如何解对数方程

对数方程就是未知数落在对数里面的方程。这个方法把这样的方程安全地剥去对数，化成你已经会解的普通方程，通常是一次或二次方程。

全部工作靠两步完成。如果你能把方程化简到一个对数等于另一个同底的对数，那么它们的真数必定相等；如果你能把它化简到一个对数等于一个普通数，就把它改写成指数形式。

因为取对数要求真数为正，有些代数解必须舍去，检验是这个方法的一部分，而不是可有可无的附加动作。

当变量出现在 $\log$ 里面时就用这个方法，例如 $\log_2 x$、$\log_3(x-1)$，或是几个对数之和等于某个数。标志是：有两个或更多可以合并的对数项，或是等号的一边孤零零地立着一个对数。

如果方程里的对数底数不同，要先把它们化成同一个底，合并对数的定律只在同一个底之内成立。如果未知数是落在指数上而不是对数里面，那是指数方程；你要对两边取对数把幂拉下来，这是相关但不同的技巧。

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   统一底数

   确保每个对数用的是同一个底；若不同，用换底公式化成一个底。

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   合并对数

   用乘法和除法定律，把每一边的几个对数压缩成一个对数。

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   去掉对数

   若是 log = log，令真数相等；若是 log = 数，用 $\log_a x = b \Rightarrow x = a^{b}$ 改写成指数形式。

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   解方程

   解出得到的一次或二次方程，求出未知数。

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   检验每个根

   把每个答案代回去：每个原始对数的真数都必须为正。凡是使真数为零或为负的值都要舍去。

• 跳过检验，把使某个对数真数为负的根错误地保留下来。
• 把对数相加当成 $\log_a x + \log_a(x-2) = \log_a(2x-2)$；乘法定律给的是 $\log_a[x(x-2)]$，而不是里面相加。
• 把 $\log_a x = b$ 反过来换，写成 $x = b^{a}$ 而不是 $x = a^{b}$。
• 在一边还剩着一个数时就急着令真数相等，要先化到 log = log 或 log = 数。
• 在同一个方程里留着不同的底，而没有先换成同一个底。

学生最常漏掉的一步就是最后的检验，而正是这一步决定了一个漂亮的二次方程是拿满分，还是因为一个无效的根而丢掉一分。在一对一的课堂上，我们的老师会把检验变成一种反射：每解完一个对数方程，你都学会回头看看每个真数，问一句“它是正的吗？”

我们也会紧盯指数形式的改写，因为把 $x = a^{b}$ 写成 $x = b^{a}$ 是一个安静却代价高昂的失误。spmaddmath.com.my 的每一位老师，都经验丰富。

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