Contoh Kerja Indeks, Surd & Logaritma (Mudah)

Q: Apakah maksud sebenar indeks negatif?

Indeks negatif menghantar sebutan ke sebelah lain pecahan: a−n=1ana^{-n}=\frac{1}{a^{n}}a−n=an1. Jadi x−3=1x3x^{-3}=\frac{1}{x^{3}}x−3=x31, nilainya kekal positif, dan indeks hanya memberitahu ia berada di penyebut.

Q: Bagaimana saya menilai logaritma tanpa kalkulator?

Tukarkan ia kembali kepada pernyataan indeks. log⁡216\log_{2}16log216 bertanya 'kuasa 222 manakah memberi 161616?'; oleh sebab 24=162^{4}=1624=16, jawapannya 444. Menggunakan log⁡ab=c⇔ac=b\log_{a}b=c\Leftrightarrow a^{c}=blogab=c⇔ac=b menjadikan logaritma mudah cepat dan selamat.

Cara menggunakan set ini

Set ini menghimpunkan empat masalah Indeks, Surd dan Logaritma mudah, setiap satunya diselesaikan baris demi baris supaya anda nampak dengan tepat dari mana setiap nombor datang. Bersama-sama, ia merangkumi empat kemahiran permulaan bab ini dalam Add Math: memudahkan ungkapan dengan hukum indeks, menyelesaikan persamaan indeks mudah dengan menyamakan asas, menggabungkan surd serupa, dan membaca logaritma terus daripada takrifnya.

Buat setiap soalan di atas kertas dahulu sebelum melihat penyelesaian kami. Tutup kerja kami, cuba selesaikan sepenuhnya, kemudian bandingkan baris demi baris.

Semakan cara ini menangkap silap kecil, indeks negatif yang tercicir, surd yang tidak dipermudah, asas yang tersalah baca, yang senyap-senyap merampas markah kaedah, dan ia membina tabiat menyusun setiap langkah dengan jelas.

Perhatikan bagaimana indeks, surd dan logaritma ialah tiga pandangan bagi satu idea: kuasa. Indeks memberitahu berapa kali asas didarab; surd ialah punca, iaitu indeks pecahan; dan logaritma menjawab soalan songsang, 'kuasa asas manakah memberi nombor ini?'.

Mengingati pertalian ini menjadikan tiga topik sebagai satu kemahiran bersambung, dan contoh-contoh ini dipilih untuk menampakkan pertalian tersebut.

Empat contoh kerja

Q1[3 marks]

Permudahkan $\dfrac{12x^{2}y^{5}}{3x^{5}y^{2}}$ , berikan jawapan dengan indeks positif sahaja.

Show worked solution

Uruskan nombor dan setiap huruf secara berasingan, dan gunakan hukum pembahagian $a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$ : apabila membahagi kuasa berasas sama, tolak indeksnya. Mula-mula bahagikan nombor: $12\div 3 = 4$ .

Sekarang sebutan $x$ : $x^{2}\div x^{5}=x^{2-5}=x^{-3}$ . Kemudian sebutan $y$ : $y^{5}\div y^{2}=y^{5-2}=y^{3}$ .

Gabungkan kesemuanya:

\dfrac{12x^{2}y^{5}}{3x^{5}y^{2}} = 4x^{-3}y^{3}

Soalan meminta indeks positif sahaja, jadi tulis semula $x^{-3}$ sebagai $\dfrac{1}{x^{3}}$ , menggunakan $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$ . Indeks negatif hanya bermaksud sebutan itu berada di penyebut:

4x^{-3}y^{3} = \dfrac{4y^{3}}{x^{3}}

Maka bentuk termudah ialah $\dfrac{4y^{3}}{x^{3}}$ . Semakan cepat dengan $x=1,\ y=1$ : asalnya $\dfrac{12}{3}=4$ dan jawapan kami $\dfrac{4}{1}=4$ , yang sepadan, jadi pekalinya betul.

Q2[3 marks]

Selesaikan persamaan indeks $2^{x+3}=32$ .

Show worked solution

Apabila kedua-dua belah boleh ditulis sebagai kuasa berasas sama, rancangannya ialah menyamakan asas kemudian menyamakan indeks. Sebelah kiri sudah berasas $2$ , jadi tulis sebelah kanan sebagai kuasa $2$ juga.

Oleh sebab $32 = 2\times2\times2\times2\times2$ , maka $32 = 2^{5}$ .

2^{x+3} = 2^{5}

Asas kini sama, jadi indeksnya mesti sama. Inilah idea utamanya: jika $a^{m}=a^{n}$ maka $m=n$ .

Menyamakan indeks memberi persamaan linear mudah:

x+3 = 5 \;\Rightarrow\; x = 2

Maka $x=2$ . Semak dengan menggantikan semula: $2^{2+3}=2^{5}=32$ , yang sepadan dengan sebelah kanan, jadi penyelesaian ini betul.

Q3[3 marks]

Permudahkan $\sqrt{12}+\sqrt{27}$ , berikan jawapan sebagai satu sebutan surd.

Show worked solution

Surd hanya boleh ditambah apabila nombor di bawah punca adalah sama, jadi permudahkan setiap satu dahulu. Kaedahnya ialah mengeluarkan faktor kuasa dua sempurna terbesar menggunakan $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}$ .

Bagi $\sqrt{12}$ , kuasa dua sempurna terbesar yang membahagi $12$ ialah $4$ , jadi $\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=\sqrt{4}\,\sqrt{3}=2\sqrt{3}$ . Bagi $\sqrt{27}$ , kuasa dua sempurna terbesar yang membahagi $27$ ialah $9$ , jadi $\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=\sqrt{9}\,\sqrt{3}=3\sqrt{3}$ .

\sqrt{12}+\sqrt{27} = 2\sqrt{3}+3\sqrt{3}

Kedua-dua sebutan kini membawa surd yang sama $\sqrt{3}$ , jadi anggap $\sqrt{3}$ sebagai faktor sepunya dan tambah nombor di hadapannya: $2+3=5$ .

2\sqrt{3}+3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}

Maka $\sqrt{12}+\sqrt{27}=5\sqrt{3}$ . Sebagai semakan berangka kasar, $\sqrt{12}\approx3.46$ dan $\sqrt{27}\approx5.20$ , memberi kira-kira $8.66$ ; dan $5\sqrt{3}\approx5\times1.732=8.66$ , jadi jawapannya konsisten.

Q4[2 marks]

Nilaikan $\log_{2}16+\log_{3}27$ tanpa kalkulator.

Show worked solution

Logaritma bertanya 'kuasa asas manakah memberi nombor ini?'. Baca setiap sebutan dengan takrif $\log_{a}b = c \Leftrightarrow a^{c}=b$ , dan kira kedua-dua logaritma secara berasingan.

Bagi $\log_{2}16$ : kita perlukan kuasa $2$ yang memberi $16$ . Oleh sebab $2^{4}=16$ , maka $\log_{2}16=4$ .

Bagi $\log_{3}27$ : kita perlukan kuasa $3$ yang memberi $27$ . Oleh sebab $3^{3}=27$ , maka $\log_{3}27=3$ .

\log_{2}16+\log_{3}27 = 4+3 = 7

Maka nilainya ialah $7$ . Setiap langkah hanya menukar logaritma kembali kepada pernyataan indeks yang diwakilinya, iaitu cara paling selamat menilai logaritma mudah dengan tangan.

Q5[2 marks]

Nilaikan $5^{0}+2^{-3}$ , berikan jawapan sebagai satu pecahan.

Show worked solution

Gunakan hukum indeks sifar dan hukum indeks negatif secara berasingan, kemudian gabungkan hasilnya. Hukum indeks sifar menyatakan bahawa mana-mana asas bukan sifar dikuasakan $0$ memberi $1$ : $a^{0}=1$ .

5^{0} = 1

Hukum indeks negatif menyatakan $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$ , jadi indeks negatif menghantar sebutan ke penyebut: $2^{-3}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}$ .

5^{0}+2^{-3} = 1+\dfrac{1}{8} = \dfrac{9}{8}

Jawapan

Maka $5^{0}+2^{-3}=\dfrac{9}{8}$ . Oleh sebab $5^{0}=1$ dan $2^{-3}$ ialah pecahan positif yang kecil, jumlahnya sepatutnya sedikit lebih daripada $1$ , dan $\dfrac{9}{8}=1.125$ memenuhi semakan ini.

Q6[2 marks]

Rasionalkan penyebut bagi $\dfrac{6}{\sqrt{3}}$ , berikan jawapan dalam bentuk $a\sqrt{3}$ .

Show worked solution

Surd tidak boleh ditinggalkan di penyebut. Rasionalkan dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan $\sqrt{3}$ , yang tidak mengubah nilai pecahan kerana $\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}=1$ .

\dfrac{6}{\sqrt{3}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}}\times\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3}

Penyebut kini nombor bulat $3$ , kerana $\sqrt{3}\times\sqrt{3}=3$ . Bahagikan pengangka dengan $3$ untuk selesaikan pemudahan.

\dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}

Jawapan

Maka $\dfrac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$ . Sebagai semakan, $6\div\sqrt3\approx6\div1.732\approx3.46$ , dan $2\sqrt3\approx2\times1.732=3.46$ , yang sepadan.

Q7[3 marks]

Nilaikan $27^{\frac{2}{3}}$ tanpa kalkulator.

Show worked solution

Indeks pecahan $a^{\frac{m}{n}}$ bermaksud ambil punca ke- $n$ bagi $a$ , kemudian kuasakan hasilnya kepada $m$ : $a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}$ . Di sini $n=3$ dan $m=2$ , jadi cari dahulu punca kubus $27$ .

\sqrt[3]{27} = 3

Kemudian kuasakan punca kubus itu kepada $2$ .

27^{\frac{2}{3}} = 3^{2} = 9

Jawapan

Maka $27^{\frac{2}{3}}=9$ . Semak dengan urutan terbalik: kuasakan dahulu memberi $27^{2}=729$ , dan punca kubus $729$ juga $9$ , jadi susunan punca dan kuasa tidak menjejaskan hasilnya di sini.

Q8[2 marks]

Tanpa kalkulator, nilaikan $\log_{4}96-\log_{4}6$ .

Show worked solution

$\log_4 96$ mahupun $\log_4 6$ bukan nombor bulat dengan sendirinya, jadi menilai secara berasingan tidak berkesan di sini. Sebaliknya gunakan hukum bahagi logaritma, $\log_{a}x-\log_{a}y=\log_{a}\!\left(\dfrac{x}{y}\right)$ , untuk menggabungkannya menjadi satu logaritma dahulu.

\log_{4}96-\log_{4}6 = \log_{4}\!\left(\dfrac{96}{6}\right) = \log_{4}16

Sekarang nilaikan $\log_4 16$ terus daripada takrifnya: ia bertanya kuasa $4$ manakah memberi $16$ . Oleh sebab $4^{2}=16$ , nilainya ialah $2$ .

\log_{4}16 = 2

Jawapan

Maka $\log_{4}96-\log_{4}6=2$ . Hukum bahagi inilah yang menjadikannya pantas: gabungkan dahulu, kemudian nilaikan satu logaritma yang bersih.

Poin kaedah utama

Hukum indeks: darab kuasa berasas sama dengan menambah indeks, bahagi dengan menolak, dan tulis semula indeks negatif $a^{-n}$ sebagai $\frac{1}{a^{n}}$ .
Persamaan indeks: tulis kedua-dua belah sebagai kuasa berasas sama, kemudian samakan indeks, jika $a^{m}=a^{n}$ maka $m=n$ .
Surd: keluarkan faktor kuasa dua sempurna terbesar dengan $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}$ ; anda hanya boleh menambah atau menolak surd yang berkongsi nombor sama di bawah punca.
Logaritma: baca $\log_{a}b$ sebagai 'kuasa $a$ yang memberi $b$ ', menggunakan $\log_{a}b=c \Leftrightarrow a^{c}=b$ .
Tunjukkan setiap baris, dengan pemarkahan analitik, kaedah yang betul memperoleh markah walaupun jawapan akhir tergelincir.

Silap biasa yang perlu dielakkan

Indeks negatif tidak menjadikan nombor itu negatif, $x^{-3}$ bermaksud $\frac{1}{x^{3}}$ , bukan $-x^{3}$ . Semasa memudahkan surd, sentiasa keluarkan kuasa dua sempurna terbesar, jika tidak anda tinggal dengan surd yang masih boleh dipermudah.

Hanya surd 'serupa' bergabung: $2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$ , tetapi $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ tidak boleh digabung menjadi satu sebutan. Dan baca asas logaritma dengan teliti, $\log_{2}16=4$ , manakala $\log_{4}16=2$ .

Bagaimana guru membantu

Di dalam kelas, guru kami memerhati tempat markah bocor: indeks negatif yang tercicir, surd yang dipermudah separuh, atau asas logaritma yang tersalah baca. Kami minta anda menyebut setiap hukum dengan kuat semasa menggunakannya, tambah untuk darab, tolak untuk bahagi, supaya penaakulan menjadi automatik jauh sebelum peperiksaan.

Kami juga sentiasa menunjukkan bagaimana ketiga-tiga topik bersambung, supaya punca menjadi indeks pecahan dan logaritma menjadi kuasa yang disusun semula. Oleh sebab Add Math dimarkahkan secara analitik, kami melatih anda menyusun setiap baris dengan jelas supaya kaedah itu sendiri memperoleh markah.

Pengajaran dijalankan dalam bahasa Inggeris, dan kami membina daripada kes mudah di sini satu langkah kukuh pada satu masa.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Apakah maksud sebenar indeks negatif?

Indeks negatif menghantar sebutan ke sebelah lain pecahan: $a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$ . Jadi $x^{-3}=\frac{1}{x^{3}}$ , nilainya kekal positif, dan indeks hanya memberitahu ia berada di penyebut.

Bila boleh saya menambah dua surd?

Hanya apabila nombor di bawah punca adalah sama selepas dipermudah. $2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$ kerana kedua-duanya gandaan $\sqrt{3}$ , tetapi $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ kekal seperti asal, puncanya berbeza.

Bagaimana saya menilai logaritma tanpa kalkulator?

Tukarkan ia kembali kepada pernyataan indeks. $\log_{2}16$ bertanya 'kuasa $2$ manakah memberi $16$ ?'; oleh sebab $2^{4}=16$ , jawapannya $4$ .

Menggunakan $\log_{a}b=c\Leftrightarrow a^{c}=b$ menjadikan logaritma mudah cepat dan selamat.

Adakah saya kehilangan semua markah jika jawapan akhir saya salah?

Tidak. Add Math dimarkahkan secara analitik, jadi langkah betul yang ditunjukkan dengan jelas tetap memperoleh markah kaedah walaupun silap kemudian merosakkan nilai akhir.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Indeks, Surd dan Logaritma, Contoh Kerja (mudah)

Cara menggunakan set ini

Empat contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?