三角函数，例题（KBAT）

用正弦的和角公式展开目标形式：

$$\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$$

于是 $R\sin(x+\alpha)=R\sin x\cos\alpha+R\cos x\sin\alpha$。把 $\sin x$ 与 $\cos x$ 的系数与 $3\sin x+4\cos x$ 对上：

$$R\cos\alpha=3,\qquad R\sin\alpha=4$$

把两式平方相加；由于 $\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=1$，右边收拢：

$$R^{2}\cos^{2}\alpha+R^{2}\sin^{2}\alpha=3^{2}+4^{2}\ \Rightarrow\ R^{2}=25\ \Rightarrow\ R=5$$

把两式相除以消去 $R$，求出 $\alpha$：

$$\dfrac{R\sin\alpha}{R\cos\alpha}=\tan\alpha=\dfrac{4}{3}\ \Rightarrow\ \alpha=53.13^{\circ}$$

$R\cos\alpha$ 与 $R\sin\alpha$ 都为正，所以 $\alpha$ 在第一象限，与 $0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}$ 一致。因此该式为：

$$3\sin x+4\cos x=5\sin(x+53.13^{\circ})$$

现在用它来解方程。替换左边，孤立正弦：

$$5\sin(x+53.13^{\circ})=2.5\ \Rightarrow\ \sin(x+53.13^{\circ})=0.5$$

令 $u=x+53.13^{\circ}$。当 $x$ 从 $0^{\circ}$ 走到 $360^{\circ}$，$u$ 从 $53.13^{\circ}$ 走到 $413.13^{\circ}$。

在该区间内解 $\sin u=0.5$；基本角是 $30^{\circ}$，正弦在第一、第二象限为正，给出候选 $30^{\circ},\ 150^{\circ},\ 390^{\circ}$。只保留落在 $[53.13^{\circ},413.13^{\circ}]$ 内的：

$$u=150^{\circ}\quad\text{或}\quad u=390^{\circ}$$

候选 $u=30^{\circ}$ 低于 $53.13^{\circ}$，舍去。从每个保留值减去 $53.13^{\circ}$ 以还原 $x$：

$$x=150^{\circ}-53.13^{\circ}=96.87^{\circ}\quad\text{或}\quad x=390^{\circ}-53.13^{\circ}=336.87^{\circ}$$

两项用的角不同，$2x$ 与 $x$，所以还不能合并。用只含正弦写出的倍角形式重写 $\cos 2x$，让整个方程都用 $\sin x$：

$$\cos 2A=1-2\sin^{2}A$$

把 $\cos 2x=1-2\sin^{2}x$ 代入方程：

$$1-2\sin^{2}x+\sin x=0$$

整体乘以 $-1$，整理成关于 $\sin x$ 的二次式：

$$2\sin^{2}x-\sin x-1=0$$

令 $s=\sin x$ 因式分解：

$$(2s+1)(s-1)=0\ \Rightarrow\ \sin x=-\dfrac{1}{2}\ \text{或}\ \sin x=1$$

对 $\sin x=-\dfrac{1}{2}$：基本角是 $30^{\circ}$，正弦在第三、第四象限为负：

$$x=180^{\circ}+30^{\circ}=210^{\circ}\quad\text{或}\quad x=360^{\circ}-30^{\circ}=330^{\circ}$$

对 $\sin x=1$：正弦在一整圈内只有一次取到最大值：

$$x=90^{\circ}$$

（a）把每个倍角都换成公式。分子用 $\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$；分母选那个能让 $1+\cos 2\theta$ 收拢成一个平方的 $\cos 2\theta$ 版本：

$$\sin 2A=2\sin A\cos A$$

$$\cos 2A=2\cos^{2}A-1$$

有了这个选择，$1+\cos 2\theta=1+(2\cos^{2}\theta-1)=2\cos^{2}\theta$。把两个结果代入左边：

$$\text{LHS}=\dfrac{2\sin\theta\cos\theta}{2\cos^{2}\theta}$$

约去公因式 $2\cos\theta$：

$$=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta=\text{RHS}$$

（b）令 $\theta=15^{\circ}$，则 $2\theta=30^{\circ}$。右边成为 $\tan 15^{\circ}$，左边用精确值 $\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$ 与 $\cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$：

$$\tan 15^{\circ}=\dfrac{\sin 30^{\circ}}{1+\cos 30^{\circ}}=\dfrac{\tfrac{1}{2}}{1+\tfrac{\sqrt{3}}{2}}$$

把分母写成一个分数 $\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}$，再作分数相除：

$$=\dfrac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{2+\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}$$

用共轭 $2-\sqrt{3}$ 乘上下进行有理化：

$$=\dfrac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}$$

先判断每个角所在的象限。$A$ 是钝角，所以 $\cos A$ 为负；$B$ 是锐角，所以 $\sin B$ 为正。

用 $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ 求出缺少的比值。

$$\cos A=-\sqrt{1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}}=-\dfrac{4}{5}\qquad \sin B=\sqrt{1-\left(\dfrac{12}{13}\right)^{2}}=\dfrac{5}{13}$$

(a) 用和角公式展开 $\cos(A+B)$，代入四个比值：

$$\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$$

$$=\left(-\dfrac{4}{5}\right)\left(\dfrac{12}{13}\right)-\left(\dfrac{3}{5}\right)\left(\dfrac{5}{13}\right)=-\dfrac{48}{65}-\dfrac{15}{65}=-\dfrac{63}{65}$$

(b) 求 $\tan(A-B)$ 之前，先把两个比值换成正切：

$$\tan A=\dfrac{3/5}{-4/5}=-\dfrac{3}{4}\qquad \tan B=\dfrac{5/13}{12/13}=\dfrac{5}{12}$$

代入正切的差角公式：

$$\tan(A-B)=\dfrac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}=\dfrac{-\tfrac{3}{4}-\tfrac{5}{12}}{1+\left(-\tfrac{3}{4}\right)\left(\tfrac{5}{12}\right)}=\dfrac{-\tfrac{7}{6}}{\tfrac{11}{16}}=-\dfrac{56}{33}$$

两项都应改写成只含 $\tan x$ 的形式。用联系 $\sec^{2}x$ 与 $\tan x$ 的恒等式替换：

$$1+\tan^{2}x=\sec^{2}x$$

把 $\sec^{2}x=1+\tan^{2}x$ 代入方程：

$$2(1+\tan^{2}x)-\tan x=8$$

展开并整理成关于 $\tan x$ 的二次方程：

$$2\tan^{2}x-\tan x-6=0$$

令 $t=\tan x$，用求根公式求解：

$$t=\dfrac{1\pm\sqrt{1+48}}{4}=\dfrac{1\pm7}{4}\ \Rightarrow\ \tan x=2\ \text{或}\ \tan x=-1.5$$

当 $\tan x=2$（为正，第一、第三象限）：基本角为 $63.43^{\circ}$：

$$x=63.43^{\circ}\quad\text{或}\quad x=180^{\circ}+63.43^{\circ}=243.43^{\circ}$$

当 $\tan x=-1.5$（为负，第二、第四象限）：基本角为 $56.31^{\circ}$：

$$x=180^{\circ}-56.31^{\circ}=123.69^{\circ}\quad\text{或}\quad x=360^{\circ}-56.31^{\circ}=303.69^{\circ}$$

(a) 把 $75^{\circ}$ 写成两个精确比值已知的角之和：

$$75^{\circ}=45^{\circ}+30^{\circ}$$

用正弦的和角公式展开，代入精确值 $\sin45^{\circ}=\cos45^{\circ}=\dfrac{\sqrt2}{2}$、$\sin30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$、$\cos30^{\circ}=\dfrac{\sqrt3}{2}$：

$$\sin75^{\circ}=\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}+\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{1}{2}$$

$$=\dfrac{\sqrt6}{4}+\dfrac{\sqrt2}{4}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$$

(b) $165^{\circ}=180^{\circ}-15^{\circ}$，用第二象限的对称关系 $\cos(180^{\circ}-\theta)=-\cos\theta$：

$$\cos165^{\circ}=\cos(180^{\circ}-15^{\circ})=-\cos15^{\circ}$$

再用余角关系 $\cos(90^{\circ}-\theta)=\sin\theta$ 把 $\cos15^{\circ}$ 与 (a) 的结果联系起来：

$$\cos15^{\circ}=\cos(90^{\circ}-75^{\circ})=\sin75^{\circ}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$$

$$\therefore\ \cos165^{\circ}=-\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$$

(a) 把余弦的倍角公式用在半角 $\dfrac{\theta}{2}$ 上，使得 $2\times\dfrac{\theta}{2}=\theta$：

$$\cos\theta=1-2\sin^{2}\dfrac{\theta}{2}$$

代入 $\cos\theta=\dfrac{7}{25}$，整理求出 $\sin^{2}\dfrac{\theta}{2}$：

$$\dfrac{7}{25}=1-2\sin^{2}\dfrac{\theta}{2}\ \Rightarrow\ \sin^{2}\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{7}{25}\right)=\dfrac{9}{25}$$

由于 $0^{\circ}<\theta<90^{\circ}$，半角 $\dfrac{\theta}{2}$ 介于 $0^{\circ}$ 与 $45^{\circ}$ 之间，属第一象限，故其正弦为正：

$$\sin\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{3}{5}$$

(b) 用毕氏恒等式求 $\cos\dfrac{\theta}{2}$，同样取正根：

$$\cos\dfrac{\theta}{2}=\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=\dfrac{4}{5}$$

相除求出正切：

$$\tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sin\tfrac{\theta}{2}}{\cos\tfrac{\theta}{2}}=\dfrac{3/5}{4/5}=\dfrac{3}{4}$$

(a) 把左边两个分式通分合并：

$$\dfrac{1}{1-\sin\theta}+\dfrac{1}{1+\sin\theta}=\dfrac{(1+\sin\theta)+(1-\sin\theta)}{(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)}$$

分子化简为 $2$，分母是平方差：

$$=\dfrac{2}{1-\sin^{2}\theta}$$

用毕氏恒等式把 $1-\sin^{2}\theta$ 换成 $\cos^{2}\theta$，再改写成正割：

$$=\dfrac{2}{\cos^{2}\theta}=2\sec^{2}\theta=\text{RHS}$$

(b) 新方程左边正是刚证明的式子，用 $2\sec^{2}\theta$ 替换，再解出 $\cos\theta$：

$$2\sec^{2}\theta=8\ \Rightarrow\ \sec^{2}\theta=4\ \Rightarrow\ \cos^{2}\theta=\dfrac{1}{4}\ \Rightarrow\ \cos\theta=\pm\dfrac{1}{2}$$

对 $\cos\theta=\dfrac{1}{2}$（第一、第四象限）和 $\cos\theta=-\dfrac{1}{2}$（第二、第三象限），基本角在每种情况都是 $60^{\circ}$：

$$\theta=60^{\circ},\ 120^{\circ},\ 240^{\circ},\ 300^{\circ}$$