Fungsi Trigonometri Contoh Kerja (Mudah)

Q: Bagaimana saya ingat nisbah salingan yang mana dengan yang mana?

Lihat huruf ketiga: cosec berpasangan dengan sinus (cosec⁡θ=1sin⁡θ\operatorname{cosec}\theta=\tfrac{1}{\sin\theta}cosecθ=sinθ1), sec berpasangan dengan cosinus (sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta=\tfrac{1}{\cos\theta}secθ=cosθ1), dan cot berpasangan dengan tan (cot⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta=\tfrac{1}{\tan\theta}cotθ=tanθ1). Yang ganjil ialah sec pergi dengan cos, bukan sin.

Q: Bagaimana saya membaca kala daripada persamaan seperti y=3\sin 2x?

Kala bagi y=asin⁡bx+cy=a\sin bx+cy=asinbx+c ialah 360∘b\dfrac{360^{\circ}}{b}b360∘ dalam darjah. Di sini b=2b=2b=2, jadi kalanya ialah 180∘180^{\circ}180∘ dan lengkung memuatkan dua gelombang lengkap dalam satu pusingan penuh. Nombor aaa menetapkan amplitud, dan ccc mengalihkan seluruh lengkung ke atas atau ke bawah.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Fungsi Trigonometri mudah ini membina gerak harian yang membuka hampir setiap soalan dalam bab: menukar nisbah yang diketahui kepada nisbah salingan $\operatorname{cosec}\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}$ , $\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}$ dan $\cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}$ ; membaca nilai tepat seperti $\sin 150^{\circ}$ daripada sukuan dan sudut asasnya; membaca amplitud dan kala terus daripada graf berbentuk $y=a\sin bx+c$ ; dan menyelesaikan persamaan pertama seperti $\sin x=\dfrac{1}{2}$ dalam satu pusingan penuh. Setiap satu menggunakan nombor kecil dan kemas supaya anda boleh mengikuti setiap baris sementara kalkulator hanya membuat aritmetik.

Tabiat paling penting ialah petua tanda mengikut sukuan, semua nisbah positif dalam sukuan pertama, kemudian hanya sinus, hanya tangen dan hanya kosinus yang kekal positif dalam sukuan kedua, ketiga dan keempat. Gunakan set ini dengan jujur: tutup penyelesaian, cuba soalan sepenuhnya di atas kertas, dan barulah semak baris demi baris dengan kerja kami.

Jika jawapan anda berbeza, cari langkah tepat tempat kedua-dua penyelesaian mula bercapah; baris itulah biasanya tempat pembelajaran sebenar berlaku.

Contoh kerja

Kerjakan keempat-empatnya. Cuba setiap satu sepenuhnya sebelum membaca penyelesaiannya, dan perhatikan bagaimana disiplin yang sama, tulis petua, gantikan satu nilai pada satu masa, kemudian permudahkan, mengalir dalam nisbah salingan, nilai tepat, graf dan persamaan.

Q1[4 marks]

Diberi $\sin\theta=\dfrac{3}{5}$ dan $\theta$ ialah sudut tirus, cari nilai tepat bagi $\cos\theta$ , $\tan\theta$ , $\operatorname{cosec}\theta$ , $\sec\theta$ dan $\cot\theta$ .

Show worked solution

Oleh sebab $\theta$ ialah sudut tirus, ia terletak dalam sukuan pertama, di mana setiap nisbah trigonometri adalah positif. Mulakan dengan identiti Pythagoras untuk mencari $\cos\theta$ :

Given in the exam

\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1

Jadikan $\cos^{2}\theta$ sebagai perkara utama dan gantikan $\sin\theta=\dfrac{3}{5}$ :

\cos^{2}\theta=1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}

Ambil punca kuasa dua positif, kerana kosinus positif dalam sukuan pertama:

\cos\theta=\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\dfrac{4}{5}

Tangen ialah sinus dibahagi kosinus:

\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{3/5}{4/5}=\dfrac{3}{4}

Tiga nisbah terakhir hanyalah salingan bagi tiga yang pertama:

\operatorname{cosec}\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}=\dfrac{5}{3},\quad \sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}=\dfrac{5}{4},\quad \cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}=\dfrac{4}{3}

Jawapan

$\cos\theta=\dfrac{4}{5}$ , $\tan\theta=\dfrac{3}{4}$ , $\operatorname{cosec}\theta=\dfrac{5}{3}$ , $\sec\theta=\dfrac{5}{4}$ , $\cot\theta=\dfrac{4}{3}$ . Semakan cepat dengan identiti: $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=\dfrac{9}{25}+\dfrac{16}{25}=\dfrac{25}{25}=1$ , jadi pasangan $\left(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\right)$ adalah konsisten.

Q2[3 marks]

Cari nilai tepat bagi (a) $\sin 150^{\circ}$ , (b) $\cos 300^{\circ}$ , (c) $\tan 225^{\circ}$ .

Show worked solution

Setiap sudut terletak di luar sukuan pertama, jadi gunakan dua langkah: cari sudut asas dahulu (sudut tirus ke paksi mengufuk), kemudian lekatkan tanda bagi sukuan itu. Petua tanda ialah semua nisbah positif dalam sukuan pertama, kemudian hanya sinus kekal positif dalam sukuan kedua, hanya tangen dalam sukuan ketiga, dan hanya kosinus dalam sukuan keempat.

(a) $150^{\circ}$ berada dalam sukuan kedua; sudut asasnya ialah $180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$ . Sinus positif dalam sukuan kedua:

\sin 150^{\circ}=+\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}

(b) $300^{\circ}$ berada dalam sukuan keempat; sudut asasnya ialah $360^{\circ}-300^{\circ}=60^{\circ}$ . Kosinus positif dalam sukuan keempat:

\cos 300^{\circ}=+\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}

(c) $225^{\circ}$ berada dalam sukuan ketiga; sudut asasnya ialah $225^{\circ}-180^{\circ}=45^{\circ}$ . Tangen positif dalam sukuan ketiga:

\tan 225^{\circ}=+\tan 45^{\circ}=1

Jawapan

(a) $\dfrac{1}{2}$ , (b) $\dfrac{1}{2}$ , (c) $1$ . Setiap jawapan sepadan dengan kalkulator, tetapi menulis sukuan dan sudut asas itulah yang memperoleh markah kaedah, perpuluhan sahaja tidak menunjukkan penaakulan anda.

Q3[3 marks]

Graf $y=3\sin 2x$ dilukis untuk $0^{\circ}\le x\le 360^{\circ}$ . Nyatakan (a) amplitudnya, (b) kalanya, dan (c) bilangan kitaran lengkap dalam julat ini.

Show worked solution

Bandingkan persamaan dengan bentuk piawai $y=a\sin bx+c$ . Dengan membaca pemalar, $a=3$ , $b=2$ dan $c=0$ .

(a) Amplitud ialah saiz $a$ , jarak terjauh lengkung mencapai di atas atau di bawah garis tengahnya:

\text{amplitud}=|a|=3

(b) Bagi lengkung sinus atau kosinus, kala (lebar satu gelombang penuh) ialah $\dfrac{360^{\circ}}{b}$ :

\text{kala}=\dfrac{360^{\circ}}{b}=\dfrac{360^{\circ}}{2}=180^{\circ}

\dfrac{360^{\circ}}{180^{\circ}}=2

Jawapan

Amplitud $3$ , kala $180^{\circ}$ , dan $2$ kitaran lengkap. Sebagai semakan logik, lengkung bergerak dari maksimum $+3$ turun ke minimum $-3$ dan kembali, dua kali, antara $0^{\circ}$ dan $360^{\circ}$ .

Q4[3 marks]

Selesaikan $\sin x=\dfrac{1}{2}$ untuk $0^{\circ}\le x\le 360^{\circ}$ .

Show worked solution

Cari sudut asas dahulu dengan mengambil sinus songsang bagi nilai positif itu:

\text{sudut asas}=\sin^{-1}\dfrac{1}{2}=30^{\circ}

Nilai $\sin x$ positif, jadi $x$ terletak dalam dua sukuan di mana sinus positif, sukuan pertama dan kedua. Baca sudut dalam setiap sukuan menggunakan sudut asas $30^{\circ}$ :

x=30^{\circ}\quad\text{atau}\quad x=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}

Jawapan

$x=30^{\circ}$ atau $x=150^{\circ}$ . Semak kedua-duanya: $\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$ dan $\sin 150^{\circ}=\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$ .

Dalam satu pusingan penuh, persamaan sinus dengan nilai antara $0$ dan $1$ mempunyai tepat dua jawapan, jadi kita telah menemui kesemuanya.

Q5[3 marks]

Tukarkan (a) $150^{\circ}$ kepada radian, nyatakan jawapan sebagai pecahan $\pi$ , dan (b) $\dfrac{7\pi}{6}$ radian kepada darjah.

Show worked solution

Darjah dan radian dihubungkan oleh satu fakta penukaran: pusingan garis lurus $180^{\circ}$ bersamaan $\pi$ radian. Darab dengan $\dfrac{\pi}{180}$ untuk menukar darjah kepada radian, dan darab dengan $\dfrac{180^{\circ}}{\pi}$ untuk menukar semula.

180^{\circ}=\pi\text{ rad}

(a) Darabkan $150^{\circ}$ dengan $\dfrac{\pi}{180}$ :

150^{\circ}=150\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}\text{ rad}

(b) Darabkan $\dfrac{7\pi}{6}$ dengan $\dfrac{180^{\circ}}{\pi}$ :

\dfrac{7\pi}{6}\times\dfrac{180^{\circ}}{\pi}=7\times30^{\circ}=210^{\circ}

Jawapan

(a) $\dfrac{5\pi}{6}$ rad, (b) $210^{\circ}$ . Sebagai semakan, $\dfrac{5\pi}{6}$ rad menukar semula terus kepada $150^{\circ}$ , jadi kedua-dua penukaran itu saling membalikkan dengan betul.

Q6[3 marks]

Titik $P(-3,4)$ terletak pada lengan terminal sudut $\theta$ , diukur daripada paksi- $x$ positif mengikut cara biasa. Cari nilai tepat bagi $\sin\theta$ , $\cos\theta$ dan $\tan\theta$ .

Show worked solution

Bagi mana-mana titik $P(x,y)$ pada lengan terminal $\theta$ , biarkan $r$ menjadi jarak dari asalan ke $P$ . Cari $r$ dahulu, menggunakan Teorem Pythagoras:

r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}

Gantikan $x=-3$ dan $y=4$ :

r=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

Ketiga-tiga nisbah kemudiannya ditakrifkan terus daripada $x$ , $y$ dan $r$ , dengan mengekalkan tanda $x$ dan $y$ :

\sin\theta=\dfrac{y}{r}=\dfrac{4}{5},\quad\cos\theta=\dfrac{x}{r}=-\dfrac{3}{5},\quad\tan\theta=\dfrac{y}{x}=-\dfrac{4}{3}

Jawapan

$\sin\theta=\dfrac{4}{5}$ , $\cos\theta=-\dfrac{3}{5}$ , $\tan\theta=-\dfrac{4}{3}$ . $P$ mempunyai koordinat- $x$ negatif dan koordinat- $y$ positif, jadi ia terletak dalam sukuan kedua, di mana hanya sinus positif, tepat seperti yang ditunjukkan oleh tiga tanda di atas.

Q7[3 marks]

Diberi $\tan\theta=\dfrac{5}{12}$ dan $\theta$ ialah sudut tirus, cari nilai tepat bagi $\sec\theta$ .

Show worked solution

Tangen dan sekan dihubungkan terus oleh satu identiti Pythagoras, jadi tidak perlu mencari $\sin\theta$ atau $\cos\theta$ dahulu:

Given in the exam

\sec^{2}\theta=1+\tan^{2}\theta

Gantikan $\tan\theta=\dfrac{5}{12}$ :

\sec^{2}\theta=1+\left(\dfrac{5}{12}\right)^{2}=1+\dfrac{25}{144}=\dfrac{169}{144}

Ambil punca kuasa dua positif, kerana $\theta$ ialah sudut tirus dan sekan positif dalam sukuan pertama:

\sec\theta=\sqrt{\dfrac{169}{144}}=\dfrac{13}{12}

Jawapan

$\sec\theta=\dfrac{13}{12}$ . Nombor $5$ , $12$ , $13$ membentuk tripel Pythagoras, jadi segi tiga bersudut tegak dengan sisi bertentangan $5$ dan sisi bersebelahan $12$ mempunyai hipotenus $13$ , memberikan $\cos\theta=\dfrac{12}{13}$ dan mengesahkan $\sec\theta=\dfrac{13}{12}$ .

Q8[3 marks]

Graf $y=2\cos x+3$ dilukis untuk $0^{\circ}\le x\le360^{\circ}$ . Nyatakan (a) nilai maksimum $y$ dan nilai $x$ yang sepadan, (b) nilai minimum $y$ dan nilai $x$ yang sepadan.

Show worked solution

Bandingkan dengan $y=a\cos x+c$ : di sini $a=2$ dan $c=3$ . Oleh sebab $\cos x$ hanya mengambil nilai dari $-1$ hingga $1$ , $y$ paling besar apabila $\cos x=1$ dan paling kecil apabila $\cos x=-1$ .

(a) $\cos x=1$ pada $x=0^{\circ}$ (dan sekali lagi pada $x=360^{\circ}$ ):

y_{\max}=2(1)+3=5\quad\text{pada }x=0^{\circ}

(b) $\cos x=-1$ pada $x=180^{\circ}$ :

y_{\min}=2(-1)+3=1\quad\text{pada }x=180^{\circ}

Jawapan

Maksimum $y=5$ pada $x=0^{\circ}$ (juga pada $x=360^{\circ}$ ); minimum $y=1$ pada $x=180^{\circ}$ . Kedua-dua nilai berada dalam julat yang dijangka $c-a$ hingga $c+a$ , iaitu $1$ hingga $5$ , jadi kedua-dua jawapan disahkan.

Perhatikan betapa ringkasnya setiap penyelesaian kekal setelah rancangan ditetapkan. Nisbah salingan datang daripada identiti dan satu punca kuasa dua; nilai tepat hanya perlukan sukuan dan sudut asas; graf memberi amplitud dan kala terus daripada $a$ dan $b$ ; dan persamaan asas menyusut kepada satu sudut asas yang diletakkan dalam sukuan yang betul.

Namakan apa yang soalan sebenarnya minta, pilih gerak yang sepadan, dan aritmetiknya kekal kemas. Satu tabiat terakhir mengikat kesemuanya: sentiasa semak jawapan anda.

Bagi nisbah, gantikan semula ke dalam $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ ; bagi nilai tepat, bandingkan dengan lakaran cepat kedudukan sudut itu; bagi graf, kira semula bilangan kitaran daripada kala; dan bagi persamaan, uji setiap sudut dalam persamaan asal. Semakan singkat ini menangkap kebanyakan tergelincir tanda dan sudut sebelum ia menjadi markah yang hilang, dan ia mengambil masa beberapa saat sahaja berbanding memeriksa keseluruhan kertas pada akhirnya.

Poin kaedah utama

Empat contoh ini melatih alat yang membuka hampir setiap soalan Fungsi Trigonometri dalam Add Math. Ingat poin berikut semasa anda berlatih lebih banyak.

Tiga nisbah salingan ditakrifkan sebagai $\operatorname{cosec}\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}$ , $\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}$ dan $\cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}$ , pasangkan sec dengan cos, bukan sin.
Identiti $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ menukar salah satu daripada sinus atau kosinus kepada yang lain; ambil tanda punca daripada sukuan.
Untuk nilai tepat, cari sudut asas ke paksi mengufuk, kemudian lekatkan tanda menggunakan ASTC: All (semua), Sinus, Tangen, Kosinus positif dalam sukuan 1 hingga 4.
Bagi $y=a\sin bx+c$ atau $y=a\cos bx+c$ , amplitud ialah $|a|$ dan kala ialah $\dfrac{360^{\circ}}{b}$ ; pemalar $c$ hanya mengalihkan garis tengah.
Untuk menyelesaikan persamaan asas, kira sudut asas dahulu, kemudian letakkannya dalam setiap sukuan di mana nisbah mempunyai tanda yang dikehendaki, dalam julat yang dinyatakan.
Kekalkan setiap baris penggantian, dengan pemarkahan analitik, satu baris kaedah yang jelas masih memperoleh markah kaedah walaupun digit akhir tergelincir.

Bagaimana guru membantu

Apabila seorang pelajar kehilangan markah pada soalan seperti ini, ia hampir selalu satu tabiat kecil yang boleh dibetulkan, memasangkan $\sec\theta$ dengan sinus dan bukan kosinus, terlupa tanda dalam sudut sukuan kedua, atau memberi hanya satu jawapan bagi persamaan yang mempunyai dua. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati baris tepat tempat kesilapan berlaku dan membetulkannya serta-merta, sebelum ia menjadi rutin.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang menerangkan mengapa tanda berubah mengikut sukuan, bukan hanya butang mana untuk ditekan. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya ingat nisbah salingan yang mana dengan yang mana?

Lihat huruf ketiga: cosec berpasangan dengan sinus ( $\operatorname{cosec}\theta=\tfrac{1}{\sin\theta}$ ), sec berpasangan dengan cosinus ( $\sec\theta=\tfrac{1}{\cos\theta}$ ), dan cot berpasangan dengan tan ( $\cot\theta=\tfrac{1}{\tan\theta}$ ). Yang ganjil ialah sec pergi dengan cos, bukan sin.

Apakah sudut asas dan mengapa saya memerlukannya?

Sudut asas ialah sudut tirus antara lengan sudut dan paksi mengufuk. Setiap sudut dalam empat sukuan berkongsi saiz nisbah dengan sudut asasnya; anda cari saiz daripada sudut asas, kemudian tetapkan tanda daripada sukuan.

Pembahagian dua langkah ini mengekalkan nilai tepat supaya boleh dipercayai.

Bagaimana saya membaca kala daripada persamaan seperti

y=3\sin 2x

Kala bagi $y=a\sin bx+c$ ialah $\dfrac{360^{\circ}}{b}$ dalam darjah. Di sini $b=2$ , jadi kalanya ialah $180^{\circ}$ dan lengkung memuatkan dua gelombang lengkap dalam satu pusingan penuh.

Nombor $a$ menetapkan amplitud, dan $c$ mengalihkan seluruh lengkung ke atas atau ke bawah.

Mengapa

\sin x=\tfrac{1}{2}

mempunyai dua jawapan antara

0^{\circ}

dan

360^{\circ}

Sinus positif dalam kedua-dua sukuan pertama dan kedua, jadi nilai positif antara $0$ dan $1$ dicapai dua kali dalam satu pusingan. Sudut asas memberi jawapan pertama; $180^{\circ}$ tolak sudut asas memberi yang kedua.

Sentiasa imbas seluruh julat yang dinyatakan.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Fungsi Trigonometri, Contoh Kerja (mudah)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?