如何解二次不等式

解二次不等式，就是找出使一个二次式大于、小于或等于零的所有 $x$ 值。与至多只有两个答案的二次方程不同，不等式的答案是一整段范围，通常是两根之间的一个区间，或者是两根之外的两侧区域。

这个方法把不等式变成一幅图：先找出抛物线与 $x$ 轴相接的位置，再读出曲线在轴的上方（为正）还是下方（为负）。它能回答这类题目：「解 $x^2-x-6>0$」「求满足 $x^2+2x-8\le 0$ 的 $x$ 值范围」，或需要某个量保持为正的应用题。

它是中四《二次函数》的核心技能，直接依赖因式分解，以及对抛物线开口方向的判断。

由于答案是一段范围，写法和数字同样重要。一张清晰的草图能让每个不等号的方向保持正确，防止「两根之间」和「两根之外」这两种情况被弄混。

当题目里出现二次式并带有不等号，$>$、$<$、$\ge$ 或 $\le$，并要你求满足它的 $x$ 值时，就用这个方法。「解不等式」「求 $x$ 值的范围」「当 $x$ 为何值时该式为正」这类说法是直接信号。

它也是某些问题的最后一步：当前面某一小问得出一个二次条件时，比如用判别式求出 $k$ 的范围之后，或当某个长度、面积必须为正时。由于解是一组值而不是单个数，要留意复数的「值」。

二次不等式题在试卷一和试卷二里都会出现，常常是几分不多却容易丢的小题。

按这个顺序做，方向就不会出错：

1. 1

   让一边等于零

   整理不等式，把所有项移到一边、另一边为 0，尽量让 $x^2$ 的系数保持为正。

2. 2

   求临界值

   把对应方程（令该式等于零）通过因式分解解出根，这些就是边界点。

3. 3

   画抛物线草图

   画一条开口向上、在两根处穿过 $x$ 轴的简易抛物线，它显示曲线在轴上方还是下方。

4. 4

   选出正确的区域

   对 $>0$ 或 $\ge 0$，取曲线在轴上方的部分（两根之外）；对 $<0$ 或 $\le 0$，取它在轴下方的部分（两根之间）。

5. 5

   写出解

   用正确的符号写出范围。非严格不等式用 $\le$ 或 $\ge$（含根），严格不等式用 $<$ 或 $>$（不含根）。

先自己试一试，再逐行对照解答。

测试点检验是最快的保险。在你写出的范围里任取一个好算的值，代进去，确认不等式确实成立。

若不成立，就是取错了区域，你可以在写下最后一行之前把它改正。

• 选错区域，题目要「两根之外」你却取了「两根之间」，或反过来。每次画一张草图就能防住。
• 没有先把所有项移到一边，导致比较的其实不是零。
• 乘或除以负数时忘了把不等号反向。
• 混淆严格与非严格符号，把端点错误地包含或排除。用 $\le,\ge$ 含根，用 $<,>$ 不含根。
• 把答案写成 $-4\le x\ge 2$，或用「且」连接两个分离的区域；单个区间用一条连续的链，两侧区域要用「或」。

丢分的一步几乎总是选区域，判断答案是在两根之间还是两根之外。在一对一的课堂上，我们的老师会让你每次都画那条小抛物线，让选择从图上读出来，而不是靠猜。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是能看出你错在区域、反向符号还是端点取舍，并只针对那一点反复训练的人。课程在线进行、以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此我们会确保你能用两种语言都把范围写清楚。

我们还会培养测试点的习惯，代入一个好算的值来确认区域，让粗心的选择不会拖到答案行。