

2x+1=9 \;\Longrightarrow\; 2x=8 \;\Longrightarrow\; x=4

Jawapan

$x=4$ . Semak: apabila $x=4$ , $2x+1=9$ , dan $\log_{3}9=2$ kerana $3^{2}=9$ , sepadan dengan persamaan asal.

Q6[4 marks]

Selesaikan persamaan $2^{2x}-5(2^{x})+4=0$ .

Show worked solution

Persamaan ini berbentuk kuadratik apabila kita perasan $2^{2x}=(2^{x})^{2}$ . Biar $y=2^{x}$ , dengan $y>0$ ; persamaan menjadi kuadratik biasa dalam $y$ .

2^{2x}-5(2^{x})+4=0 \;\Longrightarrow\; y^{2}-5y+4=0

Faktorkan kuadratik itu, selesaikan bagi $y$ , kemudian tukar setiap nilai positif $y$ semula kepada $2^{x}$ dan dapatkan $x$ .

(y-1)(y-4)=0 \;\Rightarrow\; y=1 \text{ atau } y=4 \;\Rightarrow\; 2^{x}=2^{0} \text{ atau } 2^{x}=2^{2} \;\Rightarrow\; x=0 \text{ atau } x=2

Jawapan

$x=0$ atau $x=2$ . Semak $x=0$ : $2^{0}-5(2^{0})+4=1-5+4=0$ .

Semak $x=2$ : $2^{4}-5(2^{2})+4=16-20+4=0$ . Kedua-duanya memenuhi persamaan.

Q7[3 marks]

Diberi $\log_{4} y = 3$ , cari nilai $\log_{2} y$ .

Show worked solution

Kedua-dua logaritma menggunakan asas yang berkait, kerana $4=2^{2}$ . Tulis semula logaritma yang diberi dengan asas $2$ menggunakan $\log_{a^{n}}N=\dfrac{1}{n}\log_{a}N$ , yang membahagikan dua nilai logaritma apabila asas dikuasa duakan.

\log_{4}y = \log_{2^{2}}y = \dfrac{1}{2}\log_{2}y

Gantikan nilai yang diberi $\log_{4}y=3$ dan selesaikan bagi $\log_{2}y$ .

3 = \dfrac{1}{2}\log_{2}y \;\Longrightarrow\; \log_{2}y = 6

Jawapan

$\log_{2}y=6$ . Semak: $\log_{4}y=3$ bermaksud $y=4^{3}=64$ , dan $\log_{2}64=6$ kerana $2^{6}=64$ , sepadan.

Q8[4 marks]

Nilaikan $\left(\dfrac{16}{81}\right)^{-\frac{3}{4}}$ , dan berikan jawapan sebagai pecahan.

Show worked solution

Indeks negatif bermaksud 'ambil songsang', jadi terbalikkan dahulu pecahan di dalam kurungan dan tukar tanda indeks kepada positif.

\left(\dfrac{16}{81}\right)^{-\frac{3}{4}} = \left(\dfrac{81}{16}\right)^{\frac{3}{4}}

Kenal pasti $81$ dan $16$ sebagai kuasa empat, $81=3^{4}$ dan $16=2^{4}$ , jadi asasnya sudah berbentuk kuasa empat. Indeks pecahan $\tfrac34$ bermaksud 'punca keempat, kemudian kuasa tiga' (atau susunan sebaliknya).

\left(\dfrac{81}{16}\right)^{\frac{3}{4}} = \left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{4}\right)^{\frac{3}{4}} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{3} = \dfrac{27}{8}

Jawapan

Nilainya ialah $\dfrac{27}{8}$ . Semakan: $\left(\dfrac{16}{81}\right)^{3/4}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}=\dfrac{8}{27}$ , dan mengambil songsang (bagi indeks negatif) memberi $\dfrac{27}{8}$ , mengesahkan jawapan.

Poin kaedah utama

Asas berbeza dalam persamaan indeks: tulis semula setiap asas sebagai kuasa satu asas sepunya, guna $(a^{m})^{n}=a^{mn}$ , kemudian samakan indeks.
Menyingkirkan surd penyebut: darab pengangka dan penyebut dengan konjugat; penyebut menjadi $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ , tanpa surd yang tinggal.
Hukum log: hasil darab $\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N$ , hasil bahagi $\log_a\frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N$ , dan kuasa $\log_a M^{k}=k\log_a M$ .
Faktorkan kepada perdana sebelum mengenakan hukum log, pecahkan nombor kepada perdana yang logaritmanya sudah anda ketahui.
Tunjukkan setiap baris, dengan pemarkahan analitik, kaedah yang betul memperoleh markah walaupun jawapan akhir tergelincir.

Pilih penulisan semula yang betul

Hampir setiap soalan sederhana dalam bab ini bergantung pada satu penulisan semula. Tanya asas sepunya manakah menjadikan persamaan indeks runtuh, konjugat manakah menyingkirkan surd, dan bagaimana nombor difaktorkan kepada perdana yang anda ada logaritmanya.

Apabila anda mengekalkan seluruh eksponen dalam kurungan, menulis $(2^{3})^{x-1}=2^{3(x-1)}$ , bukan $2^{3x-1}$ , dan membawa indeks log ke bawah hanya selepas memisahkan hasil darab, manipulasi kekal kemas dan markah menyusul.

Bagaimana guru membantu

Di dalam kelas, guru kami menumpukan pada langkah pertama, kerana pada tahap sederhana keseluruhan penyelesaian bergantung pada penulisan semula yang betul. Kami mengasah tabiat mengesan asas sepunya, memilih konjugat, dan memfaktorkan kepada perdana sebelum menyentuh hukum log.

Kami memerhati kebocoran biasa, eksponen dikembangkan tanpa kurungan, hukum kuasa log dikenakan sebelum hasil darab dipisahkan, dan membetulkan penaakulan, bukan sekadar jawapan. Kami minta anda menyebut setiap hukum dengan kuat semasa menggunakannya.

Oleh sebab Add Math dimarkahkan secara analitik, kami melatih anda menyusun setiap baris dengan jelas supaya kaedah memperoleh markah. Pengajaran dijalankan dalam bahasa Inggeris, dan kami membina setiap kemahiran satu langkah kukuh pada satu masa.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Apa saya buat apabila persamaan indeks mempunyai dua asas berbeza?

Tulis semula kedua-dua asas sebagai kuasa satu asas sepunya. Bagi $4^{x}=8^{x-1}$ , guna $4=2^{2}$ dan $8=2^{3}$ ; sebaik sahaja kedua-dua belah menjadi kuasa $2$ , samakan indeks dan selesaikan.

Bagaimana saya memilih konjugat semasa menyingkirkan surd?

Ambil penyebut dan tukar tanda antara dua sebutannya. Bagi $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ konjugatnya ialah $\sqrt{5}+\sqrt{2}$ ; mendarabnya memberi $(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{2})^{2}=3$ , nombor bulat tanpa surd.

Mengapa faktorkan nombor kepada perdana sebelum guna hukum log?

Kerana hukum log hanya membantu apabila nombor ditulis sebagai hasil darab atau kuasa bahagian yang logaritmanya anda tahu. Menulis $24=2^{3}\times3$ menukar $\log_a 24$ kepada $3\log_a 2+\log_a 3$ .

Adakah saya kehilangan semua markah jika jawapan akhir saya salah?

Tidak. Add Math dimarkahkan secara analitik, jadi langkah betul yang ditunjukkan dengan jelas tetap memperoleh markah kaedah walaupun silap kemudian merosakkan nilai akhir.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Indeks, Surd dan Logaritma, Contoh Kerja (sederhana)

Cara menggunakan set ini

Tiga contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?