Cara Menyempurnakan Kuasa Dua

Menyempurnakan kuasa dua ialah cara menulis semula ungkapan kuadratik $ax^2+bx+c$ dalam bentuk kemas $a(x+p)^2+q$, yang juga dipanggil bentuk verteks. Kedua-dua bentuk menerangkan lengkung yang sama, tetapi bentuk kedua terus mendedahkan maklumat yang disembunyikan oleh bentuk pertama.

Daripada $a(x+p)^2+q$, kita boleh terus membaca titik pusingan parabola, iaitu pada koordinat $(-p,\ q)$. Jika $a>0$, lengkung membuka ke atas dan $q$ ialah nilai minimum; jika $a<0$, lengkung membuka ke bawah dan $q$ ialah nilai maksimum.

Dalam Add Math, kemahiran ini membuka jalan kepada soalan nilai minimum dan maksimum, paksi simetri, lakaran parabola, malah menyelesaikan persamaan kuadratik apabila pemfaktoran menjadi rumit.

Kita memilih bentuk verteks kerana ia menukar soalan yang sukar menjadi kerja membaca sahaja. Apabila kuadratik ditulis sebagai $a(x+p)^2+q$, nilai terkecil bagi kurungan kuasa dua itu ialah sifar, jadi keseluruhan ungkapan tidak pernah kurang daripada $q$ apabila $a>0$, nilai minimum diberikan kepada anda tanpa kalkulus dan tanpa lakaran graf.

Ini kemahiran teras Tingkatan 4 dalam bab Fungsi Kuadratik, dan ia terus menyumbang kepada julat fungsi, paksi simetri $x=-p$, serta arah bukaan lengkung. Menguasainya lebih awal menjadikan tajuk kemudian lebih mudah difahami.

Gunakan kaedah menyempurnakan kuasa dua apabila soalan meminta nilai minimum, nilai maksimum, atau titik pusingan sesuatu fungsi kuadratik. Ayatnya biasanya berbunyi "ungkapkan dalam bentuk $a(x+p)^2+q$" dan kemudian "nyatakan titik minimum".

Ia juga alat yang betul apabila kuadratik tidak dapat difaktorkan dengan kemas tetapi anda masih memerlukan puncanya, atau apabila anda diminta mencari julat fungsi kuadratik. Jika anda nampak lakaran parabola dengan verteks ditanda, atau ungkapan seperti "nilai terkecil", itulah petandanya.

Oleh sebab bentuk verteks menjadikan simetri jelas, soalan fungsi kuadratik yang dibina atas kaedah ini muncul dalam Kertas 1 dan Kertas 2.

Perhatikan juga soalan berayat jenis pengoptimuman, luas terbesar, kos terkecil, ketinggian maksimum, yang menyembunyikan kuadratik dalam cerita harian. Menulis semula ungkapan dalam bentuk verteks terus memberi nilai terbaik, dan nilai $x$ yang mencapainya, tanpa perlu meneka.

Berikut prosedur penuhnya. Apabila terdapat pekali di hadapan $x^2$, ikut susunan ini:

1. 1

   Jadikan pekali $x^2$ sama dengan 1

   Jika $a\neq 1$, keluarkan faktor $a$ daripada sebutan $x^2$ dan $x$ sahaja, dan biarkan pemalar di luar kurungan.

2. 2

   Bahagi dua pekali $x$

   Ambil nombor di hadapan $x$ dalam kurungan, bahagikan dengan dua, dan namakan hasilnya $p$. Nilai $p$ inilah yang masuk ke dalam $(x+p)^2$.

3. 3

   Tambah dan tolak kuasa dua

   Tambah $p^2$ dan tolak $p^2$ di dalam kurungan supaya nilainya tidak berubah, kemudian kumpulkan tiga sebutan pertama sebagai kuasa dua sempurna $(x+p)^2$.

4. 4

   Darab semula kurungan

   Darabkan faktor $a$ dengan sebutan $-p^2$ yang terbentuk, dan gabungkannya dengan pemalar yang tinggal di luar.

5. 5

   Tulis bentuk verteks dan baca jawapan

   Nyatakan hasil sebagai $a(x+p)^2+q$; titik pusingan ialah $(-p,\ q)$, dan $q$ ialah nilai minimum (jika $a>0$) atau maksimum (jika $a<0$).

Cuba dahulu sendiri, kemudian semak setiap baris dengan penyelesaian.

Oleh sebab bentuk verteks kini kelihatan, dua jawapan lagi diperoleh dengan mudah. Paksi simetri ialah garis menegak yang melalui verteks, iaitu $x=-2$.

Dan kerana nilai terkecil bagi $f$ ialah $-3$, julat bagi $f$ ialah $f(x)\ge -3$. Membaca tiga hasil daripada satu baris algebra inilah sebabnya bentuk ini digemari.

• Terlupa mengeluarkan faktor $a$ dahulu. Apabila pekali $x^2$ bukan 1, anda mesti mengeluarkannya daripada sebutan $x^2$ dan $x$ sebelum membahagi dua.
• Membahagi dua tetapi tidak mengkuasaduakan, atau mengkuasaduakan tetapi tidak menolaknya semula. Anda mesti tambah $p^2$ dan tolak $p^2$ yang sama supaya nilai ungkapan kekal.
• Terlupa mendarab $-p^2$ dengan faktor $a$ apabila ia keluar dari kurungan. Inilah ralat tanda yang paling kerap berlaku.
• Membaca verteks sebagai $(p,\ q)$ dan bukan $(-p,\ q)$. Koordinat $x$ ialah nilai yang menjadikan kurungan bernilai sifar.
• Menganggap $q$ sentiasa nilai minimum. Ia minimum hanya apabila $a>0$; apabila $a<0$, lengkung membuka ke bawah dan $q$ ialah maksimum.

Hampir setiap markah yang hilang dalam menyempurnakan kuasa dua datang daripada satu baris tertentu, selalunya saat faktor $a$ perlu didarab semula dengan sebutan $-p^2$. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati anda mengerjakan baris itu, mengesan sama ada silapnya pada tanda, faktor yang tertinggal, atau kesilapan membahagi dua, lalu meminta anda mengulang langkah itu sahaja sehingga ia menjadi automatik.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda mendapat orang yang menerangkan sebabnya, bukan sekadar caranya. Kelas dijalankan dalam talian dan diajar dalam bahasa Inggeris, dan kerana kerja dinilai langkah demi langkah, kami tunjukkan cara memperoleh markah kaedah walaupun jawapan akhir tersilap.

Kami juga membina tabiat semakan sepuluh saat, mengembangkan bentuk verteks kembali kepada ungkapan asal, supaya kesilapan cuai tidak sampai ke baris terakhir.