概率分布例题（中等）| SPM Add Math

Q: 什么时候该用互补法则？

凡是问「至少一个」或「至少……」，互补通常最短。对「至少一个」，P(X≥1)=1−P(X=0)P(X\ge 1)=1-P(X=0)P(X≥1)=1−P(X=0) 用一项取代了一长串相加。

Q: 为什么 P(X=0)=q^{n}？

因为 nC0=1{}^{n}C_{0}=1nC0=1、p0=1p^{0}=1p0=1，公式 nC0 p0qn{}^{n}C_{0}\,p^{0}q^{n}nC0p0qn 收缩成 qnq^{n}qn， nnn 次试验必须次次失败。

Q: 跨越平均数的正态区间怎么处理？

把两端都标准化，再把两个左侧面积相减：P(Z<z2)−P(Z<z1)P(Z<z_{2})-P(Z<z_{1})P(Z<z2)−P(Z<z1)。不要把尾巴相加；这块区域是横跨中间的一整条带。

Q: 怎样由给定概率求边界？

把过程倒过来。先把概率化成左侧面积 P(Z<z)P(Z<z)P(Z<z)，从表里读出对应的 zzz，再解 z=X−μσz=\dfrac{X-\mu}{\sigma}z=σX−μ 求未知量。

这些例题涵盖什么

这三道中等例题比基础再往前一步。你会用互补法则合并二项概率来回答「至少一个」的问题，读一个跨越平均数的正态区间概率，并把一道正态问题倒过来做，由给定概率求未知的边界。

数字仍然干净，但每道题现在要两三个相扣的步骤，而不是一次查表。像之前一样，盖住解答，在纸上把整题做完，再逐行对照。

这里最重要的习惯，是在动计算器之前先定好方案，用哪条法则、朝哪个方向。由于采用分析式评分，把方案写成第一行，在算术开始之前就已经拿到方法分。

每道题读两遍，一遍看分布，一遍看它到底要哪个概率，其余自然水到渠成。

例题解析

三题全部做完。每题都先自己完整做一遍，再看解答，并留意先把方案说清楚，互补、跨越相减、还是倒查，如何让计算既短又准。

如何读标准正态分布表

标准正态分布表给出的是正 $z$ 的左侧面积 $P(Z<z)$ 。其余一切都由这一个事实推出：右尾是 $1-P(Z<z)$ ；负分数用对称性， $P(Z<-z)=1-P(Z<z)$ ；区间则是两个左侧面积之差。

随手画一条钟形曲线、把要求的区域涂上阴影，几乎能在所有符号错误发生之前就把它拦下。

Q1[4 marks]

随机变量 $X$ 服从二项分布， $n=6$ ， $p=0.2$ 。求 (a) $P(X=2)$ ，(b) $P(X\ge 1)$ 。

Show worked solution

(a) 由 $n=6$ 、 $p=0.2$ 、 $q=0.8$ ，用二项公式取 $r=2$ ：

P(X=2)={}^{6}C_{2}(0.2)^{2}(0.8)^{4}

P(X=2)=15\times 0.04\times 0.4096=0.24576

(b) 「至少一个」用互补最省事，因为 $P(X\ge 1)=1-P(X=0)$ 。先算 $P(X=0)$ ：

P(X=0)={}^{6}C_{0}(0.2)^{0}(0.8)^{6}=(0.8)^{6}=0.262144

P(X\ge 1)=1-0.262144=0.737856

两部分都建立在同样的三个数字 $n=6$ 、 $p=0.2$ 、 $q=0.8$ 上；变的只是 $r$ 的值，以及 (b) 部分选择走互补这条路。

答案

$P(X=2)=0.24576$ ， $P(X\ge 1)=0.737856$ 。互补省下不少功夫：直接把 $P(1)$ 到 $P(6)$ 相加要算六项，而这里只算一项。

Q2[4 marks]

连续随机变量 $X$ 服从正态分布，平均数为 $60$ ，标准差为 $10$ 。求 $P(50<X<75)$ 。

Show worked solution

用 $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ （ $\mu=60$ 、 $\sigma=10$ ）把两个边界都标准化：

Z_{1}=\frac{50-60}{10}=-1,\qquad Z_{2}=\frac{75-60}{10}=1.5

该区间跨越平均数，所以 $P(50<X<75)=P(-1<Z<1.5)=P(Z<1.5)-P(Z<-1)$ 。查得 $P(Z<1.5)=0.9332$ ，负分数用对称性： $P(Z<-1)=1-P(Z<1)=1-0.8413=0.1587$ ：

P(50<X<75)=0.9332-0.1587=0.7745

随手一画就能看清这个相减：把从 $Z=-1$ 到 $Z=1.5$ 的带涂上阴影，它的面积就是较大的左侧面积减去较小的那个。

答案

$P(50<X<75)=0.7745$ 。两个边界落在平均数两侧，所以是两个左侧面积相减，而不是把两个尾巴相加。

Q3[3 marks]

随机变量 $X$ 服从正态分布，平均数为 $70$ ，标准差为 $12$ 。已知 $P(X>k)=0.0668$ ，求 $k$ 。

Show worked solution

先把概率化成 $Z$ 分数。由于表给的是左侧面积，把右尾改写： $P(Z>z)=0.0668$ 意味 $P(Z<z)=1-0.0668=0.9332$ 。

查表得 $P(Z<1.5)=0.9332$ ，所以 $z=1.5$ 。

再把标准化倒回去， $z=\dfrac{k-\mu}{\sigma}$ ，解出 $k$ ：

1.5=\frac{k-70}{12}

k-70=1.5\times 12=18 \;\Rightarrow\; k=88

倒做正态问题总是遵循同一顺序，概率、左侧面积、 $z$ 、再到 $X$ ，这正是把正向过程从右往左读一遍。

答案

$k=88$ 。检验： $Z=\dfrac{88-70}{12}=1.5$ ， $P(Z>1.5)=1-0.9332=0.0668$ ，与题设一致。

留意三题里同一个决定：在任何计算之前，你先选好了路线，互补、跨越相减、或倒查。在概率分布里，方案就是大部分的分数；计算器只是把方案开的头收个尾。

要避开的常见失误

这些中等题上反复出现两种失误。其一是把一长串二项概率相加，其实互补 $1-P(X=0)$ 一行就够。

其二是把跨越平均数的区间当成一条尾巴，当两个边界落在平均数两侧时要减两个左侧面积，而负分数仍需要对称性那一步。先定好路线，两者都能避开。

Q4[3 marks]

某种子发芽的概率为 $0.4$ 。一位园丁种下 $n=10$ 颗这样的种子， $X$ 为发芽的颗数。

求 $X$ 的平均数与方差，并由此写出其标准差。

Show worked solution

$X$ 服从二项分布， $n=10$ 、 $p=0.4$ 、 $q=0.6$ 。二项变量的平均数为 $E(X)=np$ ：

E(X)=10\times 0.4=4

方差为 $Var(X)=npq$ ：

Var(X)=10\times 0.4\times 0.6=2.4

标准差是方差的正平方根：

\sigma=\sqrt{2.4}=1.549\text{（4 位有效数字）}

答案

平均数 $=4$ ，方差 $=2.4$ ，标准差 $\approx 1.549$ 。检验： $10$ 颗种子中平均 $4$ 颗发芽，正好对应 $p=0.4$ ，即 $40\%$ ，与预期一致。

Q5[4 marks]

某测验中学生的成绩服从正态分布，平均数为 $100$ ，标准差为 $15$ 。求 $P(115<X<130)$ 。

Show worked solution

用 $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ （ $\mu=100$ 、 $\sigma=15$ ）把两个边界都标准化：

Z_{1}=\frac{115-100}{15}=1,\qquad Z_{2}=\frac{130-100}{15}=2

两个边界都在平均数之上，所以两个 $Z$ 分数都是正的；做法仍是两个左侧面积相减， $P(115<X<130)=P(Z<2)-P(Z<1)$ 。查表得 $P(Z<2)=0.9772$ ， $P(Z<1)=0.8413$ ：

P(115<X<130)=0.9772-0.8413=0.1359

由于没有边界落在平均数之下，这里不需要对称性那一步，只是相减。

答案

$P(115<X<130)=0.1359$ 。检验：两个成绩都高于平均数，概率应远小于 $0.5$ ，而 $0.1359$ 正是如此。

Q6[3 marks]

一名篮球员投 $n=4$ 次罚球，每次命中的概率都是相同的 $p$ ，且各次独立。设 $X$ 为命中的次数。

已知 $P(X=4)=0.0625$ ，求 $p$ 的值。

Show worked solution

当每次都命中时， $r=n=4$ ，由于 ${}^{4}C_{4}=1$ 、 $q^{0}=1$ ，二项公式化简为：

P(X=4)={}^{4}C_{4}p^{4}q^{0}=p^{4}

令它等于给定的概率，解出 $p$ ：

p^{4}=0.0625 \;\Rightarrow\; p=\sqrt[4]{0.0625}=0.5

答案

$p=0.5$ 。检验： $0.5^{4}=0.0625$ ，与给定概率一致，且数值介于 $0$ 与 $1$ 之间，符合概率的要求。

Q7[3 marks]

随机变量 $X$ 服从正态分布，平均数为 $50$ 。已知 $P(X<65)=0.8413$ ，求标准差 $\sigma$ 。

Show worked solution

把给定的概率化成 $Z$ 分数。查表得 $P(Z<1)=0.8413$ ，所以边界 $X=65$ 对应 $Z=1$ 。

接着用标准化公式 $z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ （ $X=65$ 、 $\mu=50$ ），解出 $\sigma$ ：

1=\frac{65-50}{\sigma}

\sigma=\frac{15}{1}=15

答案

$\sigma=15$ 。检验： $Z=\dfrac{65-50}{15}=1$ ， $P(Z<1)=0.8413$ ，与题设一致。

Q8[4 marks]

某校有 $200$ 名学生，每名学生完成一道拼图所需的时间（分钟）服从正态分布，平均数为 $65$ ，标准差为 $8$ 。求预计所需时间超过 $77$ 分钟的学生人数。

Show worked solution

用 $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ （ $\mu=65$ 、 $\sigma=8$ ）标准化边界：

Z=\frac{77-65}{8}=1.5

这是右尾，所以 $P(X>77)=1-P(Z<1.5)$ 。查表得 $P(Z<1.5)=0.9332$ ，再乘以总人数 $200$ 就得到预计人数：

P(X>77)=1-0.9332=0.0668, \qquad 200\times 0.0668=13.36

答案

预计约有 $13$ 名学生（ $13.36$ 取整为整数人）所需时间超过 $77$ 分钟。检验： $0.0668$ 是一个很小的尾部概率，所以 $200$ 名学生中只有小部分，而不是一半，所需时间会超过 $77$ 分钟。

关键方法要点

这三道例题训练中等题所要求的相扣步骤思路。多做练习时，记住以下几点。

「至少一个」用互补： $P(X\ge 1)=1-P(X=0)$ 。
$P(X=0)=q^{n}$ ，因为 ${}^{n}C_{0}=1$ 、 $p^{0}=1$ 。
正态区间跨越平均数时，两个左侧面积相减： $P(a<X<b)=P(Z<z_{2})-P(Z<z_{1})$ 。
负分数用对称性： $P(Z<-z)=1-P(Z<z)$ 。
倒做正态问题：先把概率化成左侧面积，读出 $Z$ 分数，再解 $z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ 。
分析式评分对每个正确步骤都给分，所以即使最后数值出错，也要写出标准化那一行。

老师如何帮忙

中等题奖励的是规划，而这正是我们训练的重点。动任何数字之前，老师会让学生把路线说出声，互补、两面积相减、还是倒推标准化，因为把方案说清楚，能防住最常见的错误：解错了要求的量。

一对一时，我们能在符号或查表出错的那一行停下来当场纠正。我们的老师经验丰富。

课程以英语授课；SPM 试卷以马来文和英文双语命题，所以符号在两种版本里都一样熟悉。

获取一对一辅导。

预约试课

常见问题

什么时候该用互补法则？

凡是问「至少一个」或「至少……」，互补通常最短。对「至少一个」， $P(X\ge 1)=1-P(X=0)$ 用一项取代了一长串相加。

为什么

P(X=0)=q^{n}

？

因为 ${}^{n}C_{0}=1$ 、 $p^{0}=1$ ，公式 ${}^{n}C_{0}\,p^{0}q^{n}$ 收缩成 $q^{n}$ ， $n$ 次试验必须次次失败。

跨越平均数的正态区间怎么处理？

把两端都标准化，再把两个左侧面积相减： $P(Z<z_{2})-P(Z<z_{1})$ 。不要把尾巴相加；这块区域是横跨中间的一整条带。

怎样由给定概率求边界？

把过程倒过来。先把概率化成左侧面积 $P(Z<z)$ ，从表里读出对应的 $z$ ，再解 $z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ 求未知量。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

概率分布，例题（中等）

这些例题涵盖什么

例题解析

关键方法要点

老师如何帮忙

常见问题

准备好开始了吗？