如何配方

配方（配方法）是把二次式 $ax^2+bx+c$ 改写成 $a(x+p)^2+q$ 的方法，这种形式又叫顶点式。两种写法描述的是同一条抛物线，但顶点式把原式隐藏起来的信息直接摆在眼前。

从 $a(x+p)^2+q$，我们可以立刻读出抛物线的顶点坐标 $(-p,\ q)$。当 $a>0$ 时，图形开口向上，$q$ 就是最小值；当 $a<0$ 时，图形开口向下，$q$ 就是最大值。

在 Add Math 里，这一个技巧可以帮你解决最小值与最大值的问题、求对称轴、画抛物线草图，甚至在不容易因式分解时用来求方程的根。

我们偏爱顶点式，是因为它把难题变成一道『读数』的题。当二次式写成 $a(x+p)^2+q$ 时，平方括号最小只能是零，所以整个式子永远不小于 $q$（当 $a>0$ 时），不用微积分、不用画图，最小值就摆在你面前。

这是中四《二次函数》这一章的核心技能，也直接关系到函数的值域、对称轴 $x=-p$ 以及图形的开口方向。早点把它练扎实，后面几章会轻松许多。

当题目要求二次函数的最小值、最大值或顶点时，就该想到配方。题目常常写成「把 $f(x)$ 表示成 $a(x+p)^2+q$ 的形式」，接着叫你「写出最小点」。

如果一个二次式不容易因式分解，而你又需要它的根，配方同样管用；被问到二次函数的值域时也一样。看到抛物线草图上标出顶点，或看到「最小值」「最低点」这类字眼，就是使用它的信号。

因为顶点式让对称性一目了然，建立在这个方法上的二次函数题在试卷一和试卷二里都会出现。

也要留意最优化类的应用题，最大面积、最低成本、最大高度，它们把二次式藏在生活情境里。把式子写成顶点式，就能直接得到最佳值，以及取得这个值时对应的 $x$，完全不必靠猜。

以下是完整步骤。当 $x^2$ 前面有系数时，按这个顺序做：

1. 1

   让 $x^2$ 的系数变成 1

   如果 $a\neq 1$，只从 $x^2$ 项和 $x$ 项中提取因子 $a$，把常数项留在括号外面。

2. 2

   把 $x$ 的系数除以二

   取括号内 $x$ 前面的数，除以二，记作 $p$。这个 $p$ 就是要放进 $(x+p)^2$ 里的数。

3. 3

   加上再减去同一个平方

   在括号内加上 $p^2$ 再减去 $p^2$，使数值保持不变，然后把前三项写成完全平方 $(x+p)^2$。

4. 4

   把括号重新乘开

   把因子 $a$ 乘到你造出的 $-p^2$ 上，再与留在外面的常数合并。

5. 5

   写出顶点式并读出答案

   把结果写成 $a(x+p)^2+q$；顶点是 $(-p,\ q)$，当 $a>0$ 时 $q$ 是最小值，当 $a<0$ 时 $q$ 是最大值。

先自己试一试，再逐行对照解答。

既然顶点式已经写出，另外两个答案也顺手可得。对称轴是经过顶点的竖直线，也就是 $x=-2$；由于 $f$ 的最小值是 $-3$，所以 $f$ 的值域是 $f(x)\ge -3$。

从一行代数里读出三个结果，正是考官喜欢这种形式的原因。

• 忘了先提取因子 $a$。当 $x^2$ 的系数不是 1 时，必须先从 $x^2$ 项和 $x$ 项中把它提取出来，再除以二。
• 除以二却没有平方，或平方了却没有减回去。你必须加上 $p^2$ 再减去同一个 $p^2$，才能保持原式的值不变。
• $-p^2$ 移出括号时忘了乘上因子 $a$。这是最常见的符号错误。
• 把顶点读成 $(p,\ q)$ 而不是 $(-p,\ q)$。$x$ 坐标是使括号等于零的那个值。
• 以为 $q$ 一定是最小值。只有 $a>0$ 时它才是最小值；当 $a<0$ 时图形开口向下，$q$ 是最大值。

配方时几乎每一分的丢失都来自某一行，最常见的是因子 $a$ 要重新乘到 $-p^2$ 上的那一刻。在一对一的课堂里，我们的老师会盯着你做那一行，看清你是错在符号、漏了因子，还是除以二出错，再让你只重做那一步，直到它变得自然。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是会讲清楚「为什么」而不只是「怎么做」的人。课程在线进行、以英语授课；由于评分是一步一步给的，我们会教你在最后答案算错时也能拿到方法分。

我们还会培养一个十秒检查的习惯，把顶点式展开还原成原式，让粗心的失误不会拖到最后一行。