Taburan Kebarangkalian, Matematik Tambahan SPM Tingkatan 5

Taburan Kebarangkalian terletak dalam bidang pembelajaran Statistik silibus Matematik Tambahan Tingkatan 5. Bab ini mengambil idea harian tentang kebarangkalian, sama ada hujan akan turun, berapa banyak mentol dalam sekotak yang rosak, berapa tinggi seorang murid yang dipilih secara rawak, dan memberi anda cara yang tepat untuk memerihalkannya.

Daripada melihat satu hasil pada satu masa, anda memerihalkan keseluruhan corak nilai yang mungkin berserta kebarangkaliannya. Corak itulah yang kita panggil taburan kebarangkalian.

Bab ini mempunyai tiga standard kandungan yang saling membina. Mula-mula anda mempelajari maksud pemboleh ubah rawak dan cara sesuatu taburan diskret disusun sebagai jadual atau graf.

Kemudian anda mengkaji taburan binomial, iaitu model bagi bilangan cubaan bebas ya/tidak yang tetap, yang menggunakan semula tatatanda ${}^{n}C_{r}$ daripada bab Pilih Atur dan Gabungan. Akhirnya anda berkenalan dengan taburan normal, model berbentuk loceng bagi ukuran selanjar, dan skor piawai yang menukar mana-mana soalan normal kepada soalan yang boleh dibaca daripada satu jadual.

Bagi ramai murid, ini antara bab Tingkatan 5 yang lebih mesra, kerana kerja pengiraannya sistematik: kenal pasti taburan, catat parameternya, gantikan ke dalam rumus, kemudian tafsir jawapan mengikut konteks. Kemahiran sebenar ialah membaca soalan yang panjang dengan teliti supaya anda memilih model dan ketaksamaan yang betul, dan guru kami menyampaikannya sebagai proses membuat keputusan yang jelas, bukan himpunan helah.

Sebagai makluman, kelas kami disampaikan dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan secara dwibahasa (BM/EN). Ini bermakna anda membiasakan diri dengan istilah taburan kebarangkalian dalam kedua-dua bahasa dan boleh menjawab kertas dalam bahasa yang anda paling selesa.

Berikut ialah tiga standard kandungan DSKP bagi bab ini, berserta apa yang perlu anda boleh lakukan. Kod di bawah ialah kod standard rasmi daripada silibus.

Ketiga-tiga standard bergerak daripada idea umum (pemboleh ubah rawak dan taburannya) kepada dua model bernama yang akan anda guna berulang kali, binomial bagi kejayaan yang dibilang dan normal bagi ukuran selanjar. Semasa mengulang kaji, sentiasa tanya soalan itu tergolong dalam yang mana; menamakan standard dahulu menjadikan kaedah hampir automatik.

1. Pemboleh ubah rawak menukar hasil kepada nombor

Pemboleh ubah rawak ialah peraturan yang mengumpukkan satu nombor kepada setiap hasil sesuatu eksperimen. Kita menulisnya dengan huruf besar seperti $X$, dan nilai tertentu yang boleh diambilnya dengan huruf kecil, $x$.

Contohnya, jika $X$ ialah bilangan kepala dalam tiga lambungan syiling, maka $X$ boleh menjadi 0, 1, 2 atau 3.

2. Diskret dan selanjar tidak sama

Pemboleh ubah rawak diskret mengambil nilai berasingan yang boleh dibilang, seperti bilangan barang rosak dalam satu sampel. Pemboleh ubah rawak selanjar boleh mengambil sebarang nilai dalam satu selang, seperti jisim antara 40 kg dan 60 kg.

Tatatanda pembina set menjelaskan perbezaan itu: $X=\{x:x=0,1,2,3\}$ adalah diskret, manakala $X=\{x:x\text{ ialah tinggi dalam cm},\,150<x<180\}$ adalah selanjar.

3. Setiap taburan diskret berjumlah satu

Apabila anda menjadualkan pemboleh ubah rawak diskret, kebarangkalian bagi semua nilainya yang mungkin mesti berjumlah tepat 1. Ini semakan yang paling berguna: bina jadual, tambah kebarangkaliannya, dan jika jumlahnya bukan 1 bermakna anda terlepas satu hasil atau tersilap kira.

$$\sum P(X=x) = 1$$

4. Taburan binomial mempunyai empat syarat

Sesuatu situasi adalah binomial hanya apabila keempat-empat syarat dipenuhi: terdapat bilangan cubaan yang tetap $n$; setiap cubaan mempunyai dua hasil sahaja, kejayaan atau kegagalan; cubaan itu bebas; dan kebarangkalian kejayaan $p$ adalah malar dari satu cubaan ke satu cubaan. Kebarangkalian kegagalan ialah $q=1-p$.

5. Rumus kebarangkalian binomial diberikan kepada anda

$$P(X=r) = {}^{n}C_{r}\,p^{r}q^{\,n-r},\quad p+q=1$$

Di sini $n$ ialah bilangan cubaan, $r$ bilangan kejayaan yang dikehendaki, $p$ kebarangkalian kejayaan dan $q$ kebarangkalian kegagalan. Bagi ungkapan seperti 'sekurang-kurangnya dua' anda menambah sebutan yang berkaitan, dan bagi 'paling banyak' selalunya lebih pantas menggunakan $1$ tolak sebutan yang tidak dikehendaki.

6. Hafal min dan serakan binomial

$$\mu = np, \qquad \sigma^{2} = npq, \qquad \sigma = \sqrt{npq}$$

Min $np$ ialah bilangan kejayaan yang anda jangka secara purata jika eksperimen diulang banyak kali. Variansnya $npq$ dan sisihan piawainya ialah punca kuasa duanya.

Perangkap biasa ialah menulis $\sigma=npq$; sisihan piawai sebenarnya $\sqrt{npq}$.

7. Taburan normal memodelkan data selanjar

Taburan normal ialah lengkung selanjar berbentuk loceng yang simetri terhadap minnya $\mu$, dengan serakannya dikawal oleh sisihan piawai $\sigma$. Jumlah luas di bawah lengkung ialah 1, dan luas di bawah lengkung mewakili kebarangkalian.

Ukuran sebenar seperti tinggi, jisim dan markah sering dimodelkan begini.

8. Piawaikan dengan skor Z, kemudian baca jadual

$$Z = \dfrac{X-\mu}{\sigma}$$

Untuk mencari kebarangkalian normal, anda mula-mula menukar nilai mentah $X$ kepada skor piawai $Z$, yang mengikut taburan normal piawai dengan min 0 dan sisihan piawai 1. Kemudian anda membaca luas yang diperlukan daripada jadual taburan normal piawai.

Oleh sebab jadual memberi satu hujung, satu lakaran lengkung loceng membantu anda memutuskan sama ada hendak menambah, menolak atau menggunakan simetri.

9. Baca jadual dalam dua arah

Kebanyakan soalan memberi anda satu nilai dan meminta kebarangkalian, tetapi ada yang memberi kebarangkalian dan meminta nilai $Z$ atau $X$. Keupayaan bekerja ke belakang, daripada luas kepada skor $Z$, kemudian kepada $X$ menggunakan $X=\mu+Z\sigma$, ialah kemahiran yang memang dituntut silibus, jadi berlatihlah dengan sengaja.

Matematik Tambahan dinilai melalui dua kertas bertulis, dan Taburan Kebarangkalian boleh muncul dalam mana-mana satu. Oleh sebab topik ini membekalkan soalan teknik yang pantas dan juga masalah aplikasi penuh, anda perlu bersedia untuknya pada setiap aras kesukaran.

Kertas 1 (3472/1) mengambil masa 2 jam dan membawa 80 markah. Bahagian A mempunyai 12 soalan bernilai 64 markah yang anda jawab semua, dan Bahagian B mempunyai 3 soalan bernilai 16 markah, anda pilih untuk menjawab dua.

Item Kertas 1 cenderung lebih pendek dan menguji satu kemahiran dengan bersih, seperti membaca kebarangkalian daripada jadual taburan atau pengiraan binomial satu langkah.

Kertas 2 (3472/2) mengambil masa 2 jam 30 minit dan membawa 100 markah merentas tiga bahagian. Bahagian A mempunyai 7 soalan bernilai 50 markah (jawab semua), Bahagian B mempunyai 4 soalan bernilai 30 markah (jawab tiga), dan Bahagian C mempunyai 4 soalan bernilai 20 markah (jawab dua).

Soalan yang lebih panjang dalam Bahagian B dan C memberi bab ini ruang untuk muncul sebagai masalah berkonteks, satu sampel kawalan mutu, satu set markah peperiksaan, yang perlu anda modelkan dahulu sebelum mengira.

Dalam kedua-dua kertas, item ialah soalan subjektif respons terhad yang diperiksa secara permarkahan analitik, jadi setiap langkah yang betul memperoleh markah kaedahnya walaupun tersilap kemudian menjejaskan jawapan akhir, sebab itulah kami menegaskan kerja penuh. Anda boleh menggunakan kalkulator saintifik yang tak boleh atur cara.

Nisbah kesukaran keseluruhan ialah Rendah : Sederhana : Tinggi = 5 : 3 : 2, jadi kebanyakan markah memberi ganjaran kepada kaedah biasa yang teliti.

Inilah kesilapan yang paling kerap kami betulkan apabila murid mula-mula mempelajari Taburan Kebarangkalian.

1. Menterjemah 'sekurang-kurangnya' dan 'paling banyak' kepada hasil tambah yang salah

'Sekurang-kurangnya 2' bermaksud $P(X\ge 2)$ manakala 'paling banyak 2' bermaksud $P(X\le 2)$, dan kedua-duanya memerlukan hasil tambah yang sangat berbeza. Betulkan: tulis ketaksamaan dalam simbol sebelum menyentuh kalkulator, dan ingat bahawa $P(X\ge 1)=1-P(X=0)$ selalunya jalan terpantas bagi 'sekurang-kurangnya satu'.

2. Terlupa bahawa $q=1-p$

Ada kalanya murid menggantikan $p$ di tempat $q$, jadi kebarangkalian kejayaan 0.3 digunakan juga sebagai kebarangkalian kegagalan. Betulkan: catat kedua-dua $p$ dan $q=1-p$ pada awal sekali, dan semak jumlahnya 1 sebelum menggantikan.

3. Mengelirukan min binomial dengan variansnya

Mudah bercampur aduk antara $np$ dan $npq$, atau menulis sisihan piawai sebagai $npq$ dan bukan $\sqrt{npq}$. Betulkan: labelkan dengan jelas, min $=np$, varians $=npq$, sisihan piawai $=\sqrt{npq}$, dan ambil punca kuasa dua pada akhir.

4. Membaca jadual normal tanpa memiawaikan

Jadual normal piawai hanya berfungsi bagi $Z$, bukan bagi nilai mentah $X$. Betulkan: sentiasa kira $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ dahulu, kemudian cari $Z$; jangan sekali-kali memasukkan nilai seperti 63 kg terus ke dalam jadual.

5. Tidak melakar bagi luas 'lebih daripada'

Oleh sebab jadual memberi luas dalam satu hujung, murid sering terlupa menolak daripada 1 bagi kebarangkalian 'lebih daripada', atau menggunakan simetri bagi $Z$ negatif. Betulkan: lukis lengkung loceng ringkas, lorekkan kawasan yang dikehendaki, dan putuskan sama ada hendak menambah, menolak atau memantulkan sebelum membaca sebarang nombor.

6. Menganggap data selanjar seolah-olah diskret

Menggunakan rumus binomial pada ukuran selanjar, atau cuba menyenaraikan kebarangkalian berasingan bagi pemboleh ubah selanjar, tidak membawa ke mana-mana. Betulkan: putuskan dahulu sama ada pemboleh ubah boleh dibilang (diskret, selalunya binomial) atau ukuran pada satu skala (selanjar, selalunya normal), dan pilih model yang sepadan.

Satu susunan serangan yang boleh dipercayai, setiap peringkat menyediakan asas untuk yang seterusnya, jadi jangan melangkau ke hadapan. Kebanyakan murid yang bergelut di sini bukan terlepas konsep; mereka melangkau pengulangan yang menjadikan pemilihan model yang betul automatik.

1. 1

   Asingkan tiga model

   Buat satu helaian ringkasan yang menamakan setiap taburan, jadual diskret, binomial, normal, dengan situasi yang sepadan dan rumus yang diperlukan. Tahu model mana hendak dicapai ialah separuh daripada markah.

2. 2

   Kuasai jadual diskret

   Bina jadual taburan kebarangkalian sehingga semakan $\sum P(X=x)=1$ menjadi automatik, dan berlatih melukis graf bar yang sepadan.

3. 3

   Latih tubi binomial

   Kenal pasti $n$, $p$ dan $q$, terjemah ayat kepada ketaksamaan yang betul, kemudian kira kebarangkalian serta min, varians dan sisihan piawai.

4. 4

   Fasih dengan jadual Z

   Piawaikan dengan $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ dan baca jadual normal piawai dalam dua arah, sentiasa dengan lakaran berlorek sebagai panduan.

5. 5

   Tamatkan dengan soalan penuh bermasa

   Selesaikan masalah bercampur bergaya peperiksaan dalam masa terhad, menulis setiap langkah supaya skema permarkahan analitik memberi ganjaran kepada kaedah anda.

Gunakan sumber sokongan berikut untuk bab ini:

• Nota Ulang Kaji
• Kesilapan Lazim
• Soalan Latihan
• Panduan Menjawab Kertas 2
• Istilah Utama
• Contoh Berjawab, Mudah
• Contoh Berjawab, Sederhana
• Contoh Berjawab, KBAT