指数、根式与对数，练习题

先处理上方的积的乘方：把数字和字母都升到 $3$ 次方。用 $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ 与 $(x^{m})^{n}=x^{mn}$：

$$(2x^{2})^{3}=2^{3}\,x^{2\times 3}=8x^{6}$$

再除以 $4x$。数字相除，字母则用 $x^{a}\div x^{b}=x^{a-b}$ 相减指数：

$$\frac{8x^{6}}{4x}=\frac{8}{4}\,x^{6-1}=2x^{5}$$

两边底数不同，所以先把 $8$ 和 $4$ 都写成同一个底数 $2$ 的幂。因为 $8=2^{3}$，$4=2^{2}$：

$$8^{x}=(2^{3})^{x}=2^{3x} \qquad 4^{x+1}=(2^{2})^{x+1}=2^{2x+2}$$

底数相同时，指数必须相等。令指数相等，解这个一次方程：

$$3x=2x+2 \;\Rightarrow\; x=2$$

(a) 把每个根式中最大的完全平方因数提出来，再合并同类根式。因为 $50=25\times 2$，$18=9\times 2$：

$$\sqrt{50}=\sqrt{25}\,\sqrt{2}=5\sqrt{2} \qquad \sqrt{18}=\sqrt{9}\,\sqrt{2}=3\sqrt{2}$$

$$\sqrt{50}+\sqrt{18}=5\sqrt{2}+3\sqrt{2}=8\sqrt{2}$$

(b) 分子分母同乘 $\sqrt{3}$，使分母变为有理数，用 $\sqrt{3}\times\sqrt{3}=3$：

$$\frac{6}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$$

当分母是两个根式之和时，分子分母同乘它的共轭，同样两个根式，但中间的符号取反。这里 $\sqrt{7}+\sqrt{2}$ 的共轭是 $\sqrt{7}-\sqrt{2}$：

$$\frac{5}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}$$

分母现在成了平方差 $(\sqrt{7})^{2}-(\sqrt{2})^{2}$，根式随之消去：

$$=\frac{5(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{7-2}=\frac{5(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{5}=\sqrt{7}-\sqrt{2}$$

(a) 把 $18$ 分解成 $2$ 与 $3$ 的幂的乘积：$18=2\times 3^{2}$。再用 $\log(xy)=\log x+\log y$ 与 $\log x^{k}=k\log x$：

$$\log_{a}18=\log_{a}2+\log_{a}3^{2}=\log_{a}2+2\log_{a}3=m+2n$$

(b) 用商的定律 $\log\dfrac{x}{y}=\log x-\log y$，并写 $4=2^{2}$：

$$\log_{a}\frac{4}{3}=\log_{a}4-\log_{a}3=2\log_{a}2-\log_{a}3=2m-n$$

两个对数底数相同，所以用积的定律 $\log_{2}A+\log_{2}B=\log_{2}(AB)$ 合并：

$$\log_{2}\big[x(x-2)\big]=3$$

改写成指数形式：$\log_{2}N=3$ 表示 $N=2^{3}=8$。这样就去掉了对数：

$$x(x-2)=2^{3}=8 \;\Rightarrow\; x^{2}-2x-8=0$$

因式分解并解这个二次方程：

$$(x-4)(x+2)=0 \;\Rightarrow\; x=4 \;\text{或}\; x=-2$$

对数只对正数有定义，所以 $x$ 和 $x-2$ 都必须为正。这就舍去了 $x=-2$，只剩 $x=4$。