Contoh Kerja Indeks, Surd & Logaritma (KBAT)

Q: Bagaimana saya mengecam kuadratik tersembunyi dalam persamaan indeks?

Cari satu kuasa yang merupakan kuasa dua kuasa lain. Dalam 32x−10⋅3x+9=03^{2x}-10\cdot 3^{x}+9=032x−10⋅3x+9=0, perhatikan 32x=(3x)23^{2x}=(3^{x})^{2}32x=(3x)2; menggantikan y=3xy=3^{x}y=3x menukarnya kepada y2−10y+9=0y^{2}-10y+9=0y2−10y+9=0, kuadratik biasa.

Q: Mengapa guna identiti dan bukan mengkuasaduakan x terus?

Kerana x+1xx+\frac{1}{x}x+x1 dipermudah kepada 232\sqrt{3}23, dan x2+1x2=(x+1x)2−2x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-2x2+x21=(x+x1)2−2 kemudian hanya perlukan satu pengkuasaduaan kemas. Mengembangkan (3+2)2(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}(3+2)2 dan salingannya secara berasingan jauh lebih mudah tersilap.

Cara menggunakan set ini

Set ini menghimpunkan tiga masalah Indeks, Surd dan Logaritma sukar, setiap satunya diselesaikan baris demi baris supaya anda nampak dengan tepat dari mana setiap langkah datang. Setiap satu menggabungkan dua idea: persamaan logaritma yang berakhir dengan menolak punca tidak sah, persamaan indeks yang menyembunyikan kuadratik, dan soalan surd yang menyuap nilai yang dinisbahkan ke dalam satu identiti algebra.

Buat setiap soalan di atas kertas dahulu sebelum melihat penyelesaian kami. Tutup kerja kami, cuba selesaikan sepenuhnya, kemudian bandingkan baris demi baris.

Pada tahap ini, algebra hanyalah separuh tugas, separuh lagi ialah pertimbangan: menyemak domain logaritma, menyedari bahawa penggantian menukar persamaan kepada kuadratik, dan memilih identiti yang mengelakkan pengembangan yang berselerak. Inilah keputusan yang diberi ganjaran oleh soalan Add Math yang lebih sukar.

Perhatikan khususnya jawapan yang mesti dibuang. Logaritma hanya tertakrif bagi hujah positif, jadi nilai yang menjadikan mana-mana kurungan sifar atau negatif tidak boleh menjadi penyelesaian, walau sekemas mana pun ia keluar daripada algebra.

Membina tabiat menguji setiap calon terhadap persamaan asal ialah perkara yang membezakan jawapan markah penuh daripada yang kehilangan markah terakhir.

Tiga contoh kerja

Q1[4 marks]

Selesaikan $\log_{2}(x+3)+\log_{2}(x-3)=4$ .

Show worked solution

Dua logaritma berasas sama ditambah, jadi gabungkan dahulu dengan hukum hasil darab $\log_{a}M+\log_{a}N=\log_{a}(MN)$ . Ini menukar sebelah kiri menjadi satu logaritma:

\log_{2}\big[(x+3)(x-3)\big] = 4

Kini nyahkan logaritma menggunakan takrif $\log_{a}N=c \Leftrightarrow N=a^{c}$ . Asasnya $2$ dan sebelah kanan $4$ , jadi hujahnya bersamaan $2^{4}=16$ .

Kurungan itu ialah beza dua kuasa dua, $(x+3)(x-3)=x^{2}-9$ :

x^{2}-9 = 2^{4} = 16 \;\Rightarrow\; x^{2} = 25 \;\Rightarrow\; x = \pm 5

Algebra menawarkan dua nilai, tetapi logaritma hanya tertakrif bagi hujah positif. Persamaan asal mengandungi $\log_{2}(x-3)$ , yang memerlukan $x-3>0$ , iaitu $x>3$ .

Nilai $x=-5$ gagal syarat ini (ia memberi $\log_{2}(-8)$ , yang tidak wujud), jadi kita menolaknya.

Hanya $x=5$ yang kekal. Semak dalam persamaan asal: $\log_{2}(5+3)+\log_{2}(5-3)=\log_{2}8+\log_{2}2=3+1=4$ , yang sepadan.

Jadi penyelesaiannya ialah $x=5$ .

Q2[4 marks]

Selesaikan $3^{2x}-10\cdot 3^{x}+9=0$ .

Show worked solution

Persamaan ini kelihatan janggal sehingga anda perasan $3^{2x}=(3^{x})^{2}$ . Menulisnya begitu menunjukkan kuadratik yang tersembunyi di dalam.

Biar $y=3^{x}$ ; maka $3^{2x}=y^{2}$ , dan persamaan menjadi kuadratik biasa dalam $y$ :

y^{2}-10y+9 = 0

Faktorkan: kita perlukan dua nombor yang didarab memberi $9$ dan dijumlah memberi $-10$ , iaitu $-1$ dan $-9$ . Maka kuadratik difaktorkan dan memberi dua nilai $y$ :

(y-1)(y-9)=0 \;\Rightarrow\; y=1 \quad\text{atau}\quad y=9

Kini kembali kepada $x$ dengan menyongsangkan penggantian $y=3^{x}$ . Kedua-dua nilai positif, jadi kedua-duanya sah (kuasa $3^{x}$ sentiasa positif).

Tulis setiap satu sebagai kuasa $3$ : $1=3^{0}$ dan $9=3^{2}$ .

3^{x}=1=3^{0} \Rightarrow x=0 \qquad 3^{x}=9=3^{2} \Rightarrow x=2

Maka $x=0$ atau $x=2$ . Semak kedua-duanya: bagi $x=0$ , $3^{0}-10\cdot 3^{0}+9 = 1-10+9=0$ ; bagi $x=2$ , $3^{4}-10\cdot 3^{2}+9 = 81-90+9=0$ .

Kedua-duanya memenuhi persamaan.

Q3[4 marks]

Diberi $x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$ , cari nilai $x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}$ , berikan jawapan sebagai integer.

Show worked solution

Mengkuasaduakan $x$ dan $\frac{1}{x}$ secara terus akan berselerak, jadi gunakan identiti $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2}=x^{2}+2+\dfrac{1}{x^{2}}$ . Disusun semula, ini memberi $x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2}-2$ .

Jadi kita hanya perlu $x+\dfrac{1}{x}$ dahulu.

Cari $\dfrac{1}{x}$ dengan menisbahkan, mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ . Penyebut menjadi $(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}=3-2=1$ :

\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\times\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1}=\sqrt{3}-\sqrt{2}

Tambah $x$ dan $\dfrac{1}{x}$ ; sebutan $\sqrt{2}$ terbatal dengan kemas, itulah sebab identiti ini jalan yang cekap:

x+\dfrac{1}{x}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{3}

Kini gantikan ke dalam identiti yang disusun semula, mengkuasaduakan $2\sqrt{3}$ sebagai $(2)^{2}(\sqrt{3})^{2}=4\times 3=12$ :

x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=\left(2\sqrt{3}\right)^{2}-2 = 12-2 = 10

Maka $x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=10$ . Semakan berangka: $x\approx 3.146$ memberi $x^{2}\approx 9.899$ , dan $\dfrac{1}{x^{2}}\approx 0.101$ ; jumlahnya $10.0$ , mengesahkan jawapan tepat itu.

Q4[5 marks]

Diberi bahawa $\log_{3}2=m$ dan $\log_{3}5=n$ , ungkapkan $\log_{9}90$ dalam sebutan $m$ dan $n$ .

Show worked solution

Pecahkan $90$ kepada faktor yang berkaitan dengan logaritma yang diberi: $90=9\times2\times5$ . Oleh sebab $9=3^{2}$ , bekerja dalam asas $3$ menukar $\log_{3}90$ kepada hasil tambah yang boleh dibina sepenuhnya daripada $m$ dan $n$ .

\log_{3}90 = \log_{3}9+\log_{3}2+\log_{3}5 = 2+m+n

Soalan meminta asas $9$ , bukan asas $3$ , jadi tukar asas menggunakan $\log_{9}90=\dfrac{\log_{3}90}{\log_{3}9}$ , dengan $\log_{3}9=2$ .

\log_{9}90=\dfrac{2+m+n}{2}

Jawapan

$\log_{9}90=\dfrac{2+m+n}{2}$ . Semakan: $m\approx0.631$ dan $n\approx1.465$ memberi $\dfrac{2+0.631+1.465}{2}\approx2.05$ , sepadan dengan $\log_{9}90\approx2.05$ daripada kalkulator.

Q5[5 marks]

Selesaikan $2^{3x-1}=5^{x+1}$ , berikan jawapan betul kepada tiga angka bererti.

Show worked solution

Asas $2$ dan $5$ tidak sepadan dan tiada satu pun kuasa kepada yang lain, jadi ambil $\lg$ bagi kedua-dua belah dan turunkan kuasa menggunakan $\lg(a^{k})=k\lg a$ .

(3x-1)\lg2 = (x+1)\lg5

Kembangkan kedua-dua belah dan kumpulkan semua sebutan $x$ pada satu sisi. Perhatikan $\lg5+\lg2=\lg10=1$ , dan $3\lg2-\lg5=\lg8-\lg5=\lg\!\left(\dfrac{8}{5}\right)=\lg1.6$ , yang mengekalkan kerja kemas.

x(3\lg2-\lg5)=1 \;\Rightarrow\; x=\dfrac{1}{\lg1.6}=4.8991\ldots \approx 4.90

Jawapan

$x\approx4.90$ (3 a.b.). Semakan: pada $x=4.90$ , kedua-dua $2^{3x-1}$ dan $5^{x+1}$ menghampiri $1.33\times10^{4}$ , mengesahkan kedua-dua belah adalah sama.

Q6[5 marks]

Selesaikan $\sqrt{3x+1}=x-1$ , tolak sebarang nilai $x$ yang tidak memenuhi persamaan asal.

Show worked solution

Kuasa duakan kedua-dua belah untuk menghilangkan surd. Mengkuasaduakan boleh mewujudkan penyelesaian tambahan yang sebenarnya tidak memenuhi persamaan asal, jadi setiap punca yang diperoleh perlu disemak semula selepas itu.

3x+1=(x-1)^{2}=x^{2}-2x+1

Susun semula menjadi kuadratik bersamaan sifar, kemudian faktorkan.

x^{2}-5x=0 \;\Rightarrow\; x(x-5)=0 \;\Rightarrow\; x=0 \text{ atau } x=5

Uji kedua-dua nilai dalam persamaan asal. Pada $x=0$ : sebelah kiri ialah $\sqrt{1}=1$ tetapi sebelah kanan ialah $0-1=-1$ ; punca kuasa dua tidak boleh sama dengan nombor negatif, jadi $x=0$ ditolak.

Pada $x=5$ : sebelah kiri ialah $\sqrt{16}=4$ dan sebelah kanan ialah $5-1=4$ , yang sepadan.

Jawapan

$x=5$ . Nilai $x=0$ memenuhi persamaan yang telah dikuasaduakan tetapi bukan persamaan asal, jadi ia mesti dibuang, mengkuasaduakan bukan langkah yang boleh disongsangkan.

Q7[5 marks]

Selesaikan persamaan serentak $\log_{2}x-\log_{2}y=1$ dan $x+y=24$ , dengan $x$ dan $y$ positif.

Show worked solution

Guna hukum bahagi untuk menggabungkan logaritma menjadi satu, kemudian nyahkan log menggunakan takrifnya untuk mendapat hubungan mudah antara $x$ dan $y$ .

\log_{2}\!\left(\dfrac{x}{y}\right)=1 \;\Rightarrow\; \dfrac{x}{y}=2^{1}=2 \;\Rightarrow\; x=2y

Gantikan ini ke dalam persamaan linear $x+y=24$ untuk menyelesaikan $y$ , kemudian gantikan balik untuk $x$ .

2y+y=24 \;\Rightarrow\; 3y=24 \;\Rightarrow\; y=8 \;\Rightarrow\; x=2(8)=16

Jawapan

$x=16$ , $y=8$ . Semak: $\log_{2}16-\log_{2}8=4-3=1$ dan $16+8=24$ , jadi kedua-dua persamaan dipenuhi, dan kedua-dua nilai positif seperti dikehendaki.

Q8[6 marks]

Bilangan bakteria dalam satu kultur berganda setiap $3$ jam. Jika kultur bermula dengan $500$ bakteria, cari, betul kepada $0.1$ jam terdekat, masa yang diperlukan untuk populasi mencapai $5000$ .

Show worked solution

Oleh sebab populasi berganda setiap $3$ jam, modelkan sebagai $N=500\times2^{t/3}$ , dengan $t$ ialah masa dalam jam. Tetapkan $N=5000$ dan permudahkan.

500\times2^{t/3}=5000 \;\Rightarrow\; 2^{t/3}=10

Ambil $\lg$ bagi kedua-dua belah untuk menurunkan eksponen, kemudian selesaikan untuk $t$ .

\dfrac{t}{3}\lg2=\lg10=1 \;\Rightarrow\; \dfrac{t}{3}=\dfrac{1}{\lg2}=3.3219\ldots \;\Rightarrow\; t=9.9657\ldots

Jawapan

$t\approx10.0$ jam. Semakan: selepas $9$ jam ( $3$ kali berganda) populasi ialah $500\times8=4000$ ; selepas $12$ jam ( $4$ kali berganda) ialah $8000$ ; $5000$ terletak di antara nilai ini, hampir $10$ jam, tepat seperti yang diperoleh.

Poin kaedah utama

Gabungkan log berasas sama dengan hukum hasil darab sebelum menyahkan log, tukar hasil tambah log kepada satu logaritma, kemudian guna $\log_a N=c \Leftrightarrow N=a^{c}$ .
Sentiasa semak domain logaritma: hujahnya mesti positif, jadi tolak sebarang punca yang menjadikan kurungan sifar atau negatif.
Kesan kuadratik tersembunyi: jika $3^{2x}$ muncul dengan $3^{x}$ , gantikan $y=3^{x}$ (maka $3^{2x}=y^{2}$ ), selesaikan untuk $y$ , kemudian tukar kembali kepada $x$ .
Bagi surd seperti $x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$ , nisbahkan $\frac{1}{x}$ dahulu, kemudian guna $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-2$ untuk mengelak pengembangan berat.
Tunjukkan setiap baris, dengan pemarkahan analitik, kaedah yang betul memperoleh markah walaupun jawapan akhir tergelincir.

Jangan hilang markah terakhir

Soalan paling sukar di sini menghukum dua tabiat. Pertama, terlupa domain: $x^{2}=25$ memberi $x=\pm5$ , tetapi $\log_{2}(x-3)$ memerlukan $x>3$ , jadi $x=-5$ ditolak, nyatakan penolakan itu secara jelas.

Kedua, terlupa bahawa penggantian mesti disongsangkan: selepas menyelesaikan $y^{2}-10y+9=0$ anda masih perlu menukar $y=3^{x}$ kembali kepada $x$ . Mengakhiri setiap penyelesaian dengan semakan penggantian menangkap kedua-duanya, dan itulah langkah yang menukar jawapan hampir betul kepada jawapan markah penuh.

Bagaimana guru membantu

Di dalam kelas, guru kami menumpukan pada pertimbangan yang dituntut soalan ini, bukan sekadar algebra. Kami melatih anda menyatakan domain logaritma sebelum menyelesaikan, supaya menolak punca tidak sah terasa automatik dan bukan renungan lewat.

Kami membantu anda mengecam bentuk kuadratik tersembunyi, dan menyongsangkan penggantian sepenuhnya dan bukan berhenti di $y$ . Bagi surd kami menunjukkan identiti yang memendekkan kerja.

Kami minta anda menyebut setiap keputusan dengan kuat, gabung, nyahkan, ganti, semak, supaya penaakulan menjadi kukuh. Oleh sebab Add Math dimarkahkan secara analitik, kami memastikan setiap baris jelas supaya kaedah memperoleh markah.

Pengajaran dijalankan dalam bahasa Inggeris, dibina satu langkah teliti pada satu masa.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Mengapa kita menolak

x=-5

dalam soalan logaritma?

Logaritma hanya tertakrif bagi hujah positif. Persamaan itu mengandungi $\log_{2}(x-3)$ , yang memerlukan $x>3$ ; pada $x=-5$ ia menjadi $\log_{2}(-8)$ , yang tidak wujud, jadi $x=-5$ tidak boleh menjadi penyelesaian.

Bagaimana saya mengecam kuadratik tersembunyi dalam persamaan indeks?

Cari satu kuasa yang merupakan kuasa dua kuasa lain. Dalam $3^{2x}-10\cdot 3^{x}+9=0$ , perhatikan $3^{2x}=(3^{x})^{2}$ ; menggantikan $y=3^{x}$ menukarnya kepada $y^{2}-10y+9=0$ , kuadratik biasa.

Mengapa guna identiti dan bukan mengkuasaduakan

x

terus?

Kerana $x+\frac{1}{x}$ dipermudah kepada $2\sqrt{3}$ , dan $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-2$ kemudian hanya perlukan satu pengkuasaduaan kemas. Mengembangkan $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}$ dan salingannya secara berasingan jauh lebih mudah tersilap.

Adakah saya kehilangan semua markah jika jawapan akhir saya salah?

Tidak. Add Math dimarkahkan secara analitik, jadi langkah betul yang ditunjukkan dengan jelas tetap memperoleh markah kaedah walaupun silap kemudian merosakkan nilai akhir.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Indeks, Surd dan Logaritma, Contoh Kerja (KBAT)

Cara menggunakan set ini

Tiga contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?