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例题 · 三角函数

三角函数，例题（中等）

这组中等的三角函数例题把要求提高一级：在整整一圈内解关于 sin⁡x\sin x 的二次方程，通过通分并运用 sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1 来证明恒等式，以及通过为倍角扩大范围来数出并求出 sin⁡2x=12\sin 2x=\tfrac{1}{2} 的解。请先在纸上做每一题，再逐行对照我们的完整解答。

这些例题涵盖什么

这组中等的三角函数例题从一步就能想起的记忆，走向试卷中段所要求的推理。第一题把三角方程当成关于 sin⁡x\sin x 的二次式：先因式分解，再拆成两个简单方程，然后在范围内读出每一个角。

第二题是证明，把两个分数通分，仔细展开，再用恒等式 sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1 把分子压缩，直到两边相同。第三题是带倍角的图形与方程题：因为角是 2x2x，你必须把工作区间扩大到 0∘0^{\circ} 至 720∘720^{\circ}，才不会漏掉解，最后再除回来。

数字保持小而干净，让重点落在方法而非算术上。请诚实地使用这组题：先盖住解答，把题目完整做一遍，然后再逐行对照。

如果答案不同，就找出两份解答开始分岔的那一步，那一行往往正是真正学到东西的地方。

例题解析

三题全部做完。每一题都先自己完整做一遍，再看对应的解答，并留意同一个习惯，把问题化成你已经会收尾的子问题，再仔细完成它，如何贯穿二次方程、恒等式证明与倍角图形题。

读完整解答时，留意分数究竟落在哪里。在方程里，方法分来自正确的因式分解，以及把基本角放进正确的象限；在证明里，方法分来自老实地通分、并点名你所用的恒等式；在图形题里，方法分来自正确说出振幅与周期，以及在列解之前先扩大区间。

一个没有可见方法的最终答案，得分远少于把每一步都摆出来的整洁算法。所以每一次代入都独立写成一行，别因为一行看起来长就把它擦掉，在分析式评分下，那一行往往正是被评分的地方。

Q1[4 marks]

在 0∘≤x≤360∘0^{\circ}\le x\le 360^{\circ} 内解 2sin⁡2x+sin⁡x−1=02\sin^{2}x+\sin x-1=0。

Show worked solution

这个方程是关于 sin⁡x\sin x 的二次式。令 s=sin⁡xs=\sin x，让结构一目了然：

2s2+s−1=02s^{2}+s-1=0

因式分解。两个相乘得 2×(−1)=−22\times(-1)=-2、相加得 +1+1 的数是 +2+2 与 −1-1，于是：

(2s−1)(s+1)=0(2s-1)(s+1)=0

所以 s=12s=\dfrac{1}{2} 或 s=−1s=-1；也就是 sin⁡x=12\sin x=\dfrac{1}{2} 或 sin⁡x=−1\sin x=-1。分别求解。

对 sin⁡x=12\sin x=\dfrac{1}{2}：基本角是 30∘30^{\circ}，正弦在第一、第二象限为正：

x=30∘或x=180∘−30∘=150∘x=30^{\circ}\quad\text{或}\quad x=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}

对 sin⁡x=−1\sin x=-1：正弦在一圈内只有一次取到最低值 −1-1，就在曲线的最低点：

x=270∘x=270^{\circ}

答案

x=30∘, 150∘, 270∘x=30^{\circ},\ 150^{\circ},\ 270^{\circ}。展开验证因式：(2s−1)(s+1)=2s2+2s−s−1=2s2+s−1(2s-1)(s+1)=2s^{2}+2s-s-1=2s^{2}+s-1，正是原式。

再看 sin⁡30∘=sin⁡150∘=12\sin 30^{\circ}=\sin 150^{\circ}=\tfrac{1}{2}，sin⁡270∘=−1\sin 270^{\circ}=-1，三个角都满足方程。

Q2[4 marks]

证明 sin⁡θ1+cos⁡θ+1+cos⁡θsin⁡θ=2cosec⁡θ\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}+\dfrac{1+\cos\theta}{\sin\theta}=2\operatorname{cosec}\theta。

Show worked solution

从左边（LHS）着手，把两个分数通分到公分母 sin⁡θ(1+cos⁡θ)\sin\theta(1+\cos\theta)：

LHS=sin⁡θ⋅sin⁡θ+(1+cos⁡θ)(1+cos⁡θ)sin⁡θ(1+cos⁡θ)=sin⁡2θ+(1+cos⁡θ)2sin⁡θ(1+cos⁡θ)\text{LHS}=\dfrac{\sin\theta\cdot\sin\theta+(1+\cos\theta)(1+\cos\theta)}{\sin\theta(1+\cos\theta)}=\dfrac{\sin^{2}\theta+(1+\cos\theta)^{2}}{\sin\theta(1+\cos\theta)}

展开分子里的平方，注意 (1+cos⁡θ)2=1+2cos⁡θ+cos⁡2θ(1+\cos\theta)^{2}=1+2\cos\theta+\cos^{2}\theta：

=sin⁡2θ+1+2cos⁡θ+cos⁡2θsin⁡θ(1+cos⁡θ)=\dfrac{\sin^{2}\theta+1+2\cos\theta+\cos^{2}\theta}{\sin\theta(1+\cos\theta)}

把 sin⁡2θ+cos⁡2θ\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta 归并，并用毕氏恒等式换成 11：

Given in the exam
sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1
=1+1+2cos⁡θsin⁡θ(1+cos⁡θ)=2+2cos⁡θsin⁡θ(1+cos⁡θ)=\dfrac{1+1+2\cos\theta}{\sin\theta(1+\cos\theta)}=\dfrac{2+2\cos\theta}{\sin\theta(1+\cos\theta)}

从分子提出因子 22，再约去公因式 (1+cos⁡θ)(1+\cos\theta)：

=2(1+cos⁡θ)sin⁡θ(1+cos⁡θ)=2sin⁡θ=2cosec⁡θ=RHS=\dfrac{2(1+\cos\theta)}{\sin\theta(1+\cos\theta)}=\dfrac{2}{\sin\theta}=2\operatorname{cosec}\theta=\text{RHS}

答案

既然左边正好化简为 2cosec⁡θ2\operatorname{cosec}\theta，恒等式得证。关键之处在于看出展开后的分子里藏着 sin⁡2θ+cos⁡2θ\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta；没有这一步代换，分数就化简不下去。

Q3[5 marks]

在 0∘≤x≤360∘0^{\circ}\le x\le 360^{\circ} 内画出 y=2sin⁡2xy=2\sin 2x 的图。（a）说出它的振幅与周期。

（b）求方程 2sin⁡2x=12\sin 2x=1 在此区间内的解的个数，并解出它。

Show worked solution

（a）与 y=asin⁡bx+cy=a\sin bx+c 对照：这里 a=2a=2，b=2b=2，c=0c=0。振幅是 ∣a∣=2|a|=2，周期是 360∘b=180∘\dfrac{360^{\circ}}{b}=180^{\circ}。

因此曲线在 0∘0^{\circ} 到 360∘360^{\circ} 之间走完两个完整周期。

（b）方程两边除以 22，把正弦孤立出来：

2sin⁡2x=1 ⇒ sin⁡2x=122\sin 2x=1\ \Rightarrow\ \sin 2x=\dfrac{1}{2}

倍角 2x2x 是关键。当 xx 从 0∘0^{\circ} 走到 360∘360^{\circ}，角 2x2x 从 0∘0^{\circ} 走到 720∘720^{\circ}，所以要在这个更宽的区间里找出 sin⁡2x=12\sin 2x=\dfrac{1}{2} 的每一个解。

基本角是 30∘30^{\circ}，正弦在第一、第二象限为正，所以一圈内的解是 30∘30^{\circ} 与 150∘150^{\circ}；各加 360∘360^{\circ} 得到第二圈：

2x=30∘, 150∘, 390∘, 510∘2x=30^{\circ},\ 150^{\circ},\ 390^{\circ},\ 510^{\circ}

每个值除以 22：

x=15∘, 75∘, 195∘, 255∘x=15^{\circ},\ 75^{\circ},\ 195^{\circ},\ 255^{\circ}

答案

振幅 22，周期 180∘180^{\circ}；共有 44 个解：x=15∘, 75∘, 195∘, 255∘x=15^{\circ},\ 75^{\circ},\ 195^{\circ},\ 255^{\circ}。检验最后一个：2x=510∘2x=510^{\circ}，而 sin⁡510∘=sin⁡(510∘−360∘)=sin⁡150∘=12\sin 510^{\circ}=\sin(510^{\circ}-360^{\circ})=\sin 150^{\circ}=\dfrac{1}{2}。

个数与图形相符：两个周期，每个都与直线 y=1y=1 相交两次。

Q4[3 marks]

已知 cos⁡θ=−45\cos\theta=-\dfrac{4}{5} 且 180∘<θ<270∘180^{\circ}<\theta<270^{\circ}，求 sin⁡θ\sin\theta 与 tan⁡θ\tan\theta 的值。

Show worked solution

由于 180∘<θ<270∘180^{\circ}<\theta<270^{\circ}，θ\theta 落在第三象限，此处正弦与余弦都为负，但正切为正。先用毕氏恒等式求出 sin⁡θ\sin\theta：

sin⁡2θ=1−cos⁡2θ=1−(−45)2=1−1625=925\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta=1-\left(-\dfrac{4}{5}\right)^{2}=1-\dfrac{16}{25}=\dfrac{9}{25}

开平方并选取负号，因为第三象限的正弦为负：

sin⁡θ=−35所以tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=−35−45=34\sin\theta=-\dfrac{3}{5}\quad\text{所以}\quad\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=\dfrac{3}{4}

答案

sin⁡θ=−35\sin\theta=-\dfrac{3}{5}，tan⁡θ=34\tan\theta=\dfrac{3}{4}。这是第三象限中的一个 3–4–5 直角三角形，tan⁡θ\tan\theta 为正也符合「正弦与余弦同号时正切为正」的规则。

Q5[4 marks]

不使用计算机，求 sin⁡75∘\sin 75^{\circ} 的准确值，答案以根式表示。

Show worked solution

把 75∘75^{\circ} 写成两个已知准确比值的角之和，45∘+30∘45^{\circ}+30^{\circ}，再用加法公式：

sin⁡75∘=sin⁡(45∘+30∘)=sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘\sin 75^{\circ}=\sin(45^{\circ}+30^{\circ})=\sin 45^{\circ}\cos 30^{\circ}+\cos 45^{\circ}\sin 30^{\circ}

代入准确值 sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\sin45^{\circ}=\cos45^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}，cos⁡30∘=32\cos30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}，sin⁡30∘=12\sin30^{\circ}=\dfrac{1}{2}：

sin⁡75∘=(22)(32)+(22)(12)=64+24\sin 75^{\circ}=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{6}}{4}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}
sin⁡75∘=6+24\sin 75^{\circ}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

答案

sin⁡75∘=6+24\sin 75^{\circ}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}。验算：6+24≈2.449+1.4144≈0.966\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx\dfrac{2.449+1.414}{4}\approx0.966，与计算机算出的 sin⁡75∘\sin75^{\circ} 相符。

Q6[3 marks]

已知 sin⁡A=513\sin A=\dfrac{5}{13}，且 AA 为锐角，求 cos⁡2A\cos 2A 的值。

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由于 sin⁡A\sin A 已知，直接用只含正弦的倍角公式，就不必先求 cos⁡A\cos A：

cos⁡2A=1−2sin⁡2A\cos 2A=1-2\sin^{2}A

代入 sin⁡A=513\sin A=\dfrac{5}{13}：

cos⁡2A=1−2(513)2=1−2(25169)=1−50169=119169\cos 2A=1-2\left(\dfrac{5}{13}\right)^{2}=1-2\left(\dfrac{25}{169}\right)=1-\dfrac{50}{169}=\dfrac{119}{169}

答案

cos⁡2A=119169\cos 2A=\dfrac{119}{169}。由于 sin⁡A≈0.385\sin A\approx0.385，A≈22.6∘A\approx22.6^{\circ}，所以 2A≈45.2∘2A\approx45.2^{\circ}；cos⁡45∘≈0.707\cos45^{\circ}\approx0.707 与 119169≈0.704\dfrac{119}{169}\approx0.704 接近，说明答案合理。

Q7[4 marks]

在 0∘≤x≤360∘0^{\circ}\le x\le 360^{\circ} 内解 3sin⁡x=cos⁡x\sqrt{3}\sin x=\cos x。

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正弦与余弦都只有一次方，且此处任何解都不会使 cos⁡x=0\cos x=0，所以把每一项都除以 cos⁡x\cos x，把方程化成只含一个比值：

3sin⁡x=cos⁡x ⇒ 3tan⁡x=1 ⇒ tan⁡x=13\sqrt{3}\sin x=\cos x\ \Rightarrow\ \sqrt{3}\tan x=1\ \Rightarrow\ \tan x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}

基本角是 30∘30^{\circ}。正切在第一、第三象限为正，所以：

x=30∘或x=180∘+30∘=210∘x=30^{\circ}\quad\text{或}\quad x=180^{\circ}+30^{\circ}=210^{\circ}

答案

x=30∘, 210∘x=30^{\circ},\ 210^{\circ}。检验 x=210∘x=210^{\circ}：3sin⁡210∘=3(−12)≈−0.866\sqrt{3}\sin210^{\circ}=\sqrt{3}\left(-\tfrac{1}{2}\right)\approx-0.866，cos⁡210∘≈−0.866\cos210^{\circ}\approx-0.866，两边相符。

Q8[3 marks]

在 0∘≤x≤360∘0^{\circ}\le x\le 360^{\circ} 内画出 y=3cos⁡x+2y=3\cos x+2 的图。说出 yy 的最大值与最小值，以及对应的 xx 值。

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与 y=acos⁡x+cy=a\cos x+c 对照：这里 a=3a=3，c=2c=2。由于 cos⁡x\cos x 本身只在 −1-1 到 11 之间变化，垂直位移 cc 只是把整个范围往上或往下移动。

最大值出现在 cos⁡x=1\cos x=1 时，最小值出现在 cos⁡x=−1\cos x=-1 时：

ymax⁡=3(1)+2=5 （当 cos⁡x=1） ⇒ x=0∘, 360∘y_{\max}=3(1)+2=5\ \text{（当}\ \cos x=1\text{）}\ \Rightarrow\ x=0^{\circ},\ 360^{\circ}
ymin⁡=3(−1)+2=−1 （当 cos⁡x=−1） ⇒ x=180∘y_{\min}=3(-1)+2=-1\ \text{（当}\ \cos x=-1\text{）}\ \Rightarrow\ x=180^{\circ}

答案

最大值 y=5y=5，在 x=0∘x=0^{\circ} 与 x=360∘x=360^{\circ} 处；最小值 y=−1y=-1，在 x=180∘x=180^{\circ} 处。曲线以中线 y=2y=2 为中心对称摆动，正好对应垂直位移 c=2c=2。

贯穿这三题的制胜一招是相同的：把问题重塑成你已经会收尾的东西。三角方程变成二次式；顽固的分数在用上恒等式后变成一项；倍角方程在你扩大范围再除回来后变成普通方程。

把这种重塑写成清楚的几行，分数自然跟着来。也值得用问题的形状来核对解的个数：关于某个三角比的二次式最多给出两个比值，而每个严格落在正弦或余弦上下限之间的比值，每圈贡献两个角，所以一个整范围方程往往有三或四个解，而不是一个。

当你的清单短于此时，先在范围两端附近找找看是否漏了一个解。

关键方法要点

这三道例题演练的是把稳定得分者与不稳者区分开来的试卷中段技巧。多做练习时，记住以下几点。

  • 当方程里同时有 sin⁡2x\sin^{2}x 或 cos⁡2x\cos^{2}x 和对应的一次项时，把它当成二次式，代入 ss，因式分解，再在给定范围内解出每个简单方程。
  • 证明恒等式时，只处理一边，把分数通分，充分展开，并寻找可换成 11 的 sin⁡2θ+cos⁡2θ\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta。
  • 对像 2x2x 这样的倍角，先扩大区间（这里到 0∘0^{\circ}–720∘720^{\circ}），在其中找全所有解，再除以倍数。
  • 读出振幅 ∣a∣|a| 与周期 360∘b\dfrac{360^{\circ}}{b}，就知道范围里装下几个周期，这也是一条水平线能与曲线相交的次数。
  • 正弦或余弦取值 −1-1 或 +1+1 时，每圈恰好一个解；取严格中间的值时，每圈两个解。
  • 保留每一行代入与因式分解，由于采用分析式评分，即使最后一位数字出错，一行清楚的方法仍能拿到方法分。

老师如何帮忙

这里最常见的中段失分都很安静：解 2x2x 方程时忘了扩大范围，一半答案就消失；或者在证明里去找捷径，而不是把分数通分、相信恒等式。在一对一的课堂上，我们的老师会立刻看出丢失的解或卡住的证明，示范那条可靠的路线，让习惯正确地养成，而不是靠运气。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是会讲清楚「为什么区间要加倍」的人，而不只是步骤。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此这套记号在两种版本里都一样。

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常见问题

为什么解 sin⁡2x\sin 2x 时区间要变成 0∘0^{\circ} 到 720∘720^{\circ}？

你要解的是角 2x2x，而不是 xx。若 xx 的范围是 0∘0^{\circ} 到 360∘360^{\circ}，那么 2x2x 的范围就是它的两倍，0∘0^{\circ} 到 720∘720^{\circ}。

先在更宽的区间里找全每个 2x2x，再除以 22。跳过这一步，正是答案漏掉的常见原因。

怎样判断一个三角方程可以当成二次式？

在同一个方程里找一个平方比与它的一次项，比如 2sin⁡2x+sin⁡x−1=02\sin^{2}x+\sin x-1=0。用一个字母代替那个比，因式分解或用二次公式，再把每个根换回去，在给定范围内解出角。

证明恒等式时该从哪一边开始？

从较复杂的一边开始，通常是带分数或较高次幂的那边，把它朝另一边化简。把分数通分，展开，并用 sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1。

不要像解方程那样把项移到等号另一边。

在 0∘0^{\circ} 到 360∘360^{\circ} 之间，一条线能与 y=2sin⁡2xy=2\sin 2x 相交几次？

周期是 180∘180^{\circ}，所以范围里装下两个完整周期。一条高度落在振幅之内的水平线，比如 y=1y=1，会与每个周期相交两次，共四个交点，正好对应 2sin⁡2x=12\sin 2x=1 的四个解。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

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