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练习题 · 三角函数

三角函数，练习题

六道难度递增的原创三角函数练习题，每题都配完整解答。内容涵盖直角三角形中的精确比值、正确象限里的比值、一道基本方程、证明恒等式、关于 sin⁡x\sin x 的二次方程，以及二倍角公式。

请限时做每一题，再逐行核对。

如何使用这些练习题

下面六道题的难度贯穿整章，从在直角三角形上读出精确比值，到运用二倍角公式，逐题加深。每题给自己大约四到七分钟，先在纸上做，像真正考试那样写下每一行，先说明你用的是哪条恒等式或法则，求出基本角，再判断正确的象限，然后把给定范围内的每个答案都列出来。

忍住偷看的冲动。

只有当你真正把完整答案写出来之后，才打开解答，逐行给自己评分。当你的算法和我们的不同，就停在两者开始分岔的那一行；那一步几乎总是丢分的地方。

由于 Add Math 采用分析式评分，即使漏掉范围内的某个答案，只要基本角求得正确仍能拿到方法分，所以务必把基本角与象限的判断写清楚。

六道练习题

Q1[2 marks]

已知 θ\theta 为锐角且 sin⁡θ=35\sin\theta=\dfrac{3}{5}，求 cos⁡θ\cos\theta 与 tan⁡θ\tan\theta 的精确值。

Show worked solution

画一个直角三角形。由于 sin⁡θ=对边斜边=35\sin\theta=\dfrac{\text{对边}}{\text{斜边}}=\dfrac{3}{5}，对边为 33，斜边为 55。

用勾股定理求邻边：

邻边=52−32=25−9=16=4\text{邻边}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4

由于 θ\theta 为锐角，所有比值都为正：

cos⁡θ=45,tan⁡θ=34\cos\theta=\frac{4}{5},\qquad \tan\theta=\frac{3}{4}

答案

cos⁡θ=45\cos\theta=\dfrac{4}{5}，tan⁡θ=34\tan\theta=\dfrac{3}{4}。用恒等式检验：sin⁡2θ+cos⁡2θ=925+1625=1\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=\dfrac{9}{25}+\dfrac{16}{25}=1。

Q2[3 marks]

已知 cos⁡A=−513\cos A=-\dfrac{5}{13}，且 AA 为钝角 (90∘<A<180∘)(90^{\circ}<A<180^{\circ})，求 sin⁡A\sin A 与 tan⁡A\tan A 的精确值。

Show worked solution

用恒等式 sin⁡2A+cos⁡2A=1\sin^{2}A+\cos^{2}A=1 求 sin⁡A\sin A：

sin⁡2A=1−(−513)2=1−25169=144169\sin^{2}A=1-\left(-\tfrac{5}{13}\right)^{2}=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}
sin⁡A=±1213\sin A=\pm\frac{12}{13}

钝角落在第二象限，正弦为正，所以取正值。再由 tan⁡A=sin⁡Acos⁡A\tan A=\dfrac{\sin A}{\cos A}：

sin⁡A=1213,tan⁡A=12/13−5/13=−125\sin A=\frac{12}{13},\qquad \tan A=\frac{12/13}{-5/13}=-\frac{12}{5}

答案

sin⁡A=1213\sin A=\dfrac{12}{13}，tan⁡A=−125\tan A=-\dfrac{12}{5}。象限决定符号：第二象限里正弦为正而正切为负。

Q3[3 marks]

在 0∘≤x≤360∘0^{\circ}\le x\le 360^{\circ} 范围内解方程 2sin⁡x−1=02\sin x-1=0。

Show worked solution

先把 sin⁡x\sin x 分离出来：

2sin⁡x−1=0  ⇒  sin⁡x=122\sin x-1=0 \;\Rightarrow\; \sin x=\frac{1}{2}

基本角（参考角）为 sin⁡−112=30∘\sin^{-1}\tfrac{1}{2}=30^{\circ}。正弦在第一、第二象限为正，所以：

x=30∘或x=180∘−30∘=150∘x=30^{\circ} \quad\text{或}\quad x=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}

答案

x=30∘x=30^{\circ} 或 x=150∘x=150^{\circ}。检验：sin⁡30∘=sin⁡150∘=12\sin 30^{\circ}=\sin 150^{\circ}=\tfrac{1}{2}。

由 sin⁡x\sin x 的符号判断象限，正是拿到两个答案的关键。

Q4[4 marks]

证明恒等式 1−cos⁡2θsin⁡θcos⁡θ=tan⁡θ\dfrac{1-\cos^{2}\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\tan\theta。

Show worked solution

从左边着手，目标是推到右边。由勾股恒等式 sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1 变形得 1−cos⁡2θ=sin⁡2θ1-\cos^{2}\theta=\sin^{2}\theta。

替换分子：

左边=1−cos⁡2θsin⁡θcos⁡θ=sin⁡2θsin⁡θcos⁡θ\text{左边}=\frac{1-\cos^{2}\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\frac{\sin^{2}\theta}{\sin\theta\cos\theta}

约去一个 sin⁡θ\sin\theta，再用 sin⁡θcos⁡θ=tan⁡θ\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta：

=sin⁡θcos⁡θ=tan⁡θ=右边=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta=\text{右边}

答案

证毕。关键一步是认出 1−cos⁡2θ=sin⁡2θ1-\cos^{2}\theta=\sin^{2}\theta；之后约掉一个 sin⁡θ\sin\theta 就剩下 tan⁡θ\tan\theta。

证明时只变形一边，最后写 =右边=\text{右边}。

Q5[5 marks]

在 0∘≤x≤360∘0^{\circ}\le x\le 360^{\circ} 范围内解方程 2cos⁡2x+sin⁡x−1=02\cos^{2}x+\sin x-1=0。

Show worked solution

方程里同时有 cos⁡2x\cos^{2}x 与 sin⁡x\sin x，所以用 cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^{2}x=1-\sin^{2}x 把它全部化为 sin⁡x\sin x：

2(1−sin⁡2x)+sin⁡x−1=02(1-\sin^{2}x)+\sin x-1=0
2−2sin⁡2x+sin⁡x−1=0  ⇒  2sin⁡2x−sin⁡x−1=02-2\sin^{2}x+\sin x-1=0 \;\Rightarrow\; 2\sin^{2}x-\sin x-1=0

这是关于 sin⁡x\sin x 的二次方程。因式分解：

(2sin⁡x+1)(sin⁡x−1)=0  ⇒  sin⁡x=−12  或  sin⁡x=1(2\sin x+1)(\sin x-1)=0 \;\Rightarrow\; \sin x=-\frac{1}{2}\ \text{ 或 }\ \sin x=1

对 sin⁡x=1\sin x=1：x=90∘x=90^{\circ}。对 sin⁡x=−12\sin x=-\tfrac{1}{2}，基本角为 30∘30^{\circ}，正弦在第三、第四象限为负：

x=180∘+30∘=210∘或x=360∘−30∘=330∘x=180^{\circ}+30^{\circ}=210^{\circ} \quad\text{或}\quad x=360^{\circ}-30^{\circ}=330^{\circ}

答案

x=90∘, 210∘, 330∘x=90^{\circ},\ 210^{\circ},\ 330^{\circ}。检验 x=210∘x=210^{\circ}：2cos⁡2210∘+sin⁡210∘−1=2(34)−12−1=02\cos^{2}210^{\circ}+\sin 210^{\circ}-1=2(\tfrac{3}{4})-\tfrac{1}{2}-1=0。

先化为单一比值再因式分解，就是方法分所在。

Q6[6 marks]

已知 sin⁡θ=45\sin\theta=\dfrac{4}{5}，其中 θ\theta 为锐角，求（a）sin⁡2θ\sin 2\theta、（b）cos⁡2θ\cos 2\theta、（c）tan⁡2θ\tan 2\theta 的精确值。

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先求 cos⁡θ\cos\theta。由 33–44–55 三角形（对边 44、斜边 55、邻边 33），且 θ\theta 为锐角，得 cos⁡θ=35\cos\theta=\dfrac{3}{5}。

（a）用 sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta：

sin⁡2θ=2(45)(35)=2425\sin 2\theta=2\left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{3}{5}\right)=\frac{24}{25}

（b）用 cos⁡2θ=1−2sin⁡2θ\cos 2\theta=1-2\sin^{2}\theta：

cos⁡2θ=1−2(45)2=1−3225=−725\cos 2\theta=1-2\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=1-\frac{32}{25}=-\frac{7}{25}

（c）两个结果相除，因为 tan⁡2θ=sin⁡2θcos⁡2θ\tan 2\theta=\dfrac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta}：

tan⁡2θ=24/25−7/25=−247\tan 2\theta=\frac{24/25}{-7/25}=-\frac{24}{7}

答案

（a）2425\dfrac{24}{25}、（b）−725-\dfrac{7}{25}、（c）−247-\dfrac{24}{7}。检验：sin⁡22θ+cos⁡22θ=576625+49625=1\sin^{2}2\theta+\cos^{2}2\theta=\dfrac{576}{625}+\dfrac{49}{625}=1。

cos⁡2θ\cos 2\theta 为负，说明虽然 θ\theta 是锐角，2θ2\theta 却是钝角。

如何像考官那样给自己评分

Add Math 采用分析式评分，也就是分数挂在步骤上，而不仅是最后那个数字。检查自己的答卷时，要像考官那样给自己算分：看基本角是否正确、象限是否选对、恒等式是否用得干净，以及每个答案是否都落在题目给定的范围内。

  • 比值分：你是否正确地用 sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1 或直角三角形求出所缺的比值？
  • 象限分：比值的符号是否决定了正确的象限，你是否据此定下最终答案的符号？
  • 基本角分：你是否先求参考角，再用 180∘±180^{\circ}\pm 或 360∘−360^{\circ}- 基本角构造答案？
  • 恒等式分：在证明中，你是否只变形一边并推到另一边，同时写出所用的每条恒等式？
  • 如果基本角对了但漏了范围内的某个答案，就给自己方法分，真正的考官正是这么做的。

老师如何帮忙

自我评分很有用，但要看清自己的盲点却很难。在一对一的课堂上，我们的老师会盯住丢分的那一行，选错象限、漏掉范围内的第二个解、或搞混该用哪个形式的 cos⁡2θ\cos 2\theta，并当场纠正这个习惯。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是会讲清楚每一条恒等式「为什么」的人。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此我们会确保这套记号在两种版本里对你都是同一个意思。

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常见问题

我怎么知道答案落在哪些象限？

由三角比值的符号决定。正弦在第一、第二象限为正；余弦在第一、第四象限为正；正切在第一、第三象限为正。

先由正值求出基本角，再把答案放进与符号相符的象限。

什么时候把 cos⁡2x\cos^{2}x 换成 sin⁡x\sin x（或反过来）？

当方程里同时出现平方比值和一次比值时，用 sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^{2}x+\cos^{2}x=1 把一切写成同一个比值。这样就化成了可以因式分解的二次方程。

cos⁡2θ\cos 2\theta 该用哪个形式？

三个都正确：cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta、1−2sin⁡2θ1-2\sin^{2}\theta、2cos⁡2θ−12\cos^{2}\theta-1。选与你已知比值相配的那个，若已知 sin⁡θ\sin\theta，就用 1−2sin⁡2θ1-2\sin^{2}\theta。

最终答案错了，是不是这道题的分全丢了？

不是。由于评分是分析式的，正确的基本角与正确的象限判断即使漏掉一个解也能拿分。

请始终先写出基本角，再列出范围内的答案。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

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