概率分布，SPM 高级数学（中五）

概率分布属于中五高级数学课程里的统计学习领域。本章把日常的“机会”概念，会不会下雨、一盒灯泡里有几个坏的、随机抽到的一名学生有多高，变成一种精确的数学语言。

你不再一次只看一个结果，而是把所有可能的取值连同它们的概率作为一个整体来描述，这个整体就叫做概率分布。

本章有三项内容标准，层层递进。首先你学习随机变量的意义，以及离散分布如何用表格或图形来呈现；接着学习二项分布，也就是固定次数、相互独立的“是/否”试验模型，它会用到排列与组合里的 ${}^{n}C_{r}$ 记号；最后认识正态分布，即连续测量所用的钟形模型，以及能把任何正态问题化成查一张表就能读出答案的标准分。

对许多学生来说，这是中五里较为友善的一章，因为运算很有系统：先判断是哪一种分布，写下它的参数，代入公式，再结合情境解释答案。真正的功夫在于把冗长的题目读得够仔细，从而选对模型和对的不等号。

我们的老师把它当作一个清晰的判断流程来教，而不是一堆零散的技巧。

顺带说明，我们的课以英文授课，而 SPM 试卷以国文／英文双语命题。这表示你会同时熟悉两种语言的概率分布术语，也能用你最有把握的语言作答。

以下是本章的三项 DSKP 内容标准，以及每一项要求你能够做到的事。下面的代号是课程里的官方标准代号。

这三项标准从一般概念（随机变量及其分布）走向两个你会反复使用的有名模型，数成功次数用二项，连续测量用正态。复习时不断问自己：这道题属于三者中的哪一个？

先说出标准，方法几乎就自动浮现了。

1. 随机变量把结果变成数字

随机变量是一条规则，为一次实验的每个结果指定一个数字。我们用大写字母例如 $X$ 来表示它，用小写字母 $x$ 表示它可以取的某个值。

例如，若 $X$ 是三次掷币中出现正面的次数，那么 $X$ 可以是 0、1、2 或 3。

2. 离散和连续并不相同

离散随机变量取的是可数的、彼此分开的值，例如一个样本里有缺陷的物品数目。连续随机变量可以取一个区间里的任何值，例如 40 kg 到 60 kg 之间的质量。

集合建构记号能把差别写清楚：$X=\{x:x=0,1,2,3\}$ 是离散的，而 $X=\{x:x\text{ 是以 cm 为单位的身高},\,150<x<180\}$ 是连续的。

3. 每个离散分布的概率合计为一

当你把离散随机变量列成表格时，它所有可能取值的概率必须刚好加起来等于 1。这是最有用的自我检查：建好表格，把概率相加，如果总和不是 1，就表示你漏了一个结果或算错了。

$$\sum P(X=x) = 1$$

4. 二项分布有四个条件

一个情境只有在四个条件同时成立时才是二项的：有固定的试验次数 $n$；每次试验只有两种结果，成功或失败；各次试验相互独立；而且成功的概率 $p$ 在每次试验中保持不变。失败的概率是 $q=1-p$。

5. 二项概率公式是给你的

$$P(X=r) = {}^{n}C_{r}\,p^{r}q^{\,n-r},\quad p+q=1$$

这里 $n$ 是试验次数，$r$ 是你要求的成功次数，$p$ 是成功概率，$q$ 是失败概率。遇到“至少两次”这类说法时，你要把有关的项相加；遇到“至多”时，用 $1$ 减去不需要的项往往最快。

6. 二项的平均数与离散程度要熟记

$$\mu = np, \qquad \sigma^{2} = npq, \qquad \sigma = \sqrt{npq}$$

平均数 $np$ 是把实验重复很多次后，你平均可以预期的成功次数。方差是 $npq$，标准差是它的平方根。

一个常见的陷阱是写成 $\sigma=npq$；标准差其实是 $\sqrt{npq}$。

7. 正态分布用来描述连续数据

正态分布是一条连续的钟形曲线，关于它的平均数 $\mu$ 对称，离散程度由标准差 $\sigma$ 决定。曲线下的总面积是 1，而曲线下的一块面积代表一个概率。

身高、质量和考试分数等真实测量常用这种模型来描述。

8. 先用 Z 分数标准化，再查表

$$Z = \dfrac{X-\mu}{\sigma}$$

要求正态概率，你先把原始值 $X$ 换成标准分 $Z$，它服从平均数为 0、标准差为 1 的标准正态分布。接着从标准正态分布表读出所需的面积。

由于表格给的是一侧的面积，画一个钟形曲线草图能帮你判断该加、该减，还是用对称性。

9. 两个方向都要会查表

大多数题目给你一个数值，要你求概率；但有些题目给你概率，要你求 $Z$ 或 $X$ 的值。能够反过来做，从面积求出 $Z$ 分数，再用 $X=\mu+Z\sigma$ 求出 $X$，是课程特别要求的技能，所以要刻意练习。

附加数学以两份笔试卷来评估，概率分布在任一份都可能出现。由于这个课题既提供快速的技巧题，也提供完整的应用题，你要在每个难度层次上都做好准备。

试卷一（3472/1）历时 2小时，共 80分。甲组有 12题，共 64分，全部作答；乙组有 3题，共 16分，从中选做 2题。

试卷一的题目通常较短，干净利落地考一项技能，例如从分布表读出概率，或一步到位的二项计算。

试卷二（3472/2）历时 2小时30分钟，共 100分，分为三个部分。A 部分有 7题，共 50分（全部作答）；B 部分有 4题，共 30分（选做 3题）；C 部分有 4题，共 20分（选做 2题）。

B、C 部分较长的题目给了本章空间，让它以带情境的问题出现，一个质量管控样本、一组考试分数，你要先建立模型，再动手计算。

在两份卷子里，题目都是有限作答的主观题，采用分析式评分，因此即使后面算错影响了最终答案，每一个正确步骤仍能拿到它的方法分，这正是我们坚持写出完整步骤的原因。你可以使用不可编程的科学计算器。

整卷的难度比例是 低 : 中 : 高 = 5 : 3 : 2，所以大部分分数奖励的是细心的标准方法。

以下是学生初学概率分布时，我们最常纠正的错误。

1. 把“至少”“至多”译成错误的和

“至少 2”指 $P(X\ge 2)$，“至多 2”指 $P(X\le 2)$，两者需要的和很不一样。纠正：在动计算器之前先把不等号用符号写出来，并记住“至少一次”通常用 $P(X\ge 1)=1-P(X=0)$ 最快。

2. 忘了 $q=1-p$

学生有时把 $p$ 代到 $q$ 的位置，于是把 0.3 的成功概率也当成失败概率来用。纠正：一开始就把 $p$ 和 $q=1-p$ 都写下来，代入前先检查两者相加为 1。

3. 混淆二项的平均数与方差

很容易把 $np$ 和 $npq$ 搞混，或把标准差写成 $npq$ 而不是 $\sqrt{npq}$。纠正：清楚标注，平均数 $=np$，方差 $=npq$，标准差 $=\sqrt{npq}$，并把开平方留到最后一步。

4. 没有标准化就查正态表

标准正态表只对 $Z$ 有效，对原始值 $X$ 无效。纠正：永远先算 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$，再查 $Z$；绝不要把像 63 kg 这样的值直接送进表里。

5. 求“大于”的面积时不画图

由于表格给的是一侧的面积，学生常常忘了“大于”的概率要用 1 去减，或忘了对负的 $Z$ 用对称性。纠正：快速画一条钟形曲线，把要求的区域涂上阴影，读任何数字之前先决定要加、要减还是要反射。

6. 把连续数据当成离散来处理

把二项公式用在连续测量上，或试着为连续变量逐一列出概率，都行不通。纠正：先判断变量是可数的（离散，通常是二项），还是某个刻度上的测量（连续，通常是正态），再选对应的模型。

一个可靠的进攻顺序，每个阶段为下一个阶段打底，所以别急着跳级。多数在这里吃力的学生并不是没懂概念，而是跳过了让“选对模型”变成本能的重复练习。

1. 1

   分清三种模型

   做一张总结表，写下每种分布，离散分布表、二项、正态，各自适用的情境和所需公式。懂得该用哪个模型，已经是一半的分数。

2. 2

   掌握离散分布表

   反复建立概率分布表，直到 $\sum P(X=x)=1$ 的检查变成本能，并练习画出对应的条形图。

3. 3

   勤练二项

   辨认 $n$、$p$ 和 $q$，把文字译成对的不等号，再算出概率以及平均数、方差和标准差。

4. 4

   熟练使用 Z 表

   用 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ 标准化，两个方向都练习查标准正态表，并始终配一张涂了阴影的草图。

5. 5

   用完整限时题收尾

   在限时内做混合的考试式题目，写出每一步，让分析式评分方案奖励你的方法。

本章的配套资源可以这样用：

• 复习笔记
• 常见错误
• 练习题
• 试卷二作答指南
• 重要术语
• 例题解析，简单
• 例题解析，中等
• 例题解析，KBAT