如何运用对数定律

对数回答的问题是：“底数要取几次方才等于这个数？” 对数定律让你把一个复杂的对数改写成几个较简单对数的组合。

对数里的乘积会变成和，商会变成差，而幂则会作为倍数提到前面。在 Add Math 里，你用这些定律把一个对数用其他对数表示出来、把几个对数合并成单一对数，以及在解方程之前先化简算式。

这三条定律，加上换底公式和两个小恒等式，几乎涵盖了考卷上所有的对数运算。

两个恒等式让工具更完整：$\log_a a = 1$ 与 $\log_a 1 = 0$。

当一个对数的真数里藏着乘积、商或幂时，或当题目给出几个小数目的对数值、要你去拼出一个较大数目的对数时，就要用到这些定律。像“用 $p$ 和 $q$ 表示”、“写成单一对数”、“不用计算器求值”这样的字眼，就是在直接邀请你使用它们。

如果同一个算式里的两个对数底数不同，要先用换底公式把它们化为同一个底，否则乘法与除法定律都不能用。动笔之前先判断每一部分该用哪一条定律，可以让过程更简短，每一步也更容易拿到分。

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   检查底数

   确认每个对数的底数都相同。若不同，用 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ 把它们化成同一个底。

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   分解每个真数

   把每个数写成已知对数的那些数的乘积、商或幂，例如 $45 = 3^{2}\times 5$。

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   把乘积拆成和

   用 $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ 把乘积拆成分开的对数。

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   把商拆成差

   对任何除法用 $\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$。

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   把幂提到前面

   用 $\log_a x^{n}=n\log_a x$，让每个指数都变成系数。

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   运用恒等式

   把 $\log_a a$ 换成 $1$、$\log_a 1$ 换成 $0$，再代入给定的值并化简。

• 写成 $\log_a(x+y)=\log_a x+\log_a y$。定律拆的是乘积和商，绝不是真数里的和或差。
• 只对真数的一部分用幂定律，指数必须属于整个被取对数的式子。
• 没有先用换底公式，就把不同底数的对数合并。
• 把 $\frac{\log_a x}{\log_a y}$ 和 $\log_a\frac{x}{y}$ 弄混；前者是两个对数的比，后者是商的对数。
• 忘了恒等式，把像 $\log_2 8$ 这样的项留成对数，而没有化简成 $3$。

我们最常见到的失误，是学生把 $\log_a(x+y)$ 当成里面的加法可以像乘法那样拆开。在一对一的课堂上，我们的老师会盯着你选用定律的那一行，在用错定律的那一刻就把你叫停，让错误的习惯在扎根之前就被纠正。

我们也反复训练那一小步分解，看出 $45 = 3^{2}\times 5$ 或 $8 = 2^{3}$，因为大部分分数就在这里得失。spmaddmath.com.my 的每一位老师，都经验丰富。

课程在线上进行，以英语授课，按你掌握这些定律的快慢来安排节奏。