Fungsi Trigonometri Soalan Latihan

Q: Bagaimana saya tahu sukuan mana yang memberi jawapan?

Tanda nisbah trigonometri yang menentukannya. Sin positif dalam sukuan pertama dan kedua; kos positif dalam sukuan pertama dan keempat; tan positif dalam sukuan pertama dan ketiga. Cari sudut asas daripada nilai positif, kemudian letakkan jawapan dalam sukuan yang sepadan dengan tanda.

Q: Bila saya tukar \cos^{2}x kepada \sin x (atau sebaliknya)?

Apabila persamaan mencampurkan nisbah berkuasa dua dengan nisbah berkuasa satu, guna sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^{2}x+\cos^{2}x=1sin2x+cos2x=1 untuk menulis semuanya dalam satu nisbah. Itu mengubahnya menjadi kuadratik yang boleh difaktorkan.

Q: Bentuk \cos 2\theta yang mana patut saya guna?

Ketiga-tiganya betul: cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos^{2}\theta-\sin^{2}\thetacos2θ−sin2θ, 1−2sin⁡2θ1-2\sin^{2}\theta1−2sin2θ, dan 2cos⁡2θ−12\cos^{2}\theta-12cos2θ−1. Pilih yang sepadan dengan nisbah yang sudah anda tahu, jika anda tahu sin⁡θ\sin\thetasinθ, guna 1−2sin⁡2θ1-2\sin^{2}\theta1−2sin2θ.

Q: Adakah jawapan akhir yang salah menyebabkan saya hilang setiap markah?

Tidak. Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, sudut asas yang betul dan penaakulan sukuan yang betul masih memperoleh markah walaupun anda tercicir satu penyelesaian. Sentiasa tunjukkan sudut asas sebelum menyenaraikan jawapan dalam julat.

Cara menggunakan soalan latihan ini

Enam soalan di bawah meningkat kesukarannya merentas seluruh bab, daripada membaca nisbah tepat pada segi tiga bersudut tegak hingga menggunakan rumus sudut berganda. Beri diri anda kira-kira empat hingga tujuh minit bagi setiap soalan dan kerjakan di atas kertas dahulu, menulis setiap baris seperti dalam peperiksaan sebenar, sebut identiti atau petua yang anda guna, cari sudut asas, kemudian tentukan sukuan yang betul sebelum anda menyenaraikan setiap jawapan dalam julat yang diberi.

Tahan keinginan untuk mengintai.

Hanya selepas anda benar-benar menyiapkan jawapan penuh barulah anda buka penyelesaian dan nilai diri baris demi baris. Apabila kerja anda berbeza dengan kerja kami, berhenti pada baris tepat tempat kedua-duanya mula bercapah; langkah tunggal itulah yang hampir selalu menyebabkan markah hilang.

Oleh sebab Add Math dinilai secara analitik, sudut asas yang betul masih memperoleh markah kaedah walaupun anda terlepas salah satu jawapan dalam julat, jadi tunjukkan sudut asas dan penaakulan sukuan dengan jelas.

Enam soalan latihan

Q1[2 marks]

Diberi bahawa $\theta$ ialah sudut tirus dan $\sin\theta=\dfrac{3}{5}$ , cari nilai tepat $\cos\theta$ dan $\tan\theta$ .

Show worked solution

Lakar segi tiga bersudut tegak. Oleh sebab $\sin\theta=\dfrac{\text{bertentangan}}{\text{hipotenus}}=\dfrac{3}{5}$ , sisi bertentangan ialah $3$ dan hipotenus ialah $5$ .

Cari sisi bersebelahan dengan teorem Pythagoras:

\text{bersebelahan}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4

Oleh sebab $\theta$ tirus, semua nisbah adalah positif:

\cos\theta=\frac{4}{5},\qquad \tan\theta=\frac{3}{4}

Jawapan

$\cos\theta=\dfrac{4}{5}$ dan $\tan\theta=\dfrac{3}{4}$ . Semak dengan identiti: $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=\dfrac{9}{25}+\dfrac{16}{25}=1$ .

Q2[3 marks]

Diberi $\cos A=-\dfrac{5}{13}$ dan $A$ ialah sudut cakah $(90^{\circ}<A<180^{\circ})$ , cari nilai tepat $\sin A$ dan $\tan A$ .

Show worked solution

Guna identiti $\sin^{2}A+\cos^{2}A=1$ untuk mencari $\sin A$ :

\sin^{2}A=1-\left(-\tfrac{5}{13}\right)^{2}=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}

\sin A=\pm\frac{12}{13}

Sudut cakah terletak dalam sukuan kedua, tempat sin adalah positif, jadi kita ambil nilai positif. Kemudian $\tan A=\dfrac{\sin A}{\cos A}$ :

\sin A=\frac{12}{13},\qquad \tan A=\frac{12/13}{-5/13}=-\frac{12}{5}

Jawapan

$\sin A=\dfrac{12}{13}$ dan $\tan A=-\dfrac{12}{5}$ . Sukuan itulah yang menetapkan tanda: dalam sukuan kedua sin positif tetapi tan negatif.

Q3[3 marks]

Selesaikan persamaan $2\sin x-1=0$ bagi $0^{\circ}\le x\le 360^{\circ}$ .

Show worked solution

Asingkan $\sin x$ dahulu:

2\sin x-1=0 \;\Rightarrow\; \sin x=\frac{1}{2}

Sudut asas (rujukan) ialah $\sin^{-1}\tfrac{1}{2}=30^{\circ}$ . Sin adalah positif dalam sukuan pertama dan kedua, jadi:

x=30^{\circ} \quad\text{atau}\quad x=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}

Jawapan

$x=30^{\circ}$ atau $x=150^{\circ}$ . Semak: $\sin 30^{\circ}=\sin 150^{\circ}=\tfrac{1}{2}$ .

Menentukan sukuan daripada tanda $\sin x$ itulah yang memberi anda kedua-dua jawapan.

Q4[4 marks]

Buktikan identiti $\dfrac{1-\cos^{2}\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\tan\theta$ .

Show worked solution

Kerjakan sebelah kiri dan sasarkan untuk mencapai sebelah kanan. Mulakan daripada identiti Pythagoras $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ , yang disusun semula menjadi $1-\cos^{2}\theta=\sin^{2}\theta$ .

Gantikan pengangka:

\text{Sebelah kiri}=\frac{1-\cos^{2}\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\frac{\sin^{2}\theta}{\sin\theta\cos\theta}

Batalkan satu faktor $\sin\theta$ , kemudian guna $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta$ :

=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta=\text{Sebelah kanan}

Jawapan

Terbukti. Langkah utama ialah mengenali $1-\cos^{2}\theta=\sin^{2}\theta$ ; selepas itu, membatalkan satu $\sin\theta$ meninggalkan $\tan\theta$ .

Sentiasa ubah satu sebelah sahaja dan akhiri dengan menulis $=\text{Sebelah kanan}$ .

Q5[5 marks]

Selesaikan persamaan $2\cos^{2}x+\sin x-1=0$ bagi $0^{\circ}\le x\le 360^{\circ}$ .

Show worked solution

Persamaan ini mencampurkan $\cos^{2}x$ dengan $\sin x$ , jadi tukarkan semuanya kepada $\sin x$ menggunakan $\cos^{2}x=1-\sin^{2}x$ :

2(1-\sin^{2}x)+\sin x-1=0

2-2\sin^{2}x+\sin x-1=0 \;\Rightarrow\; 2\sin^{2}x-\sin x-1=0

Ini ialah kuadratik dalam $\sin x$ . Faktorkan:

(2\sin x+1)(\sin x-1)=0 \;\Rightarrow\; \sin x=-\frac{1}{2}\ \text{ atau }\ \sin x=1

Bagi $\sin x=1$ : $x=90^{\circ}$ . Bagi $\sin x=-\tfrac{1}{2}$ , sudut asas ialah $30^{\circ}$ dan sin adalah negatif dalam sukuan ketiga dan keempat:

x=180^{\circ}+30^{\circ}=210^{\circ} \quad\text{atau}\quad x=360^{\circ}-30^{\circ}=330^{\circ}

Jawapan

$x=90^{\circ},\ 210^{\circ},\ 330^{\circ}$ . Semak $x=210^{\circ}$ : $2\cos^{2}210^{\circ}+\sin 210^{\circ}-1=2(\tfrac{3}{4})-\tfrac{1}{2}-1=0$ .

Menukar kepada satu nisbah sebelum memfaktorkan ialah markah kaedah.

Q6[6 marks]

Diberi $\sin\theta=\dfrac{4}{5}$ dengan $\theta$ tirus, cari nilai tepat (a) $\sin 2\theta$ , (b) $\cos 2\theta$ , (c) $\tan 2\theta$ .

Show worked solution

Cari $\cos\theta$ dahulu. Daripada segi tiga $3$ – $4$ – $5$ (bertentangan $4$ , hipotenus $5$ , bersebelahan $3$ ), dan oleh sebab $\theta$ tirus, $\cos\theta=\dfrac{3}{5}$ .

(a) Guna $\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ :

\sin 2\theta=2\left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{3}{5}\right)=\frac{24}{25}

(b) Guna $\cos 2\theta=1-2\sin^{2}\theta$ :

\cos 2\theta=1-2\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=1-\frac{32}{25}=-\frac{7}{25}

\tan 2\theta=\frac{24/25}{-7/25}=-\frac{24}{7}

Jawapan

(a) $\dfrac{24}{25}$ , (b) $-\dfrac{7}{25}$ , (c) $-\dfrac{24}{7}$ . Semak: $\sin^{2}2\theta+\cos^{2}2\theta=\dfrac{576}{625}+\dfrac{49}{625}=1$ .

$\cos 2\theta$ yang negatif memberitahu anda $2\theta$ cakah walaupun $\theta$ tirus.

Cara menilai diri seperti pemeriksa

Add Math dinilai secara analitik, bermakna markah dilekatkan pada langkah, bukan hanya pada nombor akhir. Apabila menyemak skrip sendiri, berikan markah kepada diri anda seperti seorang pemeriksa: cari sudut asas yang betul, sukuan yang tepat dipilih, penggunaan identiti yang kemas, dan setiap jawapan di dalam julat yang dinyatakan.

Markah nisbah: adakah anda menggunakan $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ atau segi tiga bersudut tegak dengan betul untuk mencari nisbah yang hilang?
Markah sukuan: adakah tanda nisbah menentukan sukuan yang betul, dan adakah anda menetapkan tanda jawapan akhir sewajarnya?
Markah sudut asas: adakah anda mencari sudut rujukan dahulu, kemudian membina jawapan sebagai $180^{\circ}\pm$ atau $360^{\circ}-$ sudut asas?
Markah identiti: dalam pembuktian, adakah anda mengubah satu sebelah sahaja dan mencapai sebelah yang lain, sambil menyebut setiap identiti yang digunakan?
Jika sudut asas anda betul tetapi anda tercicir satu jawapan dalam julat, berikan diri anda markah kaedah, itulah tepat yang dilakukan oleh pemeriksa sebenar.

Bagaimana guru membantu

Menilai diri sendiri amat berkuasa, tetapi sukar untuk melihat titik buta sendiri. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati baris tepat tempat markah tergelincir, memilih sukuan yang salah, terlupa penyelesaian kedua dalam julat, atau tersalah bentuk sudut berganda $\cos 2\theta$ yang hendak digunakan.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang menerangkan sebab di sebalik setiap identiti. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi kami pastikan tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya tahu sukuan mana yang memberi jawapan?

Tanda nisbah trigonometri yang menentukannya. Sin positif dalam sukuan pertama dan kedua; kos positif dalam sukuan pertama dan keempat; tan positif dalam sukuan pertama dan ketiga.

Cari sudut asas daripada nilai positif, kemudian letakkan jawapan dalam sukuan yang sepadan dengan tanda.

Bila saya tukar

\cos^{2}x

kepada

\sin x

(atau sebaliknya)?

Apabila persamaan mencampurkan nisbah berkuasa dua dengan nisbah berkuasa satu, guna $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ untuk menulis semuanya dalam satu nisbah. Itu mengubahnya menjadi kuadratik yang boleh difaktorkan.

Bentuk

\cos 2\theta

yang mana patut saya guna?

Ketiga-tiganya betul: $\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta$ , $1-2\sin^{2}\theta$ , dan $2\cos^{2}\theta-1$ . Pilih yang sepadan dengan nisbah yang sudah anda tahu, jika anda tahu $\sin\theta$ , guna $1-2\sin^{2}\theta$ .

Adakah jawapan akhir yang salah menyebabkan saya hilang setiap markah?

Tidak. Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, sudut asas yang betul dan penaakulan sukuan yang betul masih memperoleh markah walaupun anda tercicir satu penyelesaian.

Sentiasa tunjukkan sudut asas sebelum menyenaraikan jawapan dalam julat.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Fungsi Trigonometri, Soalan Latihan

Cara menggunakan soalan latihan ini

Enam soalan latihan

Cara menilai diri seperti pemeriksa

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?