如何运用指数定律

指数（幂）是那个抬高的小数字，告诉你底数要自乘几次，例如 $2^{5}=2\times2\times2\times2\times2$。指数定律就是不必把幂完整写出来、便能合并它们的规则。

在 Add Math 里，你用它来化简算式、把杂乱的乘积或商写成单一的幂，而最关键的是：在解指数方程之前，把不同的底数改写成同一个底数的幂。

三条核心定律承担了大部分工作，另有三个特例来处理不好对付的指数。

特例：$a^{0}=1$、$a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$，而分数指数表示开方，$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$。

当你看到同底数的幂在相乘、相除或再乘方时，或当一个算式里混着 $4$、$8$、$16$ 这些都是某个较小底数的幂的数目时，就用这些定律。“化简”“表示成 $2$ 的单一次幂”“求值”这类指示，都是直接指向它们的信号。

它也几乎是每一道指数方程的第一步。如果题目写 $9^{x}=27$，在两边化成同一个底数，这里是 $3$，之前，你无法比较指数。

把 $9=3^{2}$、$27=3^{3}$ 改写后，方程变成 $3^{2x}=3^{3}$，这时才能把指数对应相等。及早看出公共底数，正是让过程简短、每一行都容易拿分的关键。

1. 1

   选一个公共底数

   尽量把每个数写成同一个底数的幂，例如 $8=2^{3}$、$4=2^{2}$、$16=2^{4}$。

2. 2

   去掉括号

   用 $(a^{m})^{n}=a^{mn}$ 消去所有幂的乘方，让每个因式都是单一底数配单一指数。

3. 3

   同底相乘

   同底数相乘时，用 $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$ 把指数相加。

4. 4

   同底相除

   同底数相除时，用 $a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$ 把指数相减。

5. 5

   整理特殊指数

   用 $a^{0}=1$，把负指数用 $a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$ 化成倒数，把分数指数读作开方。

6. 6

   写出单一的幂

   把一切归拢成该底数的一个幂；若题目要一个数值，就把它算出来。

• 底数相乘时却把指数相乘，$a^{m}\times a^{n}$ 是 $a^{m+n}$，要相加，不是相乘。
• 幂的乘方时却把指数相加，$(a^{m})^{n}$ 是 $a^{mn}$，这里要相乘。
• 直接合并不同底数，如 $2^{3}\times 3^{2}$；定律只在底数相同时才适用。
• 把 $a^{-n}$ 读成负数而不是倒数，$2^{-3}=\frac{1}{8}$，这是正数。
• 忘了 $a^{0}=1$，或在指数相减变成零后把这一项丢掉。

我们最常见到的失误，是学生在底数只是相乘时就把指数相乘，或者开始前忘了把 $8$、$4$、$16$ 改写成 $2$ 的幂。在一对一的课堂上，我们的老师会要你在每一行都说出你用的是哪一条定律，让“乘就加、除就减、乘方就乘”变成本能，而不是靠猜。

我们也反复训练化成公共底数的那一步，比如 $9=3^{2}$、$27=3^{3}$，因为这一步能解开几乎每一道指数方程。spmaddmath.com.my 的每一位老师，都经验丰富。

课程在线上进行，以英语授课，按你掌握这些规则的快慢来安排节奏。