对分数幂误用幂法则

积分的幂法则是 $\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$：指数加一，再除以那个新指数。碰到整数幂时这套流程很顺手。

碰到分数幂就在两处出岔。第一，学生除以原来的指数而不是新指数，或者干脆忘了加一。

第二，更要命的失误，他们把「除以一个分数」处理错了。除以 $\tfrac{3}{2}$ 意味着乘以它的倒数 $\tfrac{2}{3}$，可在压力下很多人写成 $\times\tfrac{3}{2}$，把分数翻反了方向。

根式和倒数让情况更糟，因为 $\sqrt{x}$ 和 $\tfrac{1}{\sqrt{x}}$ 在写成幂之前就把指数藏了起来。法则本身很短；真正让分数悄悄流失的，是分数的算术。

求 $\int\sqrt{x}\,dx$。先把根式写成幂：$\sqrt{x}=x^{1/2}$。

新指数是 $\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{2}$，法则要求除以这个新指数。

除以 $\tfrac{3}{2}$ 等同于乘以 $\tfrac{2}{3}$，所以系数应当是 $\tfrac{2}{3}$，而不是 $\tfrac{3}{2}$。

对答案求导来检验，导数应当还原成被积函数。对正确答案，$\frac{d}{dx}\left(\tfrac{2}{3}x^{3/2}\right)=\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{3}{2}x^{1/2}=x^{1/2}=\sqrt{x}$。

错误答案求导得 $\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{3}{2}x^{1/2}=\tfrac{9}{4}\sqrt{x}$，并不是被积函数，所以它通不过检验。

1. 1

   把根式和倒数写成幂

   在动用法则之前，把 $\sqrt{x}$ 写成 $x^{1/2}$，把 $\tfrac{1}{\sqrt{x}}$ 写成 $x^{-1/2}$，让指数显现出来。

2. 2

   指数加一

   把 $n+1$ 算成一个单一分数。当 $n=\tfrac{1}{2}$，新指数是 $\tfrac{3}{2}$；当 $n=-\tfrac{1}{2}$，是 $\tfrac{1}{2}$。

3. 3

   除以新指数

   绝不要除以原来的指数。把幂除以 $n+1$。

4. 4

   把「除以分数」化成乘法

   除以 $\tfrac{3}{2}$ 就是 $\times\tfrac{2}{3}$；除以 $\tfrac{1}{2}$ 就是 $\times 2$。把分数翻过来再乘。

5. 5

   加上 +c 并求导检验

   不定积分要加 $+c$，然后对答案求导，它应当还原成你一开始的式子。

我们的老师把分数这一步放到最慢，因为分数正是在这里流失的。我们操练同样三个动作，写成幂、加一、除以新指数，并出声说「除以三分之二等于乘三分之二」，直到倒数不再翻错方向。

在一对一课堂上，我们再加上求导检验，让你能在考卷抓到之前自己抓住写错的系数。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

欢迎通过 WhatsApp 联系我们，安排一堂一小时的付费课，收费从每小时 RM50 起，按老师的收费而定。