概率分布例题（KBAT）| SPM Add Math

Q: 怎样由平均数和方差求 n 与 p？

相除：方差平均数=npqnp=q\dfrac{\text{方差}}{\text{平均数}}=\dfrac{npq}{np}=q平均数方差=npnpq=q。再由 p=1−qp=1-qp=1−q、n=平均数pn=\dfrac{\text{平均数}}{p}n=p平均数。两小步就还原两个参数。

Q: 正态问题里为什么把两条方程相减？

两条方程都含 −μ-\mu−μ。相减把 μ\muμ 消掉，只剩一条关于 σ\sigmaσ 的方程，先解出 σ\sigmaσ，再回代求 μ\muμ。

Q: 取对数时不等号为什么反向？

lg⁡0.6\lg 0.6lg0.6 是负数。把不等式除以或乘以负数会反转方向，所以 n lg⁡0.6<lg⁡0.1n\,\lg 0.6<\lg 0.1nlg0.6<lg0.1 变成 n>lg⁡0.1lg⁡0.6n>\dfrac{\lg 0.1}{\lg 0.6}n>lg0.6lg0.1。

Q: 得到 n>4.51 后，为什么答案是 5 而不是 4？

nnn 数的是试验次数，必须是整数。大于 4.514.514.51 的最小整数是 555；核对 n=4n=4n=4 只得 0.87040.87040.8704，不满足要求。

这些例题涵盖什么

这三道困难例题要你把想法倒着用、并把它们拼起来。第一题给出二项变量的平均数与方差，你要先还原 $n$ 与 $p$ ，再求一个尾部概率。

第二题里，两个正态概率给你两条方程，你联立解出平均数与标准差。第三题是 KBAT 的转折：你把二项分布和对数结合，求使「成功」几乎必然的最小试验次数。

数字仍然干净，但思路更长，动手前先把整条路线想好，并保留每一行，好让方法分稳妥。

例题解析

三题全部做完。每题都先自己完整做一遍，再看解答，并留意每题都是把熟悉的工具倒着用或拼起来用，没有新东西，只是更深一层。

如何读标准正态分布表

标准正态分布表给出的是正 $z$ 的左侧面积 $P(Z<z)$ 。其余一切都由这一个事实推出：右尾是 $1-P(Z<z)$ ；负分数用对称性， $P(Z<-z)=1-P(Z<z)$ ；区间则是两个左侧面积之差。

当给了概率而分数未知时，把同样的读法倒过来：先化成左侧面积，再找对应的 $z$ 。

Q1[5 marks]

随机变量 $X$ 服从二项分布，平均数为 $2.4$ ，方差为 $1.44$ 。(a) 求 $n$ 与 $p$ 。

(b) 由此求 $P(X\ge 5)$ 。

Show worked solution

(a) 对二项变量， $\text{平均数}=np$ 、 $\text{方差}=npq$ 。用方差除以平均数，把 $q$ 单独分出来：

\frac{npq}{np}=\frac{1.44}{2.4} \;\Rightarrow\; q=0.6

于是 $p=1-q=0.4$ 。代回 $np=2.4$ 求 $n$ ：

n\times 0.4=2.4 \;\Rightarrow\; n=6

(b) 由 $n=6$ 、 $p=0.4$ 、 $q=0.6$ ， $P(X\ge 5)=P(X=5)+P(X=6)$ ：

P(X=5)={}^{6}C_{5}(0.4)^{5}(0.6)^{1}=6\times 0.01024\times 0.6=0.036864

P(X=6)={}^{6}C_{6}(0.4)^{6}=0.004096

P(X\ge 5)=0.036864+0.004096=0.04096

答案

$n=6$ ， $p=0.4$ ， $P(X\ge 5)=0.04096$ 。检验参数： $np=6(0.4)=2.4$ ， $npq=6(0.4)(0.6)=1.44$ ，都与题设相符。

Q2[5 marks]

随机变量 $X$ 服从正态分布，平均数为 $\mu$ ，标准差为 $\sigma$ 。已知 $P(X>65)=0.0668$ 且 $P(X<30)=0.0228$ ，求 $\mu$ 与 $\sigma$ 。

Show worked solution

把每个概率化成 $Z$ 分数。对上端， $P(Z>z)=0.0668$ 给出 $P(Z<z)=0.9332$ ，故 $z=1.5$ ：

\frac{65-\mu}{\sigma}=1.5 \;\Rightarrow\; 65-\mu=1.5\sigma \quad (1)

对下端， $P(Z<z)=0.0228$ 对应 $z=-2$ ，因为 $P(Z<2)=0.9772$ ，且分数为负：

\frac{30-\mu}{\sigma}=-2 \;\Rightarrow\; 30-\mu=-2\sigma \quad (2)

用方程 $(1)$ 减方程 $(2)$ 消去 $\mu$ ：

(65-\mu)-(30-\mu)=1.5\sigma-(-2\sigma) \;\Rightarrow\; 35=3.5\sigma \;\Rightarrow\; \sigma=10

把 $\sigma=10$ 代入方程 $(1)$ ：

65-\mu=1.5(10)=15 \;\Rightarrow\; \mu=50

答案

$\mu=50$ ， $\sigma=10$ 。检验下端条件： $\dfrac{30-50}{10}=-2$ ， $P(Z<-2)=0.0228$ ，与题设完全一致。

Q3[4 marks]

在重复试验中，每次成功的概率为 $0.4$ ，彼此独立。求使「至少一次成功」的概率超过 $0.9$ 的最小试验次数 $n$ 。

Show worked solution

设 $X$ 为 $n$ 次试验中的成功次数，则 $X$ 服从二项分布， $p=0.4$ 、 $q=0.6$ 。「至少一次成功」用互补：

P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-(0.6)^{n}

要它超过 $0.9$ 并整理：

1-(0.6)^{n}>0.9 \;\Rightarrow\; (0.6)^{n}<0.1

两边取对数。由于 $\lg 0.6$ 为负，除以它时不等号方向反转：

n\,\lg 0.6<\lg 0.1 \;\Rightarrow\; n>\frac{\lg 0.1}{\lg 0.6}=\frac{-1}{-0.2218}=4.51

由于 $n$ 必须是大于 $4.51$ 的整数，最小值为 $n=5$ 。

答案

$n=5$ 。检验：当 $n=5$ ， $1-(0.6)^{5}=1-0.07776=0.92224>0.9$ ；当 $n=4$ ， $1-(0.6)^{4}=1-0.1296=0.8704<0.9$ ，所以 $5$ 确实是最小的。

这里每一道难题，都是把熟悉的工具倒着用或拼起来用，由平均数与方差还原参数、由两个概率求平均数与标准差、由互补与对数求试验次数。慢慢读清要求，老老实实列方程，每一题都会解到一个干净的答案。

要避开的常见失误

这些较难的题目上反复出现两种失误。其一是还原 $q$ 时用平均数除以方差，而不是方差除以平均数，比值必须是 $\dfrac{npq}{np}$ 。

其二是取对数后忘了反转不等号，因为 $\lg 0.6$ 是负数。把比值写正、核对对数的符号，两者都能掌控。

Q4[5 marks]

某校五人制足球队在一场比赛中的进球数是离散随机变量 $X$ ，其概率分布为 $P(X=0)=0.1$ 、 $P(X=1)=0.3$ 、 $P(X=2)=k$ 和 $P(X=3)=0.2$ 。(a) 求 $k$ 的值。

(b) 求 $E(X)$ 。(c) 求 $\text{Var}(X)$ 。

Show worked solution

(a) 离散随机变量的所有概率之和必须等于 $1$ 。把已给的四个概率相加，并令总和等于 $1$ ：

0.1+0.3+k+0.2=1

所以 $k=0.4$ 。(b) 用 $E(X)=\sum xP(X=x)$ ，把每个 $X$ 值乘以其概率：

E(X)=0(0.1)+1(0.3)+2(0.4)+3(0.2)=0+0.3+0.8+0.6=1.7

E(X^{2})=0^{2}(0.1)+1^{2}(0.3)+2^{2}(0.4)+3^{2}(0.2)=0+0.3+1.6+1.8=3.7

\text{Var}(X)=3.7-(1.7)^{2}=3.7-2.89=0.81

答案

$k=0.4$ ， $E(X)=1.7$ ， $\text{Var}(X)=0.81$ 。检验表格： $0.1+0.3+0.4+0.2=1$ ，所以这组概率是有效的。

Q5[6 marks]

在一次射箭练习中，一名选手独立地向靶心射出 $5$ 支箭，每次命中靶心的概率为 $p$ 。设 $X$ 为这 $5$ 次中命中靶心的次数。

已知 $P(X=3)=1.5\,P(X=2)$ 。(a) 求 $p$ 的值。

(b) 由此求 $P(X\ge 4)$ 。

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(a) 用二项分布公式写出这两个概率，并求它们的比。由于 ${}^{5}C_{3}={}^{5}C_{2}=10$ ，二项式系数相互抵消：

\frac{P(X=3)}{P(X=2)}=\frac{{}^{5}C_{3}p^{3}q^{2}}{{}^{5}C_{2}p^{2}q^{3}}=\frac{p}{q}=1.5

于是 $p=1.5q$ 。代入 $p+q=1$ ：

1.5q+q=1 \;\Rightarrow\; 2.5q=1 \;\Rightarrow\; q=0.4 \;\Rightarrow\; p=0.6

(b) 由 $n=5$ 、 $p=0.6$ 、 $q=0.4$ ， $P(X\ge 4)=P(X=4)+P(X=5)$ ：

P(X=4)={}^{5}C_{4}(0.6)^{4}(0.4)^{1}=5\times 0.1296\times 0.4=0.2592

P(X=5)={}^{5}C_{5}(0.6)^{5}=0.07776

P(X\ge 4)=0.2592+0.07776=0.33696

答案

$p=0.6$ ， $P(X\ge 4)=0.33696$ 。检验： $P(X=3)={}^{5}C_{3}(0.6)^{3}(0.4)^{2}=0.3456$ ， $P(X=2)={}^{5}C_{2}(0.6)^{2}(0.4)^{3}=0.2304$ ；确实 $0.3456=1.5\times 0.2304$ 。

Q6[5 marks]

某班学生完成一道拼图所需的时间（单位：分钟）服从正态分布，平均数为 $40$ ，标准差为 $\sigma$ 。已知有 $30.85\%$ 的学生完成拼图所需时间超过 $46$ 分钟。

(a) 求 $\sigma$ 。(b) 由此求随机抽取一名学生完成拼图所需时间少于 $28$ 分钟的概率。

Show worked solution

(a) 把已给的百分比化成 $Z$ 分数。由于 $P(Z<0.5)=0.6915$ ，右尾为 $P(Z>0.5)=0.3085$ ，与题设的 $30.85\%$ 相符：

\frac{46-40}{\sigma}=0.5 \;\Rightarrow\; \sigma=\frac{6}{0.5}=12

(b) 由 $\sigma=12$ ，把 $28$ 标准化，因分数为负，需用对称性：

\frac{28-40}{12}=-1 \;\Rightarrow\; P(Z<-1)=1-P(Z<1)=1-0.8413=0.1587

答案

$\sigma=12$ ， $P(X<28)=0.1587$ 。检验大小： $28$ 在平均数以下 $12$ 分钟处（ $1\sigma$ ），而 $46$ 只在平均数以上 $6$ 分钟处（ $0.5\sigma$ ）；离平均数更远的 $28$ 理应可能性更小，而 $0.1587<0.3085$ 恰好印证了这一点。

Q7[6 marks]

某机器生产的滚珠直径（单位：mm）服从正态分布，平均数为 $25$ ，标准差为 $2$ 。若滚珠直径超过 $27$ mm，则评为 A 级。

(a) 求随机抽取一颗滚珠为 A 级的概率。(b) 随机抽取五颗滚珠，求恰好有 $2$ 颗为 A 级的概率。

Show worked solution

(a) 把 $27$ 标准化，读出右尾概率：

\frac{27-25}{2}=1 \;\Rightarrow\; P(X>27)=P(Z>1)=1-0.8413=0.1587

(b) 把这个概率当作 $5$ 次独立试验中每次成功的固定概率，于是 A 级滚珠的数目 $Y$ 服从二项分布， $n=5$ 、 $p=0.1587$ 、 $q=0.8413$ ：

P(Y=2)={}^{5}C_{2}(0.1587)^{2}(0.8413)^{3}=10\times 0.02519\times 0.59546\approx 0.1500

答案

$P(\text{A 级})=0.1587$ ， $P(Y=2)\approx 0.1500$ 。只要把每颗滚珠都当成结果只有 A 级或非 A 级两种、彼此独立的试验，正态分布求出的概率就能直接当作二项分布的 $p$ 使用。

Q8[5 marks]

某校数学考试的成绩服从正态分布，平均数为 $65$ ，标准差为 $5$ 。只有成绩排在最前 $0.13\%$ 的学生获颁「最佳学生」证书。

(a) 求获得证书所需的最低分数。(b) 若共有 $800$ 名学生应考，估计获得证书的学生人数。

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(a) 最前 $0.13\%$ 对应右尾概率 $0.0013$ ，与 $P(Z>3)=1-0.9987=0.0013$ 相符。把未知的最低分数 $x$ 标准化：

\frac{x-65}{5}=3 \;\Rightarrow\; x=65+3(5)=80

(b) 在一个较大的群体中，满足条件的期望人数等于概率乘以群体人数：

800\times 0.0013=1.04

答案

最低分数为 $80$ ，约有 $1$ 名学生（由 $1.04$ 四舍五入为最接近的整数人数）获得证书。在这样规模的群体中，一个如此小的尾部概率理应给出接近 $1$ 的期望人数，计算结果正是如此。

关键方法要点

这三道例题展示本章工具如何倒着用、拼起来用。多做练习时，记住以下几点。

方差除以平均数分出 $q$ ： $\dfrac{npq}{np}=q$ ；再由 $p=1-q$ 、 $n=\dfrac{\text{平均数}}{p}$ 。
两个正态概率给出关于 $\mu$ 与 $\sigma$ 的两条方程；相减消去 $\mu$ 。
读 $Z$ 分数前，先把每个概率化成左侧面积，负数用对称性。
「至少一个」：令 $1-q^{n}>$ 目标，得到 $q^{n}<$ 某个界。
对小于 $1$ 的数取对数得负数，所以相除时不等号要反向。
务必核对边界情形，这里 $n=4$ 与 $n=5$ ，确保「最小」真的正确。

老师如何帮忙

困难的概率分布题，重点不在新公式，而在列出正确的方程，这正是老师发挥价值之处。一对一时，我们把开头放慢，「平均数和方差」能让你还原什么、哪个概率化成哪个 $Z$ 分数、不等号何时反向，好让方案在动代数之前就站得住。

然后我们一起核对边界情形，那是学生最常略过的一步。我们的老师经验丰富。

课程以英语授课，SPM 试卷以马来文和英文双语命题，所以每个符号在两种版本里都一样熟悉。

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常见问题

怎样由平均数和方差求

n

与

p

？

相除： $\dfrac{\text{方差}}{\text{平均数}}=\dfrac{npq}{np}=q$ 。再由 $p=1-q$ 、 $n=\dfrac{\text{平均数}}{p}$ 。

两小步就还原两个参数。

正态问题里为什么把两条方程相减？

两条方程都含 $-\mu$ 。相减把 $\mu$ 消掉，只剩一条关于 $\sigma$ 的方程，先解出 $\sigma$ ，再回代求 $\mu$ 。

取对数时不等号为什么反向？

$\lg 0.6$ 是负数。把不等式除以或乘以负数会反转方向，所以 $n\,\lg 0.6<\lg 0.1$ 变成 $n>\dfrac{\lg 0.1}{\lg 0.6}$ 。

得到

n>4.51

后，为什么答案是

5

而不是

4

？

$n$ 数的是试验次数，必须是整数。大于 $4.51$ 的最小整数是 $5$ ；核对 $n=4$ 只得 $0.8704$ ，不满足要求。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

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