指数、根式与对数例题（KBAT）| SPM Add Math

Q: 为什么对数那题要舍去 x=-5？

对数只在真数为正时才有定义。方程含 log⁡2(x−3)\log_{2}(x-3)log2(x−3)，需要 x>3x>3x>3；在 x=−5x=-5x=−5 时它会是 log⁡2(−8)\log_{2}(-8)log2(−8)，不存在，所以 x=−5x=-5x=−5 不能是解。

Q: 怎么认出指数方程里隐藏的二次方程？

找一个是另一个幂的平方的幂。在 32x−10⋅3x+9=03^{2x}-10\cdot 3^{x}+9=032x−10⋅3x+9=0 里，注意 32x=(3x)23^{2x}=(3^{x})^{2}32x=(3x)2；代换 y=3xy=3^{x}y=3x 就把它变成 y2−10y+9=0y^{2}-10y+9=0y2−10y+9=0，一个普通二次方程。

Q: 为什么用恒等式，而不直接把 x 平方？

因为 x+1xx+\frac{1}{x}x+x1 化简为 232\sqrt{3}23，而 x2+1x2=(x+1x)2−2x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-2x2+x21=(x+x1)2−2 只需一次干净的平方。分别展开 (3+2)2(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}(3+2)2 及其倒数要容易出错得多。

如何使用这组例题

这一组收录了三道困难的指数、根式与对数题目，每一题都逐行解答，让你清楚看到每一步的来源。每一题都结合了两个想法：一道最后要舍去无效根的对数方程、一道藏着二次方程的指数方程，以及一道把有理化后的值代入代数恒等式的根式题。

在看我们的解答之前，请先在纸上做每一道题。把解答遮住，完整地做一遍，然后逐行对照。

在这个难度，代数只是任务的一半，另一半是判断：检查对数的定义域、看出一个代换能把方程变成二次方程、选一个能避免繁琐展开的恒等式。这些正是较难的 Add Math 题目所奖励的决定。

尤其要留意那些必须舍去的答案。对数只在真数为正时才有定义，所以任何使某个括号为零或为负的值都不能是解，无论它从代数里算得多么干净。

养成把每个候选值代回原方程检验的习惯，正是满分答案与丢掉最后一分之间的分别。

三道例题

Q1[4 marks]

解 $\log_{2}(x+3)+\log_{2}(x-3)=4$ 。

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两个同底对数相加，所以先用乘积律 $\log_{a}M+\log_{a}N=\log_{a}(MN)$ 合并。这把左边变成单个对数：

\log_{2}\big[(x+3)(x-3)\big] = 4

现在用定义 $\log_{a}N=c \Leftrightarrow N=a^{c}$ 去掉对数。底数是 $2$ ，右边是 $4$ ，所以真数等于 $2^{4}=16$ 。

括号是平方差， $(x+3)(x-3)=x^{2}-9$ ：

x^{2}-9 = 2^{4} = 16 \;\Rightarrow\; x^{2} = 25 \;\Rightarrow\; x = \pm 5

代数给出两个值，但对数只在真数为正时才有定义。原方程含 $\log_{2}(x-3)$ ，需要 $x-3>0$ ，即 $x>3$ 。

$x=-5$ 不满足（会得到 $\log_{2}(-8)$ ，不存在），所以舍去。

只有 $x=5$ 保留。代回原方程验证： $\log_{2}(5+3)+\log_{2}(5-3)=\log_{2}8+\log_{2}2=3+1=4$ ，相符。

所以解是 $x=5$ 。

Q2[4 marks]

解 $3^{2x}-10\cdot 3^{x}+9=0$ 。

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这个方程看起来别扭，直到你注意到 $3^{2x}=(3^{x})^{2}$ 。这样一写，就露出里面藏着的二次方程。

设 $y=3^{x}$ ；那么 $3^{2x}=y^{2}$ ，方程变成关于 $y$ 的普通二次方程：

y^{2}-10y+9 = 0

因式分解：需要两个数相乘等于 $9$ 、相加等于 $-10$ ，即 $-1$ 和 $-9$ 。于是二次式分解，给出两个 $y$ 值：

(y-1)(y-9)=0 \;\Rightarrow\; y=1 \quad\text{或}\quad y=9

现在通过还原代换 $y=3^{x}$ 回到 $x$ 。两个值都是正的，所以都有效（幂 $3^{x}$ 永远为正）。

把每个写成 $3$ 的幂： $1=3^{0}$ ， $9=3^{2}$ 。

3^{x}=1=3^{0} \Rightarrow x=0 \qquad 3^{x}=9=3^{2} \Rightarrow x=2

所以 $x=0$ 或 $x=2$ 。两个都验证： $x=0$ 时， $3^{0}-10\cdot 3^{0}+9 = 1-10+9=0$ ； $x=2$ 时， $3^{4}-10\cdot 3^{2}+9 = 81-90+9=0$ 。

两者都满足方程。

Q3[4 marks]

已知 $x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$ ，求 $x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}$ 的值，答案写成整数。

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直接把 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 平方会很繁，所以用恒等式 $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2}=x^{2}+2+\dfrac{1}{x^{2}}$ 。移项后得到 $x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2}-2$ 。

所以只需先求 $x+\dfrac{1}{x}$ 。

用有理化求 $\dfrac{1}{x}$ ，分子分母同乘共轭式 $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ 。分母变成 $(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}=3-2=1$ ：

\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\times\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1}=\sqrt{3}-\sqrt{2}

把 $x$ 和 $\dfrac{1}{x}$ 相加； $\sqrt{2}$ 项干净地相消，这正是这个恒等式高效的原因：

x+\dfrac{1}{x}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{3}

现在代入移项后的恒等式，把 $2\sqrt{3}$ 平方为 $(2)^{2}(\sqrt{3})^{2}=4\times 3=12$ ：

x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=\left(2\sqrt{3}\right)^{2}-2 = 12-2 = 10

所以 $x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=10$ 。数值验证： $x\approx 3.146$ 给出 $x^{2}\approx 9.899$ ， $\dfrac{1}{x^{2}}\approx 0.101$ ；两者之和为 $10.0$ ，确认了这个精确答案。

Q4[5 marks]

已知 $\log_{3}2=m$ ， $\log_{3}5=n$ ，把 $\log_{9}90$ 用 $m$ 和 $n$ 表示。

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把 $90$ 分解成与已知对数有关的因数： $90=9\times2\times5$ 。由于 $9=3^{2}$ ，在底数 $3$ 下运算能把 $\log_{3}90$ 变成完全用 $m$ 和 $n$ 组成的和。

\log_{3}90 = \log_{3}9+\log_{3}2+\log_{3}5 = 2+m+n

题目要求的是底数 $9$ ，不是底数 $3$ ，所以用 $\log_{9}90=\dfrac{\log_{3}90}{\log_{3}9}$ 换底，而 $\log_{3}9=2$ 。

\log_{9}90=\dfrac{2+m+n}{2}

答案

$\log_{9}90=\dfrac{2+m+n}{2}$ 。验证： $m\approx0.631$ ， $n\approx1.465$ ，代入得 $\dfrac{2+0.631+1.465}{2}\approx2.05$ ，与计算器算出的 $\log_{9}90\approx2.05$ 相符。

Q5[5 marks]

解 $2^{3x-1}=5^{x+1}$ ，答案准确至三个有效数字。

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底数 $2$ 和 $5$ 不同，也无法互相写成对方的幂，所以两边取 $\lg$ ，再用 $\lg(a^{k})=k\lg a$ 把指数移下来。

(3x-1)\lg2 = (x+1)\lg5

展开两边，把所有含 $x$ 的项集中到一边。注意 $\lg5+\lg2=\lg10=1$ ，而 $3\lg2-\lg5=\lg8-\lg5=\lg\!\left(\dfrac{8}{5}\right)=\lg1.6$ ，这让运算保持简洁。

x(3\lg2-\lg5)=1 \;\Rightarrow\; x=\dfrac{1}{\lg1.6}=4.8991\ldots \approx 4.90

答案

$x\approx4.90$ （3 位有效数字）。验证：当 $x=4.90$ 时， $2^{3x-1}$ 和 $5^{x+1}$ 都约等于 $1.33\times10^{4}$ ，确认两边相等。

Q6[5 marks]

解 $\sqrt{3x+1}=x-1$ ，并舍去任何不满足原方程的 $x$ 值。

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两边平方以消去根号。平方可能引入一些其实并不满足原方程的多余解，所以之后每个根都要代回原方程检验。

3x+1=(x-1)^{2}=x^{2}-2x+1

移项化成等于零的二次方程，再因式分解。

x^{2}-5x=0 \;\Rightarrow\; x(x-5)=0 \;\Rightarrow\; x=0 \text{ 或 } x=5

把两个值代回原方程检验。当 $x=0$ 时，左边是 $\sqrt{1}=1$ ，右边是 $0-1=-1$ ；平方根不可能等于负数，所以舍去 $x=0$ 。

当 $x=5$ 时，左边是 $\sqrt{16}=4$ ，右边是 $5-1=4$ ，相符。

答案

$x=5$ 。 $x=0$ 满足平方后的方程，却不满足原方程，所以必须舍去，平方不是可逆的步骤。

Q7[5 marks]

解联立方程 $\log_{2}x-\log_{2}y=1$ 和 $x+y=24$ ，其中 $x$ 和 $y$ 为正数。

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用商的运算律把两个对数合并成一个，再用对数的定义去掉对数，得到 $x$ 与 $y$ 之间的简单关系。

\log_{2}\!\left(\dfrac{x}{y}\right)=1 \;\Rightarrow\; \dfrac{x}{y}=2^{1}=2 \;\Rightarrow\; x=2y

把这个关系代入线性方程 $x+y=24$ 求出 $y$ ，再代回求 $x$ 。

2y+y=24 \;\Rightarrow\; 3y=24 \;\Rightarrow\; y=8 \;\Rightarrow\; x=2(8)=16

答案

$x=16$ ， $y=8$ 。验证： $\log_{2}16-\log_{2}8=4-3=1$ ， $16+8=24$ ，两个方程都成立，且两个值都为正，符合要求。

Q8[6 marks]

某培养皿中的细菌数目每 $3$ 小时增加一倍。若培养开始时有 $500$ 个细菌，求数目增至 $5000$ 所需的时间，答案准确至最接近的 $0.1$ 小时。

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由于数目每 $3$ 小时增加一倍，可建立模型 $N=500\times2^{t/3}$ ，其中 $t$ 为时间（小时）。令 $N=5000$ 并化简。

500\times2^{t/3}=5000 \;\Rightarrow\; 2^{t/3}=10

两边取 $\lg$ 把指数移下来，再解出 $t$ 。

\dfrac{t}{3}\lg2=\lg10=1 \;\Rightarrow\; \dfrac{t}{3}=\dfrac{1}{\lg2}=3.3219\ldots \;\Rightarrow\; t=9.9657\ldots

答案

$t\approx10.0$ 小时。验证： $9$ 小时后（增加了 $3$ 次倍数）数目为 $500\times8=4000$ ； $12$ 小时后为 $8000$ ； $5000$ 介于两者之间，接近 $10$ 小时，与所得结果一致。

关键方法要点

去掉对数之前，先用乘积律合并同底对数，把对数之和变成单个对数，再用 $\log_a N=c \Leftrightarrow N=a^{c}$ 。
永远检查对数的定义域：真数必须为正，所以舍去任何使括号为零或为负的根。
看出隐藏的二次方程：若 $3^{2x}$ 与 $3^{x}$ 同时出现，就代换 $y=3^{x}$ （则 $3^{2x}=y^{2}$ ），先求 $y$ ，再换回 $x$ 。
遇到 $x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$ 这样的根式，先把 $\frac{1}{x}$ 有理化，再用 $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-2$ 避免繁重展开。
写出每一步，采用按步给分时，即使最终答案失误，正确的方法仍能得分。

别丢掉最后一分

这里最难的题目会惩罚两个习惯。第一，忘了定义域： $x^{2}=25$ 给出 $x=\pm5$ ，但 $\log_{2}(x-3)$ 需要 $x>3$ ，所以要舍去 $x=-5$ ，把这个舍去明确写出来。

第二，忘了代换必须还原：解完 $y^{2}-10y+9=0$ 之后，你还得把 $y=3^{x}$ 换回 $x$ 。每道解答都以代回检验收尾，就能同时抓住这两点，而这一步正是把「差一点对」变成满分的关键。

老师如何帮助你

课堂上，我们的老师着重这些题目所要求的判断，而不只是代数。我们训练你在求解之前先写出对数的定义域，让舍去无效根成为本能，而不是事后补上。

我们帮你认出隐藏二次方程的样子，并把代换彻底还原，而不是停在 $y$ 。遇到根式，我们指出能让运算变短的恒等式。

我们让你把每个决定大声说出来，合并、去对数、代换、检验，让推理变得稳固。由于 Add Math 采用按步给分，我们确保每一行都清楚，让方法本身就能得分。

我们以英语授课，一步一步细致地建立起来。

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常见问题

为什么对数那题要舍去

x=-5

？

对数只在真数为正时才有定义。方程含 $\log_{2}(x-3)$ ，需要 $x>3$ ；在 $x=-5$ 时它会是 $\log_{2}(-8)$ ，不存在，所以 $x=-5$ 不能是解。

怎么认出指数方程里隐藏的二次方程？

找一个是另一个幂的平方的幂。在 $3^{2x}-10\cdot 3^{x}+9=0$ 里，注意 $3^{2x}=(3^{x})^{2}$ ；代换 $y=3^{x}$ 就把它变成 $y^{2}-10y+9=0$ ，一个普通二次方程。

为什么用恒等式，而不直接把

x

平方？

因为 $x+\frac{1}{x}$ 化简为 $2\sqrt{3}$ ，而 $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-2$ 只需一次干净的平方。分别展开 $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}$ 及其倒数要容易出错得多。

如果最终答案错了，我会失去全部分数吗？

不会。Add Math 采用按步给分，所以清楚写出的正确步骤仍能得到方法分，即使后面的失误破坏了最终数值。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

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