三角函数，SPM 高级数学（中五）

在更早的年级里，三角学住在直角三角形里面：$\sin$、$\cos$ 与 $\tan$ 是边的比，而每一个角都落在 $0^{\circ}$ 到 $90^{\circ}$ 之间。三角函数把这同样的三个比解放出来。

把角放在笛卡儿平面的中心，本章为任意角定义每一个比，钝角、优角、负角，或超过一整圈的角，于是三角学不再只是一件处理三角形的工具，而成为一族拥有自己图形、规律与恒等式的函数。

在 SPM 高级数学里，这是中五的第六章，属于本课程的三角学部分。它包含六项直接取自 KSSM DSKP 的内容标准：正角与负角、任意角的三角比、正弦余弦与正切函数的图形、基本恒等式、和角与倍角公式，最后是三角函数的应用。

每一项标准加上一层，到最后你能在图、图形、恒等式与方程之间流畅地来回移动。

有一个特点让本章与众不同、也令人安心。它多数的招牌公式，毕氏恒等式、$\sin(A\pm B)$、$\cos(A\pm B)$ 与 $\tan(A\pm B)$ 的和角公式，以及倍角公式，都为你印在 SPM 考试所提供的公式表里。

所以这里的挑战很少在于记忆；而在于知道该伸手取哪一条公式，以及如何把它引向答案。你真正要记在脑里的东西比较少：倒数的定义、每个比在每个象限里的正负号，以及每种图形的形状。

本章有两个自然的部分。前半讲数值与形状：在平面上定义各比、用 CAST 的想法定下正负号，并画出 $y=a\sin bx+c$ 及其同类，好让你能从一幅图里读出振幅、周期与解的个数。

后半讲变形：证明恒等式、运用和角与倍角公式，并在给定范围内解三角方程。我们的老师把本章看作一座桥，它奖赏你早先养成的整洁，也为你在微积分章节里遇到的三角函数求导与积分做好准备。

由于三角函数会在微分、积分甚至直线运动学里再度出现，在这里投入的时间，其回报远超过一组考题。一个能在给定范围内找出 $2\sin x=1$ 每一个解、或把 $\cos 2x$ 用三种不同形式重写的学生，会带着一份从容的优势走进中五其余的部分。

三角函数分为六项内容标准。以下的编码与标题直接来自 DSKP，认得它们有助于你准确看出每一道题目在考哪一项技巧。

这六项标准按刻意安排的顺序层层递进。标准 6.1 与 6.2 定下各比对任意角的含义；6.3 把它们变成图；6.4 与 6.5 给你恒等式与复角的代数；而 6.6 要你把这一切用在方程与问题里。

如果 6.2 的正负号还不稳，图形草绘与解方程都会继承那个错误，所以在往下走之前，先让象限正负号变得不假思索。

角可以是正的或负的，还能转不止一圈。从正 $x$ 轴量起，逆时针转是正角，顺时针转是负角。

像 $430^{\circ}$ 这样的角是一整圈再加 $70^{\circ}$，而 $-40^{\circ}$ 落在与 $320^{\circ}$ 相同的位置。终边停在哪里，落在哪个象限，就决定了每个比的正负号。

在平面上，各比由坐标来定义。取终边上一点 $(x,y)$，它到原点的距离为 $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$。

那么 $\sin\theta=\frac{y}{r}$、$\cos\theta=\frac{x}{r}$、$\tan\theta=\frac{y}{x}$。因为 $x$ 与 $y$ 可以为负而 $r$ 永远为正，这一个定义就把各比推广到每一个角，并干净地解释了为什么某个比在有些象限为正、在另一些象限为负。

三个倒数比只是翻转。余割、正割、余切分别是正弦、余弦、正切的倒数。

这些定义不印在考卷上，所以你必须记住，而且不妨留意那组交错的配对，余割配正弦，正割配余弦。

$$\operatorname{cosec}\theta=\dfrac{1}{\sin\theta},\qquad \sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta},\qquad \cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$$

CAST 法则定下每个象限里的正负号。从第四象限绕回第一象限来读：第四象限只有 Cosine（余弦）为正，第一象限 All（全部比）为正，第二象限 Sine（正弦）为正，第三象限 Tangent（正切）为正。

要算任意角，先求它到 $x$ 轴的锐参考角，取那个参考角的比值，再按象限所要求的正负号加上去。

少数几个特殊角，其精确值值得记住。$30^{\circ}$、$45^{\circ}$ 与 $60^{\circ}$ 的比值出现得如此频繁，认得它们能省时间、也免去舍入。

配合 CAST 法则，这些精确值让你能写出其他象限里任何相关角的比值，比如参考角为 $60^{\circ}$ 的角，而完全不必去碰计算器。负角也遵循一份整齐的对称：把角对水平轴作反射，余弦不变，正弦与正切则反号，所以 $\cos(-\theta)=\cos\theta$，而 $\sin(-\theta)$ 与 $\tan(-\theta)$ 只是换个正负号。

每种图形都有振幅、周期与竖直平移。对 $y=a\sin bx+c$ 与 $y=a\cos bx+c$，振幅是 $|a|$，常数 $c$ 把曲线上下平移，而 $b$ 把波压紧，使同样的宽度里塞进更多周期。

周期，一个完整循环的宽度，由 $b$ 决定。正切没有振幅，重复的频率是正弦、余弦的两倍。

$$\text{周期：} \dfrac{360^{\circ}}{b}\ (\sin,\ \cos), \qquad \dfrac{180^{\circ}}{b}\ (\tan)$$

在信任一幅图之前，先把它的关键特征读出来。一张好的草图会显示曲线在哪里与坐标轴相交、在哪里到达最高与最低点，以及，对正切而言，在哪里因函数无定义而冲向无穷。

对 $y=a\sin bx+c$，最大值是 $c+|a|$，最小值是 $c-|a|$，于是整条波都落在以直线 $y=c$ 为中心、高度为 $2|a|$ 的带子里。先标出这些高度，能让形状保持诚实，也让之后数解的个数更可靠。

草绘把方程变成一道数数的题。要知道像 $a\sin bx+c=k$ 这样的方程在某范围内有几个解，就在同一组坐标轴上草绘三角曲线与直线 $y=k$，数它们的交点。

这个图解法正是标准 6.3.2 所要求的，而且比乱猜安全得多。

三条基本恒等式是每一次证明的引擎。从 $\sin^{2}A+\cos^{2}A=1$ 出发，两边同除以 $\cos^{2}A$ 或 $\sin^{2}A$，就得到另外两条。

三条都在考卷上提供，所以证明恒等式是在选对那一条，而不是把它背出来。

$$\sin^{2}A+\cos^{2}A=1$$

$$1+\tan^{2}A=\sec^{2}A \qquad 1+\cot^{2}A=\operatorname{cosec}^{2}A$$

证明恒等式有一套可靠的策略。从较复杂的一边出发，稳稳地朝较简单的一边走，而不是同时摆弄两边。

把一切改写成正弦与余弦往往能打开思路，而通分常会露出一条可以直接代入的毕氏恒等式。当两边终于相等，就明白写出来，分数奖赏的是一条整洁、单向的推演，而不是在中间会合的乱凑。

和角公式把两个角合成一个表达式。它们让你展开 $\sin(A\pm B)$、$\cos(A\pm B)$ 与 $\tan(A\pm B)$，也是倍角结果的来源。

注意正负号会翻转：余弦把中间的号反过来，所以 $\cos(A+B)$ 用的是减号。三条都在考卷上提供。

$$\sin(A\pm B)=\sin A\cos B\pm\cos A\sin B$$

$$\cos(A\pm B)=\cos A\cos B\mp\sin A\sin B$$

$$\tan(A\pm B)=\dfrac{\tan A\pm\tan B}{1\mp\tan A\tan B}$$

倍角公式就是取 $B=A$ 的和角公式。把两个角取成相等，就得到 $\sin 2A$、$\cos 2A$ 与 $\tan 2A$；余弦那条有三个等价形式，选出与目标相配的那个是一项真正的考试技巧，例如当式子里只出现正弦时，$\cos 2A=1-2\sin^{2}A$ 正是你要的。

这些也都在考卷上提供。

$$\sin 2A=2\sin A\cos A \qquad \tan 2A=\dfrac{2\tan A}{1-\tan^{2}A}$$

$$\cos 2A=\cos^{2}A-\sin^{2}A=2\cos^{2}A-1=1-2\sin^{2}A$$

解方程意味着在范围内找出每一个解。把方程化到只剩一个比，从正值求出基本（参考）角，再用 CAST 把答案放进正负号所允许的每一个象限，按需要加或减 $360^{\circ}$（正切则为 $180^{\circ}$），直到把整个给定范围填满。

题目里的范围，例如 $0^{\circ}\le x\le 360^{\circ}$，是关于要给出几个答案的指示，而不是可以略过的细节。

三角函数在两份笔试里都可能出现。试卷一（3472/1）历时 2小时，共 80分：A 组有 12题、64分，全部作答；B 组有 3题、16分，从中作答 2题。

试卷二（3472/2）历时 2小时30分钟，共 100分，分布于 A 组（7题、50分、全部作答）、B 组（4题、30分、作答3题）与 C 组（4题、20分、作答2题）。

两份试卷的题目都是有限作答主观题与结构式题目，采用分析式评分，作答时使用不可编程的科学计算器。本章很适合较长的结构式题目，因为一道题干可以串起好几个部分，先证一条恒等式，再用它化简，接着在某范围内解出所得的方程，分数一步一步累积。

草绘题与恒等式证明与较长的题组天然契合。我们不预测任何单一章节占多少分，因为这会逐年变化。

由于采用分析式评分，即使最后的数值略有偏差，你的方法仍能得分，所以务必写出你从哪条恒等式或公式出发、每一行的变形，以及在列出解之前所用的参考角。我们的课程以英语授课，而 SPM 试卷以马来文与英文双语命题，所以你会在两种语言里遇到关键术语，恒等式、振幅、周期、象限，无论题目怎么措辞，你都能认出它要什么。

三角函数里丢掉的分数，多数来自少数几个反复出现的习惯，而每一个一旦你能叫出它的名字就容易改正。每次做练习前先读一读，直到避开它们成为本能。

• 范围里明明有多个解，却只给一个。像 $\sin x=0.5$ 这样的方程在 $0^{\circ}\le x\le 360^{\circ}$ 里有两个答案，而不是一个。先求基本角，再用 CAST 把解放进每一个正负号相符的象限，然后才停。
• 计算器处于错误模式。若范围用度，计算器却在弧度模式（或相反），每一个值都会算错。一开始就把模式与范围对齐，并看一眼屏幕上的指示符来确认。
• 记错象限正负号。余弦在第二象限为负，正切在第三象限为正，把 CAST 记反就会把答案的正负号弄反。在草稿边上画出 CAST 图，别在压力下只靠记忆。
• 用 $\sin x$ 或 $\cos x$ 去除方程。约掉一个三角因式，会丢掉使那个因式为零的解。应把所有项移到一边并分解因式，再让每个因式等于零去解。
• 在 $\cos(A+B)$ 上弄错符号。余弦的和角公式把中间的号反过来：$\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$。在那里写成加号是最常见的证明错误之一，请仔细从公式表抄下 $\mp$。
• 直接把 $b$ 当成图形的周期。在 $y=a\sin bx+c$ 里，周期是 $\frac{360^{\circ}}{b}$，而不是 $b$ 本身，振幅是 $|a|$，而不是 $a+c$。草绘前先把振幅、周期与平移分别标出来。

这些没有一个是关于天分，每一个都只是一个你能在练习中逐一勾掉的小习惯。在本章里考得好的学生，不过是仔细的那些人：模式与范围对齐、CAST 画出来、因式保留而非约掉、范围一直填到尽头。

把每一次失误当作反馈，而不是失败，你的准确度就会很快提升。

三角函数奖赏稳定的例程，先定正负号，再学形状，然后练代数。做完下面的步骤，再用随后的资源来温习与自测。

让你的学习时段短而频繁，而不是一次长时间硬撑。解锁其余一切的两项技巧，把角放进正确的象限、在范围内找出每一个解，都靠重复来养成，所以每天做几道混合题，胜过偶尔一次的马拉松。

当正负号与图形变得不假思索，就进到恒等式证明与方程；若还没有，就放慢脚步，把 CAST 图练到能瞬间画出为止。

1. 1

   让象限正负号变自动

   反复练 CAST 法则与参考角，直到你能毫不犹豫地说出 $\sin$、$\cos$、$\tan$ 在任一象限的正负号，并能一眼算出任意角的比值。

2. 2

   学会三种图形的形状

   从振幅、周期与平移画出 $y=a\sin bx+c$、$y=a\cos bx+c$ 与 $y=a\tan bx+c$，再加上直线 $y=k$ 来读出解的个数。

3. 3

   练恒等式证明

   证明恒等式时一次只处理一边，先伸手取 $\sin^{2}A+\cos^{2}A=1$ 及它的两个伙伴，之后才用和角与倍角公式。

4. 4

   掌握复角公式

   用和角公式展开，并流畅地重写 $\sin 2A$、$\cos 2A$ 与 $\tan 2A$，选出与题目已有内容相配的那个余弦形式。

5. 5

   在限时下解范围内的方程

   化到一个比，求基本角，用 CAST 列出给定范围内的每一个解，然后在计时下尝试完整的试卷二式题目，做完再对照解题示范来收紧方法。

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