Fungsi Trigonometri, Contoh Kerja (KBAT)

Kembangkan bentuk sasaran dengan rumus sudut majmuk bagi sinus:

$$\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$$

Jadi $R\sin(x+\alpha)=R\sin x\cos\alpha+R\cos x\sin\alpha$. Padankan pekali $\sin x$ dan $\cos x$ terhadap $3\sin x+4\cos x$:

$$R\cos\alpha=3,\qquad R\sin\alpha=4$$

Kuasa duakan dan tambah dua persamaan itu; sebelah kanan mengecut kerana $\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=1$:

$$R^{2}\cos^{2}\alpha+R^{2}\sin^{2}\alpha=3^{2}+4^{2}\ \Rightarrow\ R^{2}=25\ \Rightarrow\ R=5$$

Bahagikan dua persamaan itu untuk membuang $R$ dan mencari $\alpha$:

$$\dfrac{R\sin\alpha}{R\cos\alpha}=\tan\alpha=\dfrac{4}{3}\ \Rightarrow\ \alpha=53.13^{\circ}$$

Kedua-dua $R\cos\alpha$ dan $R\sin\alpha$ positif, jadi $\alpha$ berada dalam sukuan pertama, konsisten dengan $0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}$. Oleh itu ungkapannya ialah:

$$3\sin x+4\cos x=5\sin(x+53.13^{\circ})$$

Sekarang gunakannya untuk menyelesaikan persamaan. Gantikan sebelah kiri dan asingkan sinus:

$$5\sin(x+53.13^{\circ})=2.5\ \Rightarrow\ \sin(x+53.13^{\circ})=0.5$$

Biarkan $u=x+53.13^{\circ}$. Apabila $x$ bergerak dari $0^{\circ}$ ke $360^{\circ}$, $u$ bergerak dari $53.13^{\circ}$ ke $413.13^{\circ}$.

Selesaikan $\sin u=0.5$ dalam julat itu; sudut asas ialah $30^{\circ}$ dan sinus positif dalam sukuan pertama dan kedua, memberi calon $30^{\circ},\ 150^{\circ},\ 390^{\circ}$. Simpan hanya yang berada dalam $[53.13^{\circ},413.13^{\circ}]$:

$$u=150^{\circ}\quad\text{atau}\quad u=390^{\circ}$$

Calon $u=30^{\circ}$ berada di bawah $53.13^{\circ}$, jadi ia dibuang. Tolak $53.13^{\circ}$ daripada setiap nilai yang tinggal untuk mendapatkan semula $x$:

$$x=150^{\circ}-53.13^{\circ}=96.87^{\circ}\quad\text{atau}\quad x=390^{\circ}-53.13^{\circ}=336.87^{\circ}$$

Dua sebutan menggunakan sudut berbeza, $2x$ dan $x$, jadi ia belum boleh digabungkan. Tulis semula $\cos 2x$ menggunakan bentuk sudut berganda yang ditulis semata-mata dalam sinus, supaya seluruh persamaan dalam $\sin x$:

$$\cos 2A=1-2\sin^{2}A$$

Gantikan $\cos 2x=1-2\sin^{2}x$ ke dalam persamaan:

$$1-2\sin^{2}x+\sin x=0$$

Darab keseluruhannya dengan $-1$ dan susun sebagai kuadratik dalam $\sin x$:

$$2\sin^{2}x-\sin x-1=0$$

Faktorkan dengan $s=\sin x$:

$$(2s+1)(s-1)=0\ \Rightarrow\ \sin x=-\dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ \sin x=1$$

Untuk $\sin x=-\dfrac{1}{2}$: sudut asas ialah $30^{\circ}$, dan sinus negatif dalam sukuan ketiga dan keempat:

$$x=180^{\circ}+30^{\circ}=210^{\circ}\quad\text{atau}\quad x=360^{\circ}-30^{\circ}=330^{\circ}$$

Untuk $\sin x=1$: sinus mencapai nilai terbesarnya sekali dalam satu pusingan penuh:

$$x=90^{\circ}$$

(a) Gantikan setiap sudut berganda dengan rumus. Bagi pengangka guna $\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$; bagi penyebut pilih versi $\cos 2\theta$ yang menjadikan $1+\cos 2\theta$ mengecut kepada satu kuasa dua:

$$\sin 2A=2\sin A\cos A$$

$$\cos 2A=2\cos^{2}A-1$$

Dengan pilihan itu, $1+\cos 2\theta=1+(2\cos^{2}\theta-1)=2\cos^{2}\theta$. Gantikan kedua-dua keputusan ke dalam sebelah kiri:

$$\text{LHS}=\dfrac{2\sin\theta\cos\theta}{2\cos^{2}\theta}$$

Batalkan faktor sepunya $2\cos\theta$:

$$=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta=\text{RHS}$$

(b) Letakkan $\theta=15^{\circ}$, jadi $2\theta=30^{\circ}$. Sebelah kanan menjadi $\tan 15^{\circ}$, dan sebelah kiri menggunakan nilai tepat $\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$ dan $\cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$:

$$\tan 15^{\circ}=\dfrac{\sin 30^{\circ}}{1+\cos 30^{\circ}}=\dfrac{\tfrac{1}{2}}{1+\tfrac{\sqrt{3}}{2}}$$

Tulis penyebut sebagai satu pecahan $\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}$, kemudian bahagikan pecahan:

$$=\dfrac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{2+\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}$$

Nyahsurdkan dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat $2-\sqrt{3}$:

$$=\dfrac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}$$

Lakarkan sukuan bagi setiap sudut dahulu. Oleh sebab $A$ sudut cakah, $\cos A$ negatif; oleh sebab $B$ sudut tirus, $\sin B$ positif.

Gunakan $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ untuk mencari nisbah yang belum diketahui.

$$\cos A=-\sqrt{1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}}=-\dfrac{4}{5}\qquad \sin B=\sqrt{1-\left(\dfrac{12}{13}\right)^{2}}=\dfrac{5}{13}$$

(a) Kembangkan $\cos(A+B)$ dengan rumus sudut majmuk dan gantikan keempat-empat nisbah:

$$\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$$

$$=\left(-\dfrac{4}{5}\right)\left(\dfrac{12}{13}\right)-\left(\dfrac{3}{5}\right)\left(\dfrac{5}{13}\right)=-\dfrac{48}{65}-\dfrac{15}{65}=-\dfrac{63}{65}$$

(b) Bagi $\tan(A-B)$, tukar dahulu kedua-dua nisbah kepada tangen:

$$\tan A=\dfrac{3/5}{-4/5}=-\dfrac{3}{4}\qquad \tan B=\dfrac{5/13}{12/13}=\dfrac{5}{12}$$

Gantikan ke dalam rumus tolak tangen:

$$\tan(A-B)=\dfrac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}=\dfrac{-\tfrac{3}{4}-\tfrac{5}{12}}{1+\left(-\tfrac{3}{4}\right)\left(\tfrac{5}{12}\right)}=\dfrac{-\tfrac{7}{6}}{\tfrac{11}{16}}=-\dfrac{56}{33}$$

Kedua-dua sebutan perlu ditulis dalam $\tan x$ sahaja. Gantikan $\sec^{2}x$ menggunakan identiti yang mengaitkannya dengan $\tan x$:

$$1+\tan^{2}x=\sec^{2}x$$

Gantikan $\sec^{2}x=1+\tan^{2}x$ ke dalam persamaan:

$$2(1+\tan^{2}x)-\tan x=8$$

Kembangkan dan susun sebagai kuadratik dalam $\tan x$:

$$2\tan^{2}x-\tan x-6=0$$

Selesaikan dengan rumus kuadratik, biarkan $t=\tan x$:

$$t=\dfrac{1\pm\sqrt{1+48}}{4}=\dfrac{1\pm7}{4}\ \Rightarrow\ \tan x=2\ \text{atau}\ \tan x=-1.5$$

Untuk $\tan x=2$ (positif, sukuan pertama dan ketiga), sudut asas ialah $63.43^{\circ}$:

$$x=63.43^{\circ}\quad\text{atau}\quad x=180^{\circ}+63.43^{\circ}=243.43^{\circ}$$

Untuk $\tan x=-1.5$ (negatif, sukuan kedua dan keempat), sudut asas ialah $56.31^{\circ}$:

$$x=180^{\circ}-56.31^{\circ}=123.69^{\circ}\quad\text{atau}\quad x=360^{\circ}-56.31^{\circ}=303.69^{\circ}$$

(a) Tulis $75^{\circ}$ sebagai hasil tambah dua sudut yang nisbah tepatnya diketahui:

$$75^{\circ}=45^{\circ}+30^{\circ}$$

Kembangkan dengan rumus sudut majmuk bagi sinus dan gantikan nilai tepat $\sin45^{\circ}=\cos45^{\circ}=\dfrac{\sqrt2}{2}$, $\sin30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$, $\cos30^{\circ}=\dfrac{\sqrt3}{2}$:

$$\sin75^{\circ}=\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}+\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{1}{2}$$

$$=\dfrac{\sqrt6}{4}+\dfrac{\sqrt2}{4}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$$

(b) $165^{\circ}=180^{\circ}-15^{\circ}$, jadi gunakan simetri sukuan kedua $\cos(180^{\circ}-\theta)=-\cos\theta$:

$$\cos165^{\circ}=\cos(180^{\circ}-15^{\circ})=-\cos15^{\circ}$$

Kaitkan $\cos15^{\circ}$ dengan keputusan (a) menggunakan sudut pelengkap $\cos(90^{\circ}-\theta)=\sin\theta$:

$$\cos15^{\circ}=\cos(90^{\circ}-75^{\circ})=\sin75^{\circ}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$$

$$\therefore\ \cos165^{\circ}=-\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$$

(a) Gunakan rumus sudut berganda bagi kosinus pada sudut separuh $\dfrac{\theta}{2}$, supaya $2\times\dfrac{\theta}{2}=\theta$:

$$\cos\theta=1-2\sin^{2}\dfrac{\theta}{2}$$

Gantikan $\cos\theta=\dfrac{7}{25}$ dan susun semula bagi $\sin^{2}\dfrac{\theta}{2}$:

$$\dfrac{7}{25}=1-2\sin^{2}\dfrac{\theta}{2}\ \Rightarrow\ \sin^{2}\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{7}{25}\right)=\dfrac{9}{25}$$

Oleh sebab $0^{\circ}<\theta<90^{\circ}$, sudut separuh $\dfrac{\theta}{2}$ terletak antara $0^{\circ}$ dan $45^{\circ}$, iaitu sukuan pertama, jadi sinusnya positif:

$$\sin\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{3}{5}$$

(b) Cari $\cos\dfrac{\theta}{2}$ dengan identiti Pythagoras, sekali lagi ambil punca positif:

$$\cos\dfrac{\theta}{2}=\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=\dfrac{4}{5}$$

Bahagikan untuk mendapatkan tangen:

$$\tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sin\tfrac{\theta}{2}}{\cos\tfrac{\theta}{2}}=\dfrac{3/5}{4/5}=\dfrac{3}{4}$$

(a) Gabungkan kedua-dua pecahan di sebelah kiri atas penyebut sepunya:

$$\dfrac{1}{1-\sin\theta}+\dfrac{1}{1+\sin\theta}=\dfrac{(1+\sin\theta)+(1-\sin\theta)}{(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)}$$

Pengangka mengecut kepada $2$, dan penyebut ialah beza dua kuasa dua:

$$=\dfrac{2}{1-\sin^{2}\theta}$$

Gantikan $1-\sin^{2}\theta$ dengan $\cos^{2}\theta$ menggunakan identiti Pythagoras, kemudian tulis semula sebagai sekan:

$$=\dfrac{2}{\cos^{2}\theta}=2\sec^{2}\theta=\text{RHS}$$

(b) Sebelah kiri persamaan baharu itu tepat sama dengan ungkapan yang baru dibuktikan, jadi gantikannya dengan $2\sec^{2}\theta$ dan selesaikan bagi $\cos\theta$:

$$2\sec^{2}\theta=8\ \Rightarrow\ \sec^{2}\theta=4\ \Rightarrow\ \cos^{2}\theta=\dfrac{1}{4}\ \Rightarrow\ \cos\theta=\pm\dfrac{1}{2}$$

Bagi $\cos\theta=\dfrac{1}{2}$ (sukuan pertama dan keempat) dan $\cos\theta=-\dfrac{1}{2}$ (sukuan kedua dan ketiga), sudut asasnya ialah $60^{\circ}$ dalam setiap kes:

$$\theta=60^{\circ},\ 120^{\circ},\ 240^{\circ},\ 300^{\circ}$$