Hukum Logaritma | Matematik Tambahan SPM

Kegunaan kaedah ini

Logaritma menjawab soalan 'kepada kuasa berapakah asas perlu dinaikkan untuk mendapat nombor ini?' Hukum logaritma membolehkan anda menulis semula logaritma yang rumit sebagai gabungan logaritma yang lebih mudah.

Hasil darab di dalam log menjadi hasil tambah, hasil bahagi menjadi beza, dan kuasa keluar ke hadapan sebagai pendarab. Dalam Add Math, hukum ini digunakan untuk menyatakan satu logaritma dalam sebutan logaritma lain, untuk menulis beberapa logaritma sebagai satu logaritma tunggal, dan untuk memudahkan ungkapan sebelum menyelesaikan persamaan.

Tiga hukum ini, bersama peraturan tukar asas dan dua identiti kecil, meliputi hampir semua manipulasi logaritma dalam kertas peperiksaan.

hukum hasil darab

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

hukum hasil bahagi

\log_a\frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y

hukum kuasa

\log_a x^{n} = n\log_a x

tukar asas

\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

Dua identiti melengkapkan set alat ini: $\log_a a = 1$ dan $\log_a 1 = 0$ .

Bila hendak menggunakannya

Gunakan hukum ini apabila sesuatu logaritma menyembunyikan hasil darab, hasil bahagi atau kuasa di dalam hujahnya, atau apabila soalan memberi anda logaritma beberapa nombor kecil dan meminta anda membina logaritma nombor yang lebih besar. Frasa seperti 'ungkapkan dalam sebutan $p$ dan $q$ ', 'tulis sebagai satu logaritma', atau 'nilaikan tanpa kalkulator' ialah pelawaan terus untuk menggunakannya.

Jika dua logaritma dalam ungkapan yang sama mempunyai asas berbeza, tukarkannya kepada asas sepunya dahulu dengan peraturan tukar asas, kerana jika tidak hukum hasil darab dan hasil bahagi tidak boleh digunakan. Menentukan hukum mana yang sesuai untuk setiap bahagian sebelum menulis apa-apa memendekkan kerja dan memudahkan setiap langkah diberi markah.

Langkah-langkah

1
Semak asas
Pastikan setiap logaritma berkongsi asas yang sama. Jika tidak, gunakan $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ untuk membawanya ke satu asas.
2
Faktorkan setiap hujah
Tulis setiap nombor sebagai hasil darab, hasil bahagi atau kuasa nombor yang logaritmanya sudah diketahui, contohnya $45 = 3^{2}\times 5$ .
3
Pecahkan hasil darab kepada hasil tambah
Gunakan $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ untuk memecahkan hasil darab kepada logaritma berasingan.
4
Pecahkan hasil bahagi kepada beza
Gunakan $\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$ untuk sebarang pembahagian.
5
Bawa kuasa ke hadapan
Gunakan $\log_a x^{n}=n\log_a x$ supaya setiap eksponen menjadi pekali.
6
Gunakan identiti
Gantikan $\log_a a$ dengan $1$ dan $\log_a 1$ dengan $0$ , kemudian gantikan nilai yang diberi dan permudahkan.

Contoh kerja

Q1[4 marks]

Diberi $\log_2 3 = p$ dan $\log_2 5 = q$ , ungkapkan $\log_2\frac{45}{8}$ dalam sebutan $p$ dan $q$ .

Show worked solution

Mula-mula gunakan hukum hasil bahagi untuk memisahkan pengangka daripada penyebut.

\log_2\frac{45}{8} = \log_2 45 - \log_2 8

Faktorkan $45$ kepada nombor yang logaritmanya diketahui: $45 = 9\times 5 = 3^{2}\times 5$ . Gunakan hukum hasil darab.

\log_2 45 = \log_2\left(3^{2}\times 5\right) = \log_2 3^{2} + \log_2 5

Bawa kuasa ke hadapan dengan hukum kuasa:

\log_2 3^{2} = 2\log_2 3 = 2p, \qquad \log_2 5 = q

Maka $\log_2 45 = 2p + q$ . Sekarang uruskan $\log_2 8$ .

Oleh sebab $8 = 2^{3}$ , identiti $\log_2 2 = 1$ memberi

\log_2 8 = \log_2 2^{3} = 3\log_2 2 = 3

Gabungkan kedua-dua bahagian:

\log_2\frac{45}{8} = (2p + q) - 3 = 2p + q - 3

Maka $\log_2\frac{45}{8} = 2p + q - 3$ . Setiap nombor ditulis semula menggunakan hanya $3$ , $5$ dan asas $2$ , tepat seperti yang dikehendaki oleh 'dalam sebutan $p$ dan $q$ '.

Kesilapan lazim

Menulis $\log_a(x+y)=\log_a x+\log_a y$ . Hukum memecahkan hasil darab dan hasil bahagi, bukan hasil tambah atau beza di dalam hujah.
Menggunakan hukum kuasa pada sebahagian hujah sahaja, eksponen mesti tergolong kepada keseluruhan yang dilogaritmakan.
Menggabungkan logaritma berbeza asas tanpa menggunakan peraturan tukar asas dahulu.
Mengelirukan $\frac{\log_a x}{\log_a y}$ dengan $\log_a\frac{x}{y}$ ; yang pertama ialah nisbah dua log, yang kedua ialah log bagi hasil bahagi.
Terlupa identiti, jadi sebutan seperti $\log_2 8$ dibiarkan sebagai logaritma dan bukan dipermudah kepada $3$ .

Bagaimana guru membantu

Kesilapan paling lazim yang kami lihat ialah pelajar memecahkan $\log_a(x+y)$ seolah-olah penambahan di dalam log berkelakuan seperti pendaraban. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati baris tepat di mana anda memilih sesuatu hukum dan menghentikan anda pada saat hukum yang salah digunakan, supaya tabiat itu diperbetulkan sebelum berakar.

Kami juga melatih langkah pemfaktoran kecil, mengenal pasti bahawa $45 = 3^{2}\times 5$ atau $8 = 2^{3}$ , kerana di situlah kebanyakan markah dimenangi atau hilang. Setiap guru di spmaddmath.com.my berpengalaman.

Kelas dijalankan dalam talian dan diajar dalam bahasa Inggeris, mengikut kadar anda memahami hukum ini.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Adakah hukum logaritma berfungsi untuk sebarang asas?

Ya. Hukum hasil darab, hasil bahagi dan kuasa sah untuk sebarang asas $a>0$ , $a\neq 1$ , asalkan setiap logaritma dalam langkah itu menggunakan asas yang sama.

Jika asas berbeza, tukar dahulu dengan $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ .

Mengapa

\log_a(x+y)

tidak sama dengan

\log_a x + \log_a y

Kerana hukum hanya menyusun semula hasil darab, hasil bahagi dan kuasa, bukan hasil tambah. $\log_a x + \log_a y$ sebenarnya sama dengan $\log_a(xy)$ , bukan $\log_a(x+y)$ .

Tiada hukum yang memudahkan logaritma bagi hasil tambah.

Bila saya perlukan peraturan tukar asas?

Gunakannya apabila ungkapan atau persamaan mencampurkan logaritma berbeza asas, atau apabila anda perlu menilai logaritma yang kalkulator anda tiada kekunci terusnya. Menulis semula semuanya dalam satu asas membolehkan hukum lain digunakan.

Adakah hukum logaritma ada dalam senarai rumus SPM?

Anda perlu menghafal hukum hasil darab, hasil bahagi, kuasa dan tukar asas, anggapnya sebagai pengetahuan teras dan bukan bergantung pada helaian rumus. Oleh sebab Add Math SPM menggunakan pemarkahan analitik, menunjukkan setiap hukum yang anda gunakan memperoleh markah kaedah walaupun nilai akhir tergelincir.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Cara menggunakan hukum logaritma