Fungsi Trigonometri Contoh Kerja (Sederhana)

Q: Mengapa julat menjadi 0^{\circ} hingga 720^{\circ} bagi \sin 2x?

Anda menyelesaikan bagi sudut 2x2x2x, bukan xxx. Jika xxx berjulat 0∘0^{\circ}0∘ hingga 360∘360^{\circ}360∘, maka 2x2x2x berjulat dua kali ganda, 0∘0^{\circ}0∘ hingga 720∘720^{\circ}720∘. Cari setiap 2x2x2x dalam julat lebih luas, kemudian bahagikan dengan 222. Melangkau langkah ini ialah sebab biasa jawapan hilang.

Q: Bagaimana saya tahu persamaan trigonometri boleh dianggap kuadratik?

Cari nisbah berkuasa dua dan kuasa pertamanya dalam persamaan yang sama, seperti 2sin⁡2x+sin⁡x−1=02\sin^{2}x+\sin x-1=02sin2x+sinx−1=0. Gantikan satu huruf bagi nisbah itu, faktorkan atau guna rumus kuadratik, kemudian terjemah setiap punca kembali dan selesaikan bagi sudut dalam julat.

Q: Semasa membukti identiti, sebelah mana patut saya mulakan?

Mulakan dari sebelah yang lebih rumit, biasanya yang bersama pecahan atau kuasa lebih tinggi, dan permudahkannya ke arah sebelah lagi satu. Gabungkan pecahan atas penyebut sepunya, kembangkan, dan guna sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1sin2θ+cos2θ=1. Jangan pindahkan sebutan merentasi tanda sama seperti menyelesaikan persamaan.

Q: Berapa kali garis boleh memotong y=2\sin 2x antara 0^{\circ} dan 360^{\circ}?

Kalanya 180∘180^{\circ}180∘, jadi dua kitaran penuh memenuhi julat. Garis mengufuk pada ketinggian dalam amplitud, seperti y=1y=1y=1, memotong setiap kitaran dua kali, memberi empat persilangan, sepadan dengan empat penyelesaian 2sin⁡2x=12\sin 2x=12sin2x=1.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Fungsi Trigonometri sederhana ini bergerak melepasi ingatan satu langkah kepada penaakulan yang diharapkan di bahagian tengah kertas. Yang pertama menganggap persamaan trigonometri sebagai kuadratik dalam $\sin x$ : faktorkan, pisahkan kepada dua persamaan mudah, kemudian baca setiap sudut dalam julat.

Yang kedua ialah pembuktian, gabungkan dua pecahan atas penyebut sepunya, kembangkan dengan teliti, dan gunakan identiti $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ untuk memampatkan pengangka sehingga kedua-dua belah sepadan. Yang ketiga ialah soalan graf-dan-persamaan dengan sudut gandaan: kerana sudutnya $2x$ , anda mesti meluaskan julat kerja kepada $0^{\circ}$ hingga $720^{\circ}$ supaya tiada penyelesaian hilang, kemudian bahagikan semula.

Nombor kekal kecil dan kemas supaya kaedah, bukan aritmetik, menjadi tumpuan. Gunakan set ini dengan jujur: tutup penyelesaian, cuba soalan sepenuhnya, dan barulah semak baris demi baris.

Jika jawapan anda berbeza, cari langkah tepat tempat kedua-dua penyelesaian mula bercapah, baris itulah biasanya tempat pembelajaran sebenar berlaku.

Contoh kerja

Kerjakan ketiga-tiganya. Cuba setiap satu sepenuhnya sebelum membaca penyelesaiannya, dan perhatikan bagaimana satu tabiat, kecilkan masalah kepada sub-masalah yang biasa, kemudian selesaikannya dengan teliti, mengalir dalam persamaan kuadratik, pembuktian identiti dan soalan graf sudut gandaan.

Semasa anda membaca penyelesaian penuh, perhatikan di mana markah sebenarnya berada. Dalam persamaan, markah kaedah datang daripada pemfaktoran yang betul dan daripada meletakkan sudut asas dalam sukuan yang betul; dalam pembuktian, markah datang daripada algebra jujur menggabungkan pecahan dan menamakan identiti yang anda guna; dalam soalan graf, markah datang daripada menyatakan amplitud dan kala dengan betul serta daripada meluaskan julat sebelum anda menyenaraikan penyelesaian.

Jawapan akhir tanpa kaedah yang kelihatan memperoleh jauh lebih sedikit daripada kerja kemas yang menunjukkan setiap langkah ini. Jadi tulis setiap penggantian sebagai baris tersendiri, dan jangan padamkan sesuatu baris hanya kerana ia kelihatan panjang, dengan pemarkahan analitik, baris itulah yang selalunya sedang dimarkahi.

Q1[4 marks]

Selesaikan $2\sin^{2}x+\sin x-1=0$ untuk $0^{\circ}\le x\le 360^{\circ}$ .

Show worked solution

Persamaan ini ialah kuadratik dalam $\sin x$ . Tulis $s=\sin x$ supaya strukturnya jelas:

2s^{2}+s-1=0

Faktorkan kuadratik itu. Dua nombor yang mendarab kepada $2\times(-1)=-2$ dan menambah kepada $+1$ ialah $+2$ dan $-1$ , memberikan:

(2s-1)(s+1)=0

Jadi $s=\dfrac{1}{2}$ atau $s=-1$ ; iaitu, $\sin x=\dfrac{1}{2}$ atau $\sin x=-1$ . Selesaikan setiap satu berasingan.

Untuk $\sin x=\dfrac{1}{2}$ : sudut asas ialah $30^{\circ}$ , dan sinus positif dalam sukuan pertama dan kedua:

x=30^{\circ}\quad\text{atau}\quad x=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}

Untuk $\sin x=-1$ : sinus mencapai nilai terendahnya $-1$ sekali dalam satu pusingan, di dasar lengkung:

x=270^{\circ}

Jawapan

$x=30^{\circ},\ 150^{\circ},\ 270^{\circ}$ . Semak faktoran dengan mengembangkan: $(2s-1)(s+1)=2s^{2}+2s-s-1=2s^{2}+s-1$ , iaitu persamaan asal.

Kemudian $\sin 30^{\circ}=\sin 150^{\circ}=\tfrac{1}{2}$ dan $\sin 270^{\circ}=-1$ , jadi ketiga-tiga sudut memenuhi persamaan.

Q2[4 marks]

Buktikan bahawa $\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}+\dfrac{1+\cos\theta}{\sin\theta}=2\operatorname{cosec}\theta$ .

Show worked solution

Kerjakan sebelah kiri (LHS) dan gabungkan dua pecahan atas penyebut sepunya $\sin\theta(1+\cos\theta)$ :

\text{LHS}=\dfrac{\sin\theta\cdot\sin\theta+(1+\cos\theta)(1+\cos\theta)}{\sin\theta(1+\cos\theta)}=\dfrac{\sin^{2}\theta+(1+\cos\theta)^{2}}{\sin\theta(1+\cos\theta)}

Kembangkan kuasa dua dalam pengangka, kekalkan $(1+\cos\theta)^{2}=1+2\cos\theta+\cos^{2}\theta$ :

=\dfrac{\sin^{2}\theta+1+2\cos\theta+\cos^{2}\theta}{\sin\theta(1+\cos\theta)}

Kumpulkan $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta$ dan gantikannya dengan $1$ , menggunakan identiti Pythagoras:

Given in the exam

\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1

=\dfrac{1+1+2\cos\theta}{\sin\theta(1+\cos\theta)}=\dfrac{2+2\cos\theta}{\sin\theta(1+\cos\theta)}

Keluarkan faktor $2$ daripada pengangka, kemudian batalkan faktor sepunya $(1+\cos\theta)$ :

=\dfrac{2(1+\cos\theta)}{\sin\theta(1+\cos\theta)}=\dfrac{2}{\sin\theta}=2\operatorname{cosec}\theta=\text{RHS}

Jawapan

Oleh sebab sebelah kiri dipermudahkan tepat kepada $2\operatorname{cosec}\theta$ , identiti terbukti. Titik penting ialah menyedari bahawa $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta$ tersembunyi dalam pengangka yang dikembangkan; tanpa penggantian itu, pecahan tidak akan dipermudahkan.

Q3[5 marks]

Graf $y=2\sin 2x$ dilukis untuk $0^{\circ}\le x\le 360^{\circ}$ . (a) Nyatakan amplitud dan kalanya.

(b) Cari bilangan penyelesaian bagi persamaan $2\sin 2x=1$ dalam julat ini, dan selesaikannya.

Show worked solution

(a) Bandingkan dengan $y=a\sin bx+c$ : di sini $a=2$ , $b=2$ , $c=0$ . Amplitud ialah $|a|=2$ , dan kala ialah $\dfrac{360^{\circ}}{b}=180^{\circ}$ .

Oleh itu lengkung melengkapkan dua kitaran penuh antara $0^{\circ}$ dan $360^{\circ}$ .

(b) Bahagikan persamaan dengan $2$ untuk mengasingkan sinus:

2\sin 2x=1\ \Rightarrow\ \sin 2x=\dfrac{1}{2}

Sudut gandaan $2x$ ialah kuncinya. Apabila $x$ bergerak dari $0^{\circ}$ ke $360^{\circ}$ , sudut $2x$ bergerak dari $0^{\circ}$ ke $720^{\circ}$ , jadi cari setiap penyelesaian $\sin 2x=\dfrac{1}{2}$ dalam julat yang lebih luas itu.

Sudut asas ialah $30^{\circ}$ , dan sinus positif dalam sukuan pertama dan kedua, jadi dalam satu pusingan penyelesaiannya ialah $30^{\circ}$ dan $150^{\circ}$ ; tambah $360^{\circ}$ kepada setiap satu untuk pusingan kedua:

2x=30^{\circ},\ 150^{\circ},\ 390^{\circ},\ 510^{\circ}

Bahagikan setiap nilai dengan $2$ :

x=15^{\circ},\ 75^{\circ},\ 195^{\circ},\ 255^{\circ}

Jawapan

Amplitud $2$ , kala $180^{\circ}$ ; terdapat $4$ penyelesaian: $x=15^{\circ},\ 75^{\circ},\ 195^{\circ},\ 255^{\circ}$ . Semak yang terakhir: $2x=510^{\circ}$ , dan $\sin 510^{\circ}=\sin(510^{\circ}-360^{\circ})=\sin 150^{\circ}=\dfrac{1}{2}$ .

Bilangan ini sepadan dengan graf: dua kitaran, setiap satu memotong garis $y=1$ dua kali.

Q4[3 marks]

Diberi bahawa $\cos\theta=-\dfrac{4}{5}$ dan $180^{\circ}<\theta<270^{\circ}$ , cari nilai $\sin\theta$ dan $\tan\theta$ .

Show worked solution

Oleh sebab $180^{\circ}<\theta<270^{\circ}$ , $\theta$ terletak dalam sukuan ketiga, di mana sinus dan kosinus kedua-duanya negatif tetapi tangen positif. Gunakan identiti Pythagoras untuk mencari $\sin\theta$ dahulu.

\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta=1-\left(-\dfrac{4}{5}\right)^{2}=1-\dfrac{16}{25}=\dfrac{9}{25}

Ambil punca kuasa dua dan pilih tanda negatif, kerana sinus negatif dalam sukuan ketiga:

\sin\theta=-\dfrac{3}{5}\quad\text{jadi}\quad\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=\dfrac{3}{4}

Jawapan

$\sin\theta=-\dfrac{3}{5}$ dan $\tan\theta=\dfrac{3}{4}$ . Ini ialah segi tiga tepat 3–4–5 dalam sukuan ketiga, dan $\tan\theta$ yang positif sepadan dengan peraturan bahawa tangen positif apabila sinus dan kosinus mempunyai tanda yang sama.

Q5[4 marks]

Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai tepat $\sin 75^{\circ}$ , berikan jawapan dalam bentuk surd.

Show worked solution

Tuliskan $75^{\circ}$ sebagai hasil tambah dua sudut yang nisbah tepatnya diketahui, $45^{\circ}+30^{\circ}$ , dan gunakan formula tambahan sudut:

\sin 75^{\circ}=\sin(45^{\circ}+30^{\circ})=\sin 45^{\circ}\cos 30^{\circ}+\cos 45^{\circ}\sin 30^{\circ}

Gantikan nilai tepat $\sin45^{\circ}=\cos45^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\cos30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ dan $\sin30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$ :

\sin 75^{\circ}=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{6}}{4}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}

\sin 75^{\circ}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

Jawapan

$\sin 75^{\circ}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ . Sebagai semakan, $\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx\dfrac{2.449+1.414}{4}\approx0.966$ , sepadan dengan nilai $\sin75^{\circ}$ daripada kalkulator.

Q6[3 marks]

Diberi bahawa $\sin A=\dfrac{5}{13}$ dan $A$ tirus, cari nilai $\cos 2A$ .

Show worked solution

Oleh sebab $\sin A$ sudah diketahui, gunakan formula sudut berganda yang ditulis dalam sebutan sinus sahaja, supaya tidak perlu mencari $\cos A$ dahulu:

\cos 2A=1-2\sin^{2}A

Gantikan $\sin A=\dfrac{5}{13}$ :

\cos 2A=1-2\left(\dfrac{5}{13}\right)^{2}=1-2\left(\dfrac{25}{169}\right)=1-\dfrac{50}{169}=\dfrac{119}{169}

Jawapan

$\cos 2A=\dfrac{119}{169}$ . Oleh sebab $\sin A\approx0.385$ , $A\approx22.6^{\circ}$ , maka $2A\approx45.2^{\circ}$ ; $\cos45^{\circ}\approx0.707$ hampir dengan $\dfrac{119}{169}\approx0.704$ , mengesahkan jawapan ini munasabah.

Q7[4 marks]

Selesaikan $\sqrt{3}\sin x=\cos x$ untuk $0^{\circ}\le x\le 360^{\circ}$ .

Show worked solution

Sinus dan kosinus kedua-duanya berkuasa satu sahaja, dan $\cos x\ne0$ pada mana-mana penyelesaian di sini, jadi bahagikan setiap sebutan dengan $\cos x$ untuk mengurangkan persamaan kepada satu nisbah:

\sqrt{3}\sin x=\cos x\ \Rightarrow\ \sqrt{3}\tan x=1\ \Rightarrow\ \tan x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}

Sudut asas ialah $30^{\circ}$ . Tangen positif dalam sukuan pertama dan ketiga, jadi:

x=30^{\circ}\quad\text{atau}\quad x=180^{\circ}+30^{\circ}=210^{\circ}

Jawapan

$x=30^{\circ},\ 210^{\circ}$ . Semak $x=210^{\circ}$ : $\sqrt{3}\sin210^{\circ}=\sqrt{3}\left(-\tfrac{1}{2}\right)\approx-0.866$ dan $\cos210^{\circ}\approx-0.866$ , jadi kedua-dua belah sepadan.

Q8[3 marks]

Graf $y=3\cos x+2$ dilukis untuk $0^{\circ}\le x\le 360^{\circ}$ . Nyatakan nilai maksimum dan minimum $y$ , berserta nilai $x$ yang sepadan.

Show worked solution

Bandingkan dengan $y=a\cos x+c$ : di sini $a=3$ dan $c=2$ . Oleh sebab $\cos x$ sendiri hanya berjulat daripada $-1$ hingga $1$ , anjakan menegak $c$ hanya menggerakkan keseluruhan julat itu ke atas atau ke bawah.

Maksimum berlaku apabila $\cos x=1$ , dan minimum apabila $\cos x=-1$ :

y_{\max}=3(1)+2=5\ \text{pada}\ \cos x=1\ \Rightarrow\ x=0^{\circ},\ 360^{\circ}

y_{\min}=3(-1)+2=-1\ \text{pada}\ \cos x=-1\ \Rightarrow\ x=180^{\circ}

Jawapan

Maksimum $y=5$ pada $x=0^{\circ}$ dan $x=360^{\circ}$ ; minimum $y=-1$ pada $x=180^{\circ}$ . Lengkung berayun secara simetri di sekitar garis tengah $y=2$ , sepadan dengan anjakan menegak $c=2$ .

Merentasi ketiga-tiganya, gerak menang adalah sama: bentuk semula masalah kepada sesuatu yang anda sudah tahu cara menyelesaikannya. Persamaan trigonometri menjadi kuadratik; pecahan yang degil menjadi satu sebutan setelah identiti digunakan; persamaan sudut gandaan menjadi persamaan biasa setelah anda meluaskan julat dan bahagikan semula.

Lakukan pembentukan semula dalam baris yang jelas dan markah akan menyusul. Berbaloi juga menyemak bilangan jawapan anda terhadap bentuk masalah: kuadratik dalam nisbah trigonometri memberi sehingga dua nilai nisbah, dan setiap nilai yang terletak betul-betul antara had sinus atau kosinus menyumbang dua sudut setiap pusingan, jadi satu persamaan julat penuh selalunya mempunyai tiga atau empat penyelesaian dan bukan satu.

Apabila senarai anda lebih pendek daripada itu, cari dahulu penyelesaian yang mungkin terlepas berhampiran hujung julat.

Poin kaedah utama

Tiga contoh ini melatih kemahiran tengah-kertas yang membezakan pemarkah yang mantap daripada yang goyah. Ingat poin berikut semasa anda berlatih lebih banyak.

Apabila persamaan mengandungi $\sin^{2}x$ atau $\cos^{2}x$ dan kuasa pertama yang sepadan, anggapkannya sebagai kuadratik, gantikan $s$ , faktorkan, kemudian selesaikan setiap persamaan mudah dalam julat.
Untuk membukti identiti, kerjakan satu sebelah sahaja, letakkan pecahan atas penyebut sepunya, kembangkan sepenuhnya, dan cari $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta$ untuk digantikan dengan $1$ .
Bagi sudut gandaan seperti $2x$ , luaskan julat dahulu (di sini kepada $0^{\circ}$ – $720^{\circ}$ ), cari semua penyelesaian di situ, kemudian bahagikan semula dengan pengganda.
Membaca amplitud $|a|$ dan kala $\dfrac{360^{\circ}}{b}$ memberitahu berapa banyak kitaran memenuhi julat, iaitu juga bilangan kali sesuatu garis mengufuk boleh memotong lengkung.
Nilai $-1$ atau $+1$ bagi sinus atau kosinus memberi tepat satu penyelesaian setiap pusingan; nilai antara memberi dua setiap pusingan.
Kekalkan setiap baris penggantian dan pemfaktoran, dengan pemarkahan analitik, satu baris kaedah yang jelas masih memperoleh markah kaedah walaupun digit akhir tergelincir.

Bagaimana guru membantu

Kehilangan markah tengah-kertas yang paling biasa di sini adalah yang senyap: terlupa meluaskan julat bagi persamaan $2x$ , lalu separuh jawapan lenyap; atau memburu jalan pintas dalam pembuktian dan bukannya menggabungkan pecahan serta mempercayai identiti. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami mengesan penyelesaian yang hilang atau pembuktian yang tersekat dengan segera dan menunjukkan laluan yang boleh dipercayai, supaya tabiat terbentuk dengan betul dan bukan secara nasib.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda mendapat seseorang yang menerangkan mengapa julat menjadi dua kali ganda, bukan sekadar langkah. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi tatatanda kelihatan sama dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Mengapa julat menjadi

0^{\circ}

hingga

720^{\circ}

bagi

\sin 2x

Anda menyelesaikan bagi sudut $2x$ , bukan $x$ . Jika $x$ berjulat $0^{\circ}$ hingga $360^{\circ}$ , maka $2x$ berjulat dua kali ganda, $0^{\circ}$ hingga $720^{\circ}$ .

Cari setiap $2x$ dalam julat lebih luas, kemudian bahagikan dengan $2$ . Melangkau langkah ini ialah sebab biasa jawapan hilang.

Bagaimana saya tahu persamaan trigonometri boleh dianggap kuadratik?

Cari nisbah berkuasa dua dan kuasa pertamanya dalam persamaan yang sama, seperti $2\sin^{2}x+\sin x-1=0$ . Gantikan satu huruf bagi nisbah itu, faktorkan atau guna rumus kuadratik, kemudian terjemah setiap punca kembali dan selesaikan bagi sudut dalam julat.

Semasa membukti identiti, sebelah mana patut saya mulakan?

Mulakan dari sebelah yang lebih rumit, biasanya yang bersama pecahan atau kuasa lebih tinggi, dan permudahkannya ke arah sebelah lagi satu. Gabungkan pecahan atas penyebut sepunya, kembangkan, dan guna $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ .

Jangan pindahkan sebutan merentasi tanda sama seperti menyelesaikan persamaan.

Berapa kali garis boleh memotong

y=2\sin 2x

antara

0^{\circ}

dan

360^{\circ}

Kalanya $180^{\circ}$ , jadi dua kitaran penuh memenuhi julat. Garis mengufuk pada ketinggian dalam amplitud, seperti $y=1$ , memotong setiap kitaran dua kali, memberi empat persilangan, sepadan dengan empat penyelesaian $2\sin 2x=1$ .

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Fungsi Trigonometri, Contoh Kerja (sederhana)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?