Indeks, Surd & Logaritma Latihan

Q: Mengapa saya mesti menolak satu jawapan dalam soalan terakhir?

Kerana log⁡2x\log_{2}xlog2x hanya tertakrif apabila x>0x>0x>0. Kuadratik memberi x=4x=4x=4 atau x=−2x=-2x=−2, tetapi x=−2x=-2x=−2 memerlukan logaritma nombor negatif, jadi ia tidak sah. Sentiasa uji kedua-dua punca dalam persamaan asal.

Cara menggunakan soalan latihan ini

Enam soalan di bawah meningkat kesukarannya merentas seluruh bab, daripada satu hukum indeks hingga menyelesaikan persamaan logaritma dengan punca yang perlu ditolak. Beri diri anda kira-kira lima hingga lapan minit bagi setiap soalan dan kerjakan di atas kertas dahulu, menulis setiap baris seperti dalam peperiksaan sebenar, satu baris kaedah yang menamakan hukum yang digunakan, penggantian yang jelas, kemudian jawapan akhir.

Tahan keinginan untuk mengintai.

Hanya selepas anda benar-benar menyiapkan jawapan penuh barulah anda buka penyelesaian dan nilai diri baris demi baris. Apabila kerja anda berbeza dengan kerja kami, berhenti pada baris tepat tempat kedua-duanya mula bercapah; langkah tunggal itulah yang hampir selalu menyebabkan markah hilang.

Oleh sebab Add Math dinilai secara analitik, hukum yang betul dinyatakan dengan jelas masih memperoleh markah walaupun aritmetik tergelincir, jadi tunjukkan langkah anda sepenuhnya.

Enam soalan latihan

Q1[3 marks]

Permudahkan $\dfrac{(2x^{2})^{3}}{4x}$ , berikan jawapan dalam bentuk $kx^{n}$ .

Show worked solution

Uruskan kuasa hasil darab di atas dahulu: naikkan kedua-dua nombor dan huruf kepada kuasa $3$ . Menggunakan $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ dan $(x^{m})^{n}=x^{mn}$ :

(2x^{2})^{3}=2^{3}\,x^{2\times 3}=8x^{6}

Kini bahagi dengan $4x$ . Bahagi nombor, dan bagi huruf tolak indeks menggunakan $x^{a}\div x^{b}=x^{a-b}$ :

\frac{8x^{6}}{4x}=\frac{8}{4}\,x^{6-1}=2x^{5}

Jawapan

$2x^{5}$ . Semak dengan satu nilai: pada $x=1$ , asalnya $\dfrac{(2)^{3}}{4}=\dfrac{8}{4}=2$ , dan $2(1)^{5}=2$ , jadi kedua-duanya sepadan.

Q2[3 marks]

Selesaikan persamaan $8^{x}=4^{x+1}$ .

Show worked solution

Asasnya berbeza, jadi tuliskan dahulu $8$ dan $4$ sebagai kuasa asas yang sama, iaitu $2$ . Oleh sebab $8=2^{3}$ dan $4=2^{2}$ :

8^{x}=(2^{3})^{x}=2^{3x} \qquad 4^{x+1}=(2^{2})^{x+1}=2^{2x+2}

Dengan asas yang sama, indeksnya mesti sama. Samakan indeks dan selesaikan persamaan linear:

3x=2x+2 \;\Rightarrow\; x=2

Jawapan

$x=2$ . Semak dengan menggantikan semula: $8^{2}=64$ dan $4^{2+1}=4^{3}=64$ , jadi kedua-dua belah sama dengan $64$ .

Q3[4 marks]

(a) Permudahkan $\sqrt{50}+\sqrt{18}$ , berikan jawapan dalam bentuk $a\sqrt{2}$ . (b) Nisbahkan penyebut bagi $\dfrac{6}{\sqrt{3}}$ .

Show worked solution

(a) Permudahkan setiap surd dengan mengeluarkan faktor kuasa dua sempurna terbesar, kemudian kumpulkan surd yang serupa. Oleh sebab $50=25\times 2$ dan $18=9\times 2$ :

\sqrt{50}=\sqrt{25}\,\sqrt{2}=5\sqrt{2} \qquad \sqrt{18}=\sqrt{9}\,\sqrt{2}=3\sqrt{2}

\sqrt{50}+\sqrt{18}=5\sqrt{2}+3\sqrt{2}=8\sqrt{2}

(b) Darabkan pengangka dan penyebut dengan $\sqrt{3}$ supaya penyebut menjadi nisbah, menggunakan $\sqrt{3}\times\sqrt{3}=3$ :

\frac{6}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}

Jawapan

(a) $8\sqrt{2}$ ; (b) $2\sqrt{3}$ . Semak perpuluhan: $\sqrt{50}+\sqrt{18}\approx 7.07+4.24=11.31$ dan $8\sqrt{2}\approx 11.31$ ; juga $\dfrac{6}{\sqrt{3}}\approx 3.46$ dan $2\sqrt{3}\approx 3.46$ .

Q4[4 marks]

Ungkapkan $\dfrac{5}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}$ dengan penyebut nisbah, berikan jawapan dalam bentuk surd termudah.

Show worked solution

Apabila penyebut ialah hasil tambah dua surd, darabkan pengangka dan penyebut dengan konjugatnya, dua surd yang sama dengan tanda di antaranya ditukar. Di sini konjugat $\sqrt{7}+\sqrt{2}$ ialah $\sqrt{7}-\sqrt{2}$ :

\frac{5}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}

Penyebut kini menjadi beza dua kuasa dua, $(\sqrt{7})^{2}-(\sqrt{2})^{2}$ , yang menghapuskan surd:

=\frac{5(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{7-2}=\frac{5(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{5}=\sqrt{7}-\sqrt{2}

Jawapan

$\sqrt{7}-\sqrt{2}$ . Semak perpuluhan: $\sqrt{7}-\sqrt{2}\approx 2.646-1.414=1.232$ , dan $\dfrac{5}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}\approx\dfrac{5}{4.060}=1.232$ , yang sepadan.

Q5[4 marks]

Diberi $\log_{a}2=m$ dan $\log_{a}3=n$ , ungkapkan dalam sebutan $m$ dan $n$ : (a) $\log_{a}18$ , dan (b) $\log_{a}\dfrac{4}{3}$ .

Show worked solution

(a) Pecahkan $18$ kepada faktor yang merupakan kuasa $2$ dan $3$ : $18=2\times 3^{2}$ . Kemudian guna $\log(xy)=\log x+\log y$ dan $\log x^{k}=k\log x$ :

\log_{a}18=\log_{a}2+\log_{a}3^{2}=\log_{a}2+2\log_{a}3=m+2n

(b) Guna hukum bahagi $\log\dfrac{x}{y}=\log x-\log y$ , dan tulis $4=2^{2}$ :

\log_{a}\frac{4}{3}=\log_{a}4-\log_{a}3=2\log_{a}2-\log_{a}3=2m-n

Jawapan

(a) $m+2n$ ; (b) $2m-n$ . Langkah utama ialah memfaktorkan nombor di dalam logaritma kepada $2$ dan $3$ , kerana hanya kedua-dua logaritma itu diberi.

Q6[5 marks]

Selesaikan persamaan $\log_{2}x+\log_{2}(x-2)=3$ .

Show worked solution

Kedua-dua logaritma mempunyai asas yang sama, jadi gabungkannya dengan hukum darab $\log_{2}A+\log_{2}B=\log_{2}(AB)$ :

\log_{2}\big[x(x-2)\big]=3

Tulis semula dalam bentuk indeks: $\log_{2}N=3$ bermaksud $N=2^{3}=8$ . Ini menghapuskan logaritma:

x(x-2)=2^{3}=8 \;\Rightarrow\; x^{2}-2x-8=0

Faktorkan dan selesaikan persamaan kuadratik:

(x-4)(x+2)=0 \;\Rightarrow\; x=4 \;\text{atau}\; x=-2

Logaritma hanya tertakrif bagi nombor positif, jadi $x$ dan $x-2$ mesti kedua-duanya positif. Ini menolak $x=-2$ , meninggalkan $x=4$ .

Jawapan

$x=4$ . Semak: $\log_{2}4+\log_{2}2=2+1=3$ , seperti yang dikehendaki.

Sentiasa uji setiap punca dalam persamaan asal, punca negatif memberi logaritma nombor negatif, jadi ia tidak sah.

Cara menilai diri seperti pemeriksa

Add Math dinilai secara analitik, bermakna markah dilekatkan pada langkah, bukan hanya pada nombor akhir. Apabila menyemak skrip sendiri, berikan markah kepada diri anda seperti seorang pemeriksa: cari hukum yang betul digunakan, penggantian yang tepat, dan pernyataan akhir yang jelas.

Markah kaedah: adakah anda menamakan dan menggunakan hukum yang betul, hukum indeks, mengeluarkan kuasa dua sempurna, mendarab dengan konjugat, atau hukum logaritma?
Markah penggantian: bagi persamaan indeks, adakah kedua-dua belah ditulis kepada asas sepunya sebelum anda menyamakan kuasa?
Markah jawapan: adakah nilai akhir atau surd dinyatakan dalam bentuk termudah, dan bertahan apabila digantikan semula?
Bagi persamaan logaritma, anda hanya memperoleh markah penuh jika anda menolak punca yang menjadikan nombor dalam logaritma sifar atau negatif.
Jika nombor akhir anda salah tetapi hukum dan penggantian betul, berikan diri anda markah kaedah, itulah tepat yang dilakukan oleh pemeriksa sebenar.

Bagaimana guru membantu

Menilai diri sendiri amat berkuasa, tetapi sukar untuk melihat titik buta sendiri. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati baris tepat tempat markah tergelincir, asas yang tidak ditukar, surd yang tidak dipermudah, atau punca yang perlu ditolak tetapi terlupa dalam persamaan logaritma, dan membetulkan tabiat itu serta-merta.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang menerangkan sebab di sebalik setiap hukum. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi kami pastikan tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Berapa lama masa yang patut saya ambil bagi setiap soalan?

Sasarkan kira-kira lima hingga lapan minit setiap satu, meningkat dengan nilai markah. Jika satu soalan mengambil masa jauh lebih lama, catatkan dan bawa ke kelas, masa yang dicurinya dalam peperiksaan selalunya masalah sebenar, bukan topik itu sendiri.

Bila saya perlu menukar segalanya kepada asas sepunya?

Setiap kali persamaan indeks mempunyai asas berbeza, seperti $8^{x}=4^{x+1}$ . Tulis semula setiap asas sebagai kuasa nombor yang sama, di sini $2$ , kemudian samakan indeks.

Idea yang sama menggerakkan banyak soalan logaritma juga.

Mengapa saya mesti menolak satu jawapan dalam soalan terakhir?

Kerana $\log_{2}x$ hanya tertakrif apabila $x>0$ . Kuadratik memberi $x=4$ atau $x=-2$ , tetapi $x=-2$ memerlukan logaritma nombor negatif, jadi ia tidak sah.

Sentiasa uji kedua-dua punca dalam persamaan asal.

Adakah saya hilang semua markah jika jawapan akhir saya salah?

Tidak. Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, hukum yang betul dan penggantian yang betul masih memperoleh markah walaupun aritmetik tergelincir di akhir.

Sebab itulah anda patut sentiasa menunjukkan kerja penuh.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Indeks, Surd dan Logaritma, Soalan Latihan

Cara menggunakan soalan latihan ini

Enam soalan latihan

Cara menilai diri seperti pemeriksa

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?