Taburan Kebarangkalian Contoh (Sederhana)

Q: Bilakah saya patut guna petua pelengkap?

Setiap kali soalan meminta 'sekurang-kurangnya satu' atau 'sekurang-kurangnya ...', pelengkap biasanya paling pendek. Bagi 'sekurang-kurangnya satu', P(X≥1)=1−P(X=0)P(X\ge 1)=1-P(X=0)P(X≥1)=1−P(X=0) menggantikan hasil tambah panjang dengan satu sebutan.

Q: Mengapa P(X=0)=q^{n}?

Oleh sebab nC0=1{}^{n}C_{0}=1nC0=1 dan p0=1p^{0}=1p0=1, rumus nC0 p0qn{}^{n}C_{0}\,p^{0}q^{n}nC0p0qn menyusut menjadi qnq^{n}qn, setiap satu daripada nnn percubaan mesti gagal.

Q: Bagaimana saya mengendalikan selang normal yang melintasi min?

Piawaikan kedua-dua hujung, kemudian tolak dua luas kiri: P(Z<z2)−P(Z<z1)P(Z<z_{2})-P(Z<z_{1})P(Z<z2)−P(Z<z1). Jangan tambah hujung; rantau itu satu jalur tunggal merentasi tengah.

Q: Bagaimana saya mencari sempadan daripada kebarangkalian yang diberi?

Songsangkan prosesnya. Tukar kebarangkalian kepada luas kiri P(Z<z)P(Z<z)P(Z<z), baca zzz yang sepadan daripada jadual, kemudian selesaikan z=X−μσz=\dfrac{X-\mu}{\sigma}z=σX−μ bagi yang tidak diketahui.

Apa yang diliputi contoh ini

Tiga contoh sederhana ini menolak sedikit melepasi asas. Anda akan menggabungkan kebarangkalian binomial menggunakan petua pelengkap untuk menjawab soalan 'sekurang-kurangnya satu', membaca kebarangkalian normal merentasi selang yang merentangi min, dan mengerjakan masalah normal secara songsang untuk mencari sempadan yang tidak diketahui daripada kebarangkalian yang diberi.

Nombornya kekal kemas, tetapi setiap soalan kini meminta dua atau tiga langkah berkait, bukan satu bacaan tunggal. Seperti biasa, tutup penyelesaian, cuba keseluruhan soalan di atas kertas, kemudian semak baris demi baris.

Tabiat paling penting di sini ialah menentukan rancangan anda, petua mana, arah mana, sebelum anda menyentuh kalkulator. Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, menulis rancangan itu sebagai baris pertama anda sudah memperoleh markah kaedah, sebelum aritmetik bermula lagi.

Baca setiap soalan dua kali, sekali untuk taburan, sekali untuk kebarangkalian tepat yang dikehendakinya, dan selebihnya akan menyusul.

Contoh kerja

Kerjakan ketiga-tiganya. Cuba setiap satu sepenuhnya sebelum membaca penyelesaian, dan perhatikan bagaimana menamakan rancangan dahulu, pelengkap, rentang-dan-tolak, atau bacaan songsang, yang memastikan kerja pendek dan betul.

Membaca jadual normal piawai

Jadual taburan normal piawai memberi luas sebelah kiri $P(Z<z)$ bagi $z$ positif. Segala-galanya yang lain dibina daripada satu fakta itu: hujung kanan ialah $1-P(Z<z)$ ; skor negatif menggunakan kesimetrian, $P(Z<-z)=1-P(Z<z)$ ; dan selang ialah beza dua luas kiri.

Melakar lengkung loceng ringkas dan melorekkan rantau yang anda mahu menghentikan hampir setiap kesilapan tanda sebelum ia bermula.

Q1[4 marks]

Suatu pemboleh ubah rawak $X$ mengikut taburan binomial dengan $n=6$ dan $p=0.2$ . Cari (a) $P(X=2)$ , dan (b) $P(X\ge 1)$ .

Show worked solution

(a) Dengan $n=6$ , $p=0.2$ dan $q=0.8$ , gunakan rumus binomial dengan $r=2$ :

P(X=2)={}^{6}C_{2}(0.2)^{2}(0.8)^{4}

P(X=2)=15\times 0.04\times 0.4096=0.24576

(b) 'Sekurang-kurangnya satu' paling mudah melalui pelengkap, kerana $P(X\ge 1)=1-P(X=0)$ . Kira $P(X=0)$ dahulu:

P(X=0)={}^{6}C_{0}(0.2)^{0}(0.8)^{6}=(0.8)^{6}=0.262144

P(X\ge 1)=1-0.262144=0.737856

Kedua-dua bahagian bergantung pada tiga nombor yang sama $n=6$ , $p=0.2$ dan $q=0.8$ ; hanya nilai $r$ yang berubah, dan dalam bahagian (b) keputusan untuk bekerja melalui pelengkap.

Jawapan

$P(X=2)=0.24576$ dan $P(X\ge 1)=0.737856$ . Pelengkap menjimatkan kerja: menambah $P(1)$ hingga $P(6)$ secara terus mengambil enam sebutan, bukan satu.

Q2[4 marks]

Suatu pemboleh ubah rawak selanjar $X$ tertabur secara normal dengan min $60$ dan sisihan piawai $10$ . Cari $P(50<X<75)$ .

Show worked solution

Piawaikan kedua-dua sempadan dengan $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ , menggunakan $\mu=60$ dan $\sigma=10$ :

Z_{1}=\frac{50-60}{10}=-1,\qquad Z_{2}=\frac{75-60}{10}=1.5

Selang ini merentangi min, jadi $P(50<X<75)=P(-1<Z<1.5)=P(Z<1.5)-P(Z<-1)$ . Baca $P(Z<1.5)=0.9332$ , dan guna kesimetrian bagi skor negatif, $P(Z<-1)=1-P(Z<1)=1-0.8413=0.1587$ :

P(50<X<75)=0.9332-0.1587=0.7745

Lakaran ringkas menjadikan penolakan ini jelas: lorekkan jalur dari $Z=-1$ ke $Z=1.5$ , dan luasnya ialah luas kiri yang lebih besar tolak yang lebih kecil.

Jawapan

$P(50<X<75)=0.7745$ . Kedua-dua sempadan berada di sisi bertentangan min, sebab itulah kita menolak dua luas kiri, bukan menambah hujung.

Q3[3 marks]

Suatu pemboleh ubah rawak $X$ tertabur secara normal dengan min $70$ dan sisihan piawai $12$ . Diberi $P(X>k)=0.0668$ , cari nilai $k$ .

Show worked solution

Mula-mula tukar kebarangkalian kepada skor $Z$ . Oleh sebab jadual memberi luas kiri, tulis semula hujung kanan: $P(Z>z)=0.0668$ bermaksud $P(Z<z)=1-0.0668=0.9332$ .

Daripada jadual, $P(Z<1.5)=0.9332$ , jadi $z=1.5$ .

Kini songsangkan pemiawaian, $z=\dfrac{k-\mu}{\sigma}$ , dan selesaikan untuk $k$ :

1.5=\frac{k-70}{12}

k-70=1.5\times 12=18 \;\Rightarrow\; k=88

Menyongsangkan masalah normal sentiasa mengikut susunan yang sama, kebarangkalian, kemudian luas kiri, kemudian $z$ , kemudian $X$ , iaitu tepat proses ke hadapan yang dibaca dari kanan ke kiri.

Jawapan

$k=88$ . Semakan: $Z=\dfrac{88-70}{12}=1.5$ , dan $P(Z>1.5)=1-0.9332=0.0668$ , seperti dikehendaki.

Perhatikan keputusan yang sama dalam ketiga-tiganya: sebelum sebarang aritmetik, anda memilih laluan, pelengkap, rentang-dan-tolak, atau bacaan songsang. Dalam Taburan Kebarangkalian, rancangan itulah sebahagian besar markah; kalkulator hanya menghabiskan apa yang dimulakan oleh rancangan.

Kesilapan lazim yang perlu dielakkan

Dua kesilapan berulang pada soalan sederhana ini. Pertama ialah menambah rentetan panjang sebutan binomial sedangkan pelengkap $1-P(X=0)$ menyelesaikannya dalam satu baris.

Kedua ialah menganggap selang yang merentangi min sebagai satu hujung, apabila kedua-dua sempadan berada di sisi bertentangan min anda tolak dua luas kiri, dan skor negatif masih memerlukan langkah kesimetrian. Tentukan laluan dahulu, maka kedua-duanya dielakkan.

Q4[3 marks]

Kebarangkalian sebiji biji benih bercambah ialah $0.4$ . Seorang tukang kebun menanam $n=10$ biji benih sedemikian, dan $X$ ialah bilangan yang bercambah.

Cari min dan varians $X$ , dan seterusnya nyatakan sisihan piawainya.

Show worked solution

$X$ mengikut taburan binomial dengan $n=10$ , $p=0.4$ dan $q=0.6$ . Min pemboleh ubah binomial ialah $E(X)=np$ :

E(X)=10\times 0.4=4

Variansnya ialah $Var(X)=npq$ :

Var(X)=10\times 0.4\times 0.6=2.4

Sisihan piawai ialah punca kuasa dua positif varians:

\sigma=\sqrt{2.4}=1.549\text{ (4 angka bererti)}

Jawapan

Min $=4$ , varians $=2.4$ , sisihan piawai $\approx 1.549$ . Semakan: min $4$ daripada $10$ biji benih sepadan dengan $p=0.4$ , iaitu $40\%$ , seperti yang dijangka.

Q5[4 marks]

Markah pelajar dalam suatu ujian tertabur secara normal dengan min $100$ dan sisihan piawai $15$ . Cari $P(115<X<130)$ .

Show worked solution

Piawaikan kedua-dua sempadan menggunakan $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ dengan $\mu=100$ , $\sigma=15$ :

Z_{1}=\frac{115-100}{15}=1,\qquad Z_{2}=\frac{130-100}{15}=2

Kedua-dua sempadan berada di atas min, jadi kedua-dua skor $Z$ positif; kerjanya tetap penolakan dua luas kiri, $P(115<X<130)=P(Z<2)-P(Z<1)$ . Baca $P(Z<2)=0.9772$ dan $P(Z<1)=0.8413$ daripada jadual:

P(115<X<130)=0.9772-0.8413=0.1359

Oleh sebab tiada sempadan di bawah min, tiada langkah kesimetrian diperlukan di sini, hanya penolakan.

Jawapan

$P(115<X<130)=0.1359$ . Semakan: oleh sebab kedua-dua markah berada di atas min, kebarangkaliannya sepatutnya jauh di bawah $0.5$ , dan $0.1359$ memang begitu.

Q6[3 marks]

Seorang pemain bola keranjang membuat $n=4$ lambungan bebas, setiap satu dengan kebarangkalian $p$ yang sama untuk menjaringkan, tidak bersandar antara satu sama lain. Biar $X$ ialah bilangan lambungan bebas yang dijaringkan.

Diberi $P(X=4)=0.0625$ , cari nilai $p$ .

Show worked solution

Apabila setiap percubaan berjaya, $r=n=4$ , jadi rumus binomial menyusut kerana ${}^{4}C_{4}=1$ dan $q^{0}=1$ :

P(X=4)={}^{4}C_{4}p^{4}q^{0}=p^{4}

Samakan ini dengan kebarangkalian yang diberi dan selesaikan untuk $p$ :

p^{4}=0.0625 \;\Rightarrow\; p=\sqrt[4]{0.0625}=0.5

Jawapan

$p=0.5$ . Semakan: $0.5^{4}=0.0625$ , sepadan dengan kebarangkalian yang diberi, dan nilainya antara $0$ dan $1$ seperti yang sepatutnya bagi suatu kebarangkalian.

Q7[3 marks]

Suatu pemboleh ubah rawak $X$ tertabur secara normal dengan min $50$ . Diberi $P(X<65)=0.8413$ , cari sisihan piawai $\sigma$ .

Show worked solution

Tukar kebarangkalian yang diberi kepada skor $Z$ . Daripada jadual, $P(Z<1)=0.8413$ , jadi sempadan $X=65$ sepadan dengan $Z=1$ .

Kini gunakan rumus pemiawaian $z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ dengan $X=65$ , $\mu=50$ , dan selesaikan untuk $\sigma$ :

1=\frac{65-50}{\sigma}

\sigma=\frac{15}{1}=15

Jawapan

$\sigma=15$ . Semakan: $Z=\dfrac{65-50}{15}=1$ , dan $P(Z<1)=0.8413$ , seperti diberi.

Q8[4 marks]

Dalam sebuah sekolah dengan $200$ orang pelajar, masa (dalam minit) setiap pelajar menyiapkan sesuatu teka-teki tertabur secara normal dengan min $65$ dan sisihan piawai $8$ . Cari bilangan pelajar yang dijangka mengambil masa lebih daripada $77$ minit.

Show worked solution

Piawaikan sempadan menggunakan $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ dengan $\mu=65$ , $\sigma=8$ :

Z=\frac{77-65}{8}=1.5

Ini ialah hujung kanan, jadi $P(X>77)=1-P(Z<1.5)$ . Baca $P(Z<1.5)=0.9332$ daripada jadual, kemudian darabkan dengan jumlah populasi $200$ untuk mendapatkan bilangan pelajar yang dijangka:

P(X>77)=1-0.9332=0.0668, \qquad 200\times 0.0668=13.36

Jawapan

Kira-kira $13$ orang pelajar ( $13.36$ dibundarkan kepada seorang pelajar penuh) dijangka mengambil masa lebih daripada $77$ minit. Semakan: $0.0668$ ialah kebarangkalian hujung yang kecil, jadi hanya sebahagian kecil daripada $200$ pelajar, bukan separuh, sepatutnya melebihi $77$ minit.

Poin kaedah utama

Tiga contoh ini melatih pemikiran langkah-berkait yang dituntut soalan sederhana. Ingat poin berikut semasa anda berlatih.

Untuk 'sekurang-kurangnya satu', guna pelengkap: $P(X\ge 1)=1-P(X=0)$ .
$P(X=0)=q^{n}$ , kerana ${}^{n}C_{0}=1$ dan $p^{0}=1$ .
Apabila selang normal merentangi min, tolak dua luas kiri: $P(a<X<b)=P(Z<z_{2})-P(Z<z_{1})$ .
Bagi skor negatif guna kesimetrian: $P(Z<-z)=1-P(Z<z)$ .
Untuk menyongsangkan masalah normal, tukar kebarangkalian kepada luas kiri dahulu, baca skor $Z$ , kemudian selesaikan $z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ .
Pemarkahan analitik memberi ganjaran bagi setiap langkah betul, jadi tulis baris pemiawaian walaupun nilai akhir tergelincir.

Bagaimana guru membantu

Soalan sederhana memberi ganjaran kepada perancangan, dan itulah yang kami latih. Sebelum sebarang angka, guru kami meminta pelajar menyebut laluan dengan kuat, pelengkap, tolak dua luas, atau songsangkan pemiawaian, kerana menamakan rancangan mencegah kesilapan paling lazim, iaitu menyelesaikan kuantiti yang salah.

Bekerja satu-dengan-satu, kami boleh berhenti pada baris tepat tempat tanda atau entri jadual tersasar dan membetulkannya serta-merta. Guru kami berpengalaman.

Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi simbolnya kekal biasa dalam kedua-duanya.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bilakah saya patut guna petua pelengkap?

Setiap kali soalan meminta 'sekurang-kurangnya satu' atau 'sekurang-kurangnya ...', pelengkap biasanya paling pendek. Bagi 'sekurang-kurangnya satu', $P(X\ge 1)=1-P(X=0)$ menggantikan hasil tambah panjang dengan satu sebutan.

Mengapa

P(X=0)=q^{n}

Oleh sebab ${}^{n}C_{0}=1$ dan $p^{0}=1$ , rumus ${}^{n}C_{0}\,p^{0}q^{n}$ menyusut menjadi $q^{n}$ , setiap satu daripada $n$ percubaan mesti gagal.

Bagaimana saya mengendalikan selang normal yang melintasi min?

Piawaikan kedua-dua hujung, kemudian tolak dua luas kiri: $P(Z<z_{2})-P(Z<z_{1})$ . Jangan tambah hujung; rantau itu satu jalur tunggal merentasi tengah.

Bagaimana saya mencari sempadan daripada kebarangkalian yang diberi?

Songsangkan prosesnya. Tukar kebarangkalian kepada luas kiri $P(Z<z)$ , baca $z$ yang sepadan daripada jadual, kemudian selesaikan $z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ bagi yang tidak diketahui.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Taburan Kebarangkalian, Contoh Kerja (sederhana)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?