指数、根式与对数，例题（简单）

把数字和每个字母分开处理，并用除法律 $a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$：同底数相除时，指数相减。先算数字：$12\div 3 = 4$。

再看 $x$：$x^{2}\div x^{5}=x^{2-5}=x^{-3}$。然后看 $y$：$y^{5}\div y^{2}=y^{5-2}=y^{3}$。

把它们合起来：

题目要求只用正指数，所以用 $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$ 把 $x^{-3}$ 改写成 $\dfrac{1}{x^{3}}$。负指数只是表示这一项该放到分母里：

所以最简形式是 $\dfrac{4y^{3}}{x^{3}}$。用 $x=1,\ y=1$ 快速验证：原式为 $\dfrac{12}{3}=4$，我们的答案为 $\dfrac{4}{1}=4$，两者相符，说明系数正确。

当两边都能写成同底数的幂时，思路就是先把底数配成一样，再让指数相等。左边已经是 $2$ 的幂，所以把右边也写成 $2$ 的幂。

因为 $32 = 2\times2\times2\times2\times2$，所以 $32 = 2^{5}$。

现在底数相同，指数就必须相等。这就是关键：若 $a^{m}=a^{n}$，则 $m=n$。

让指数相等得到一个简单的一次方程：

所以 $x=2$。代回验证：$2^{2+3}=2^{5}=32$，与右边相符，所以解正确。

根式只有在根号下的数相同时才能相加，所以先把每个化简。方法是用 $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}$ 提取最大的完全平方因数。

对 $\sqrt{12}$，整除 $12$ 的最大完全平方数是 $4$，所以 $\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=\sqrt{4}\,\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。对 $\sqrt{27}$，整除 $27$ 的最大完全平方数是 $9$，所以 $\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=\sqrt{9}\,\sqrt{3}=3\sqrt{3}$。

两项现在都带着相同的根式 $\sqrt{3}$，所以把 $\sqrt{3}$ 当作公因式，把前面的数字相加：$2+3=5$。

所以 $\sqrt{12}+\sqrt{27}=5\sqrt{3}$。粗略数值验证：$\sqrt{12}\approx3.46$，$\sqrt{27}\approx5.20$，约为 $8.66$；而 $5\sqrt{3}\approx5\times1.732=8.66$，结果一致。

对数问的是「底数的几次幂等于这个数？」。

用定义 $\log_{a}b = c \Leftrightarrow a^{c}=b$ 读每一项，把两个对数分别算出来。

对 $\log_{2}16$：要找 $2$ 的几次幂等于 $16$。因为 $2^{4}=16$，所以 $\log_{2}16=4$。

对 $\log_{3}27$：要找 $3$ 的几次幂等于 $27$。因为 $3^{3}=27$，所以 $\log_{3}27=3$。

所以值是 $7$。每一步都只是把对数还原成它所代表的指数关系，这是手算简单对数最稳妥的办法。

分别使用零指数律和负指数律，再把结果合并。零指数律指出：任何非零底数的 $0$ 次幂都等于 $1$，即 $a^{0}=1$。

负指数律指出 $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$，所以负指数会把该项送到分母：$2^{-3}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}$。

分母不应留有根号。把分子和分母同时乘以 $\sqrt{3}$ 来有理化，这不会改变分数的值，因为 $\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}=1$。

现在分母变成整数 $3$，因为 $\sqrt{3}\times\sqrt{3}=3$。把分子除以 $3$ 完成化简。

分数指数 $a^{\frac{m}{n}}$ 表示先取 $a$ 的 $n$ 次方根，再把结果的 $m$ 次方求出：$a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}$。这里 $n=3$，$m=2$，所以先求 $27$ 的立方根。

再把这个立方根求 $2$ 次方。

$\log_4 96$ 和 $\log_4 6$ 单独都不是整数，所以分开求值行不通。改用对数的除法律 $\log_{a}x-\log_{a}y=\log_{a}\!\left(\dfrac{x}{y}\right)$，先把它们合并成一个对数。

现在直接按定义求 $\log_4 16$ 的值：它问的是 $4$ 的几次幂等于 $16$。因为 $4^{2}=16$，所以值为 $2$。