三角函数例题（简单）| SPM Add Math

Q: 怎样记住哪个倒数比配哪个？

看第三个字母：cosec 配 sin（cosec⁡θ=1sin⁡θ\operatorname{cosec}\theta=\tfrac{1}{\sin\theta}cosecθ=sinθ1），sec 配 cos（sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta=\tfrac{1}{\cos\theta}secθ=cosθ1），cot 配 tan（cot⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta=\tfrac{1}{\tan\theta}cotθ=tanθ1）。最容易记错的是 sec 配 cos，而不是配 sin。

Q: 怎样从像 y=3\sin 2x 的方程读出周期？

y=asin⁡bx+cy=a\sin bx+cy=asinbx+c 的周期（以角度计）是 360∘b\dfrac{360^{\circ}}{b}b360∘。这里 b=2b=2b=2，所以周期是 180∘180^{\circ}180∘，曲线在一整圈里装下两个完整的波。数 aaa 决定振幅，ccc 把整条曲线上下平移。

Q: 为什么 \sin x=\tfrac{1}{2} 在 0^{\circ} 到 360^{\circ} 之间有两个解？

正弦在第一与第二象限都为正，所以介于 000 与 111 之间的正值在一圈内会取到两次。基本角给出第一个解；180∘180^{\circ}180∘ 减去基本角给出第二个。永远要扫过整个给定范围。

这些例题涵盖什么

这组简单的三角函数例题帮你打好整章几乎每道题都要用到的日常动作：把已知的一个比换成倒数比 $\operatorname{cosec}\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}$ 、 $\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}$ 、 $\cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}$ ；从象限与基本角读出像 $\sin 150^{\circ}$ 这样的精确值；从形如 $y=a\sin bx+c$ 的图上直接读出振幅与周期；以及在整整一圈内解出第一个方程 $\sin x=\dfrac{1}{2}$ 。每一题都用小而干净的数字，让计算器只负责算术，你就能看清每一行。

最重要的习惯，是象限的符号规则，第一象限所有比都为正，接着在第二、第三、第四象限分别只有正弦、只有正切、只有余弦保持为正。最好的用法是先把解答盖住，在纸上完整做一遍，然后再逐行对照我们的算法。

如果答案不同，就找出两份解答开始分岔的那一步；那一行往往正是真正学到东西的地方。

例题解析

四题全部做完。每一题都先自己完整做一遍，再看对应的解答，并留意同一套纪律，写下法则、一次代入一个值、然后化简，如何贯穿倒数比、精确值、图形与方程这几类题。

Q1[4 marks]

已知 $\sin\theta=\dfrac{3}{5}$ 且 $\theta$ 为锐角，求 $\cos\theta$ 、 $\tan\theta$ 、 $\operatorname{cosec}\theta$ 、 $\sec\theta$ 与 $\cot\theta$ 的精确值。

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由于 $\theta$ 是锐角，它落在第一象限，那里每个三角比都是正的。先用毕氏恒等式求出 $\cos\theta$ ：

Given in the exam

\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1

把 $\cos^{2}\theta$ 作为主项，并代入 $\sin\theta=\dfrac{3}{5}$ ：

\cos^{2}\theta=1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}

取正的平方根，因为余弦在第一象限为正：

\cos\theta=\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\dfrac{4}{5}

正切等于正弦除以余弦：

\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{3/5}{4/5}=\dfrac{3}{4}

后三个比只是前三个的倒数：

\operatorname{cosec}\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}=\dfrac{5}{3},\quad \sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}=\dfrac{5}{4},\quad \cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}=\dfrac{4}{3}

答案

$\cos\theta=\dfrac{4}{5}$ ， $\tan\theta=\dfrac{3}{4}$ ， $\operatorname{cosec}\theta=\dfrac{5}{3}$ ， $\sec\theta=\dfrac{5}{4}$ ， $\cot\theta=\dfrac{4}{3}$ 。用恒等式快速检验： $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=\dfrac{9}{25}+\dfrac{16}{25}=\dfrac{25}{25}=1$ ，所以 $\left(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\right)$ 这一对是一致的。

Q2[3 marks]

求下列各值的精确值：（a） $\sin 150^{\circ}$ ，（b） $\cos 300^{\circ}$ ，（c） $\tan 225^{\circ}$ 。

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每个角都落在第一象限之外，所以用两步：先求基本角（到横轴的锐角），再按该象限贴上符号。符号规则是：第一象限所有比为正，之后第二象限只有正弦为正，第三象限只有正切为正，第四象限只有余弦为正。

（a） $150^{\circ}$ 在第二象限；基本角是 $180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$ 。正弦在第二象限为正：

\sin 150^{\circ}=+\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}

（b） $300^{\circ}$ 在第四象限；基本角是 $360^{\circ}-300^{\circ}=60^{\circ}$ 。余弦在第四象限为正：

\cos 300^{\circ}=+\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}

（c） $225^{\circ}$ 在第三象限；基本角是 $225^{\circ}-180^{\circ}=45^{\circ}$ 。正切在第三象限为正：

\tan 225^{\circ}=+\tan 45^{\circ}=1

答案

（a） $\dfrac{1}{2}$ ，（b） $\dfrac{1}{2}$ ，（c） $1$ 。每个答案都与计算器相符，但写出象限与基本角才是拿到方法分的关键，只写一个小数并不能显示你的推理。

Q3[3 marks]

在 $0^{\circ}\le x\le 360^{\circ}$ 内画出 $y=3\sin 2x$ 的图。说出（a）它的振幅，（b）它的周期，（c）在此范围内完整周期的个数。

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把方程与标准形式 $y=a\sin bx+c$ 对照。读出各常数： $a=3$ ， $b=2$ ， $c=0$ 。

（a）振幅是 $a$ 的大小，曲线在中线上方或下方能达到的最大距离：

\text{振幅}=|a|=3

（b）对正弦或余弦曲线，周期（一整个波的宽度）是 $\dfrac{360^{\circ}}{b}$ ：

\text{周期}=\dfrac{360^{\circ}}{b}=\dfrac{360^{\circ}}{2}=180^{\circ}

（c）完整周期的个数就是整个范围除以一个周期：

\dfrac{360^{\circ}}{180^{\circ}}=2

答案

振幅 $3$ ，周期 $180^{\circ}$ ，共 $2$ 个完整周期。作合理性检验：曲线从最大值 $+3$ 下降到最小值 $-3$ 再回来，在 $0^{\circ}$ 到 $360^{\circ}$ 之间重复两次。

Q4[3 marks]

在 $0^{\circ}\le x\le 360^{\circ}$ 内解 $\sin x=\dfrac{1}{2}$ 。

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先对这个正值取反正弦，求出基本角：

\text{基本角}=\sin^{-1}\dfrac{1}{2}=30^{\circ}

$\sin x$ 是正的，所以 $x$ 落在正弦为正的两个象限，第一与第二象限。用基本角 $30^{\circ}$ 在每个象限读出角：

x=30^{\circ}\quad\text{或}\quad x=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}

答案

$x=30^{\circ}$ 或 $x=150^{\circ}$ 。两个都检验： $\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$ ， $\sin 150^{\circ}=\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$ 。

在一整圈内，值严格介于 $0$ 与 $1$ 之间的正弦方程恰有两个解，所以我们已经找全了。

Q5[3 marks]

把（a） $150^{\circ}$ 换算成弧度，答案用 $\pi$ 的分数表示；（b）把 $\dfrac{7\pi}{6}$ 弧度换算成角度。

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角度与弧度之间只有一个换算事实：平角 $180^{\circ}$ 等于 $\pi$ 弧度。把角度乘以 $\dfrac{\pi}{180}$ 就换成弧度，把弧度乘以 $\dfrac{180^{\circ}}{\pi}$ 就换回角度。

180^{\circ}=\pi\text{ 弧度}

（a）把 $150^{\circ}$ 乘以 $\dfrac{\pi}{180}$ ：

150^{\circ}=150\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}\text{ 弧度}

（b）把 $\dfrac{7\pi}{6}$ 乘以 $\dfrac{180^{\circ}}{\pi}$ ：

\dfrac{7\pi}{6}\times\dfrac{180^{\circ}}{\pi}=7\times30^{\circ}=210^{\circ}

答案

（a） $\dfrac{5\pi}{6}$ 弧度，（b） $210^{\circ}$ 。检验一下： $\dfrac{5\pi}{6}$ 弧度换算回去正好是 $150^{\circ}$ ，说明两次换算互相抵消，结果一致。

Q6[3 marks]

点 $P(-3,4)$ 落在角 $\theta$ 的终边上， $\theta$ 按惯常方式从正 $x$ 轴量起。求 $\sin\theta$ 、 $\cos\theta$ 与 $\tan\theta$ 的精确值。

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对终边上任意一点 $P(x,y)$ ，设 $r$ 为原点到 $P$ 的距离。先用毕氏定理求出 $r$ ：

r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}

代入 $x=-3$ ， $y=4$ ：

r=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

三个比就直接由 $x$ 、 $y$ 、 $r$ 定义，保留 $x$ 与 $y$ 原本的正负号：

\sin\theta=\dfrac{y}{r}=\dfrac{4}{5},\quad\cos\theta=\dfrac{x}{r}=-\dfrac{3}{5},\quad\tan\theta=\dfrac{y}{x}=-\dfrac{4}{3}

答案

$\sin\theta=\dfrac{4}{5}$ ， $\cos\theta=-\dfrac{3}{5}$ ， $\tan\theta=-\dfrac{4}{3}$ 。 $P$ 的 $x$ 坐标为负、 $y$ 坐标为正，所以它落在第二象限，那里只有正弦为正，正好与上面三个符号相符。

Q7[3 marks]

已知 $\tan\theta=\dfrac{5}{12}$ 且 $\theta$ 为锐角，求 $\sec\theta$ 的精确值。

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正切与正割之间有一条毕氏恒等式可以直接连接，不必先求出 $\sin\theta$ 或 $\cos\theta$ ：

Given in the exam

\sec^{2}\theta=1+\tan^{2}\theta

代入 $\tan\theta=\dfrac{5}{12}$ ：

\sec^{2}\theta=1+\left(\dfrac{5}{12}\right)^{2}=1+\dfrac{25}{144}=\dfrac{169}{144}

取正的平方根，因为 $\theta$ 是锐角，第一象限的正割为正：

\sec\theta=\sqrt{\dfrac{169}{144}}=\dfrac{13}{12}

答案

$\sec\theta=\dfrac{13}{12}$ 。 $5$ 、 $12$ 、 $13$ 构成一组毕氏数，一个对边为 $5$ 、邻边为 $12$ 的直角三角形，斜边正是 $13$ ，由此 $\cos\theta=\dfrac{12}{13}$ ，也验证了 $\sec\theta=\dfrac{13}{12}$ 。

Q8[3 marks]

在 $0^{\circ}\le x\le360^{\circ}$ 内画出 $y=2\cos x+3$ 的图。说出（a） $y$ 的最大值及对应的 $x$ 值，（b） $y$ 的最小值及对应的 $x$ 值。

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把方程与 $y=a\cos x+c$ 对照：这里 $a=2$ ， $c=3$ 。由于 $\cos x$ 的取值只在 $-1$ 到 $1$ 之间， $\cos x=1$ 时 $y$ 最大， $\cos x=-1$ 时 $y$ 最小。

（a） $\cos x=1$ 出现在 $x=0^{\circ}$ （ $x=360^{\circ}$ 时也一样）：

y_{\max}=2(1)+3=5\quad\text{此时 }x=0^{\circ}

（b） $\cos x=-1$ 出现在 $x=180^{\circ}$ ：

y_{\min}=2(-1)+3=1\quad\text{此时 }x=180^{\circ}

答案

最大值 $y=5$ ，在 $x=0^{\circ}$ （ $x=360^{\circ}$ 时也成立）；最小值 $y=1$ ，在 $x=180^{\circ}$ 。两个值都落在预期范围 $c-a$ 到 $c+a$ ，也就是 $1$ 到 $5$ 之内，两个答案都通过检验。

留意一旦计划定好，每份解答都很短。倒数比来自一条恒等式加一次开方；精确值只需象限与基本角；图形直接从 $a$ 和 $b$ 给你振幅与周期；基本方程则归结为把一个基本角放进正确的象限。

看清题目真正问的是什么，配上对应的动作，算术就会保持干净。

关键方法要点

这四道例题演练的是几乎每道 Add Math 三角函数题都要用到的工具。多做练习时，记住以下几点。

三个倒数比定义为 $\operatorname{cosec}\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}$ 、 $\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}$ 、 $\cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}$ ，把 sec 配 cos，而不是配 sin。
恒等式 $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ 可以把正弦、余弦之一换成另一个；开方时的符号由象限决定。
求精确值时，先求到横轴的基本角，再用 ASTC 贴符号：第一至第四象限依次是 All（全部）、Sine（正弦）、Tangent（正切）、Cosine（余弦）为正。
对 $y=a\sin bx+c$ 或 $y=a\cos bx+c$ ，振幅是 $|a|$ ，周期是 $\dfrac{360^{\circ}}{b}$ ；常数 $c$ 只是上下平移中线。
解基本方程时先算基本角，再把它放进比值符合所需符号的每个象限，并落在给定范围内。
保留每一行代入，由于采用分析式评分，即使最后一位数字出错，一行清楚的方法仍能拿到方法分。

老师如何帮忙

学生在这类题上丢分，几乎总是一个可以纠正的小习惯，把 $\sec\theta$ 配成正弦而不是余弦、在第二象限的角上忘了符号，或者一道有两个解的方程只写了一个。在一对一的课堂上，我们的老师会盯住出错的那一行，当场纠正，趁它还没养成习惯。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是会讲清楚「为什么符号随象限改变」的人，而不只是「该按哪个键」。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此这套记号在两种版本里对你都是同一个意思。

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常见问题

怎样记住哪个倒数比配哪个？

看第三个字母：cosec 配 sin（ $\operatorname{cosec}\theta=\tfrac{1}{\sin\theta}$ ），sec 配 cos（ $\sec\theta=\tfrac{1}{\cos\theta}$ ），cot 配 tan（ $\cot\theta=\tfrac{1}{\tan\theta}$ ）。最容易记错的是 sec 配 cos，而不是配 sin。

什么是基本角？为什么需要它？

基本角是角的终边与横轴之间的锐角。四个象限里的每个角，都与它的基本角共用同一个比值大小；你先从基本角求出大小，再从象限定符号。

这种两步拆分让精确值稳定可靠。

怎样从像

y=3\sin 2x

的方程读出周期？

$y=a\sin bx+c$ 的周期（以角度计）是 $\dfrac{360^{\circ}}{b}$ 。这里 $b=2$ ，所以周期是 $180^{\circ}$ ，曲线在一整圈里装下两个完整的波。

数 $a$ 决定振幅， $c$ 把整条曲线上下平移。

为什么

\sin x=\tfrac{1}{2}

在

0^{\circ}

到

360^{\circ}

之间有两个解？

正弦在第一与第二象限都为正，所以介于 $0$ 与 $1$ 之间的正值在一圈内会取到两次。基本角给出第一个解； $180^{\circ}$ 减去基本角给出第二个。

永远要扫过整个给定范围。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

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