Persamaan Logaritma | Matematik Tambahan SPM

Kegunaan kaedah ini

Persamaan logaritma ialah persamaan yang anu-nya berada di dalam logaritma. Kaedah ini menukar persamaan sebegitu kepada persamaan biasa yang anda sudah tahu selesaikan, biasanya linear atau kuadratik, dengan mengupas logaritma secara selamat.

Dua langkah melakukan semua kerja. Jika anda dapat menurunkan persamaan kepada satu logaritma sama dengan logaritma lain berasas sama, maka hujahnya mesti sama.

Jika anda dapat menurunkannya kepada satu logaritma sama dengan nombor biasa, tuliskannya semula dalam bentuk indeks.

samakan hujah

\log_a M = \log_a N \;\Rightarrow\; M = N

bentuk indeks

\log_a x = b \;\Rightarrow\; x = a^{b}

Oleh sebab mengambil logaritma memerlukan hujah positif, sesetengah penyelesaian algebra mesti ditolak, menyemak ialah sebahagian daripada kaedah, bukan tambahan pilihan.

Bila hendak menggunakannya

Gunakan kaedah ini apabila pemboleh ubah muncul di dalam $\log$ , seperti $\log_2 x$ , $\log_3(x-1)$ , atau hasil tambah beberapa logaritma yang disamakan dengan nombor. Tandanya ialah dua atau lebih sebutan logaritma yang boleh digabungkan, atau satu logaritma tunggal yang berada bersendirian pada satu sisi tanda sama.

Jika logaritma dalam persamaan berbeza asas, tukarkannya kepada asas sepunya dahulu, hukum yang menggabungkan log hanya berfungsi dalam satu asas. Jika sebaliknya anu berada dalam eksponen dan bukan di dalam log, itu ialah persamaan indeks; anda mengambil logaritma pada kedua-dua sisi untuk menurunkan kuasa, teknik yang berkaitan tetapi berbeza.

Langkah-langkah

1
Samakan asas
Pastikan setiap logaritma menggunakan asas yang sama; tukar dengan peraturan tukar asas jika tidak sama.
2
Gabungkan log
Gunakan hukum hasil darab dan hasil bahagi untuk memampatkan beberapa logaritma menjadi satu logaritma pada setiap sisi.
3
Buang logaritma
Jika log = log, samakan hujah. Jika log = nombor, tulis semula dalam bentuk indeks menggunakan $\log_a x = b \Rightarrow x = a^{b}$ .
4
Selesaikan persamaan
Selesaikan persamaan linear atau kuadratik yang terhasil untuk mendapatkan anu.
5
Semak setiap punca
Gantikan setiap jawapan semula: hujah setiap logaritma asal mesti positif. Tolak sebarang nilai yang menjadikan hujah sifar atau negatif.

Contoh kerja

Q1[4 marks]

Selesaikan $\log_2 x + \log_2(x-2) = 3$ .

Show worked solution

Kedua-dua sebutan berkongsi asas $2$ , jadi gabungkannya dengan hukum hasil darab.

\log_2\left[x(x-2)\right] = 3

Sisi kanan ialah nombor biasa, jadi tulis semula dalam bentuk indeks menggunakan $\log_a x = b \Rightarrow x = a^{b}$ :

x(x-2) = 2^{3} = 8

Kembangkan dan bawa semua ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadratik.

x^{2} - 2x - 8 = 0

Faktorkan kuadratik itu:

(x-4)(x+2) = 0 \;\Rightarrow\; x = 4 \;\text{atau}\; x = -2

Semak setiap punca. Persamaan asal mengandungi $\log_2 x$ dan $\log_2(x-2)$ , jadi kedua-dua $x$ dan $x-2$ mesti positif.

Untuk $x = -2$ , $\log_2(-2)$ tak tertakrif, jadi tolak $x=-2$ . Untuk $x = 4$ : $\log_2 4 + \log_2 2 = 2 + 1 = 3$ , yang menepati.

x = 4

Maka satu-satunya penyelesaian ialah $x = 4$ . Punca yang ditolak bukan kesilapan, itulah sebabnya langkah menyemak penting.

Kesilapan lazim

Melangkau semakan, jadi punca yang menjadikan hujah logaritma negatif tersilap dikekalkan.
Menambah logaritma seolah-olah $\log_a x + \log_a(x-2) = \log_a(2x-2)$ ; hukum hasil darab memberi $\log_a[x(x-2)]$ , bukan hasil tambah di dalam.
Menukar $\log_a x = b$ secara terbalik, menulis $x = b^{a}$ dan bukan $x = a^{b}$ .
Cuba menyamakan hujah sedangkan satu nombor masih tersisa pada satu sisi, turunkan kepada log = log atau log = nombor dahulu.
Membiarkan asas berbeza dalam persamaan yang sama dan bukan menukarnya kepada asas sepunya.

Bagaimana guru membantu

Langkah yang paling kerap ditinggalkan pelajar ialah semakan akhir, dan itulah langkah yang menentukan sama ada kuadratik yang sempurna memperoleh markah penuh atau hilang satu markah kepada punca yang tidak sah. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami menjadikan semakan itu satu gerak balas: selepas setiap persamaan logaritma, anda belajar melihat semula setiap hujah dan bertanya 'adakah ini positif?'

Kami juga memerhati penukaran bentuk indeks dengan teliti, kerana menulis $x = b^{a}$ dan bukan $x = a^{b}$ ialah tergelincir senyap yang mahal. Setiap guru di spmaddmath.com.my berpengalaman.

Kelas dijalankan dalam talian dan diajar dalam bahasa Inggeris, mengikut kadar yang sesuai untuk anda.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Mengapa sesetengah penyelesaian persamaan logaritma ditolak?

Logaritma hanya tertakrif untuk hujah positif. Apabila anda menyelesaikan kuadratik yang mendasarinya, anda mungkin memperoleh nilai yang menjadikan salah satu logaritma asal berhujah sifar atau negatif.

Nilai itu bukan penyelesaian sebenar, jadi anda menolaknya, sebab itulah penggantian semula amat penting.

Bila saya samakan hujah dan bila saya guna bentuk indeks?

Jika persamaan menjadi $\log_a M = \log_a N$ (satu logaritma pada setiap sisi, asas sama), samakan hujah: $M = N$ . Jika ia menjadi $\log_a x = b$ (logaritma sama dengan nombor biasa), tulis semula dalam bentuk indeks: $x = a^{b}$ .

Bagaimana jika persamaan mempunyai logaritma berbeza asas?

Tukarkan semuanya kepada satu asas dahulu menggunakan $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ . Hukum hasil darab dan hasil bahagi yang membolehkan anda menggabungkan logaritma hanya sah apabila setiap sebutan berkongsi asas yang sama.

Adakah saya dapat markah untuk kerja jika jawapan akhir salah?

Ya. Add Math SPM menggunakan pemarkahan analitik, jadi markah kaedah diberi kerana menggabungkan logaritma dengan betul, menukar kepada bentuk indeks, dan menyelesaikan kuadratik.

Menunjukkan setiap langkah dengan jelas melindungi markah itu walaupun tergelincir kira mengubah nilai akhir.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Cara menyelesaikan persamaan logaritma