Taburan Kebarangkalian Contoh (KBAT)

Q: Bagaimana saya mendapat n dan p daripada min dan varians?

Bahagikan: variansmin=npqnp=q\dfrac{\text{varians}}{\text{min}}=\dfrac{npq}{np}=qminvarians=npnpq=q. Kemudian p=1−qp=1-qp=1−q, dan n=minpn=\dfrac{\text{min}}{p}n=pmin. Dua langkah pendek memperoleh semula kedua-dua parameter.

Q: Mengapa menolak dua persamaan dalam masalah normal?

Kedua-dua persamaan mengandungi −μ-\mu−μ. Menolak satu daripada yang lain membatalkan μ\muμ dan meninggalkan satu persamaan dalam σ\sigmaσ, yang anda selesaikan dahulu, kemudian gantikan semula untuk μ\muμ.

Q: Mengapa ketaksamaan bertukar apabila saya mengambil logaritma?

lg⁡0.6\lg 0.6lg0.6 negatif. Membahagi atau mendarab ketaksamaan dengan nombor negatif menyongsangkan arahnya, jadi n lg⁡0.6<lg⁡0.1n\,\lg 0.6<\lg 0.1nlg0.6<lg0.1 menjadi n>lg⁡0.1lg⁡0.6n>\dfrac{\lg 0.1}{\lg 0.6}n>lg0.6lg0.1.

Q: Setelah saya dapat n>4.51, mengapa jawapannya 5 dan bukan 4?

nnn mengira percubaan, jadi ia mesti nombor bulat. Nombor bulat terkecil lebih besar daripada 4.514.514.51 ialah 555; menyemak n=4n=4n=4 hanya memberi 0.87040.87040.8704, yang gagal memenuhi kehendak.

Apa yang diliputi contoh ini

Tiga contoh sukar ini meminta anda menjalankan idea secara songsang dan menggabungkannya. Dalam yang pertama, min dan varians pemboleh ubah binomial diberi dan anda mesti memperoleh semula $n$ dan $p$ sebelum mencari kebarangkalian hujung.

Dalam yang kedua, dua kebarangkalian normal memberi anda dua persamaan, yang anda selesaikan serentak untuk min dan sisihan piawai. Yang ketiga ialah putaran KBAT: anda menggabungkan binomial dengan logaritma untuk mencari bilangan percubaan terkecil yang menjadikan satu kejayaan hampir pasti.

Nombornya masih kemas, tetapi pemikirannya lebih panjang, rancang keseluruhan laluan sebelum mula, dan simpan setiap baris supaya markah kaedah selamat.

Contoh kerja

Kerjakan ketiga-tiganya. Cuba setiap satu sepenuhnya sebelum membaca penyelesaian, dan perhatikan bagaimana setiap soalan ialah alat biasa yang digunakan secara songsang atau bergabung, tiada yang baharu, cuma lebih mendalam.

Membaca jadual normal piawai

Jadual taburan normal piawai memberi luas sebelah kiri $P(Z<z)$ bagi $z$ positif. Segala-galanya yang lain dibina daripada satu fakta itu: hujung kanan ialah $1-P(Z<z)$ ; skor negatif menggunakan kesimetrian, $P(Z<-z)=1-P(Z<z)$ ; dan selang ialah beza dua luas kiri.

Apabila kebarangkalian diberi dan skor tidak diketahui, jalankan bacaan yang sama secara songsang: tukar kepada luas kiri, kemudian cari $z$ yang sepadan.

Q1[5 marks]

Suatu pemboleh ubah rawak $X$ mengikut taburan binomial dengan min $2.4$ dan varians $1.44$ . (a) Cari nilai $n$ dan $p$ .

(b) Seterusnya cari $P(X\ge 5)$ .

Show worked solution

(a) Bagi pemboleh ubah binomial, $\text{min}=np$ dan $\text{varians}=npq$ . Bahagikan varians dengan min untuk mengasingkan $q$ :

\frac{npq}{np}=\frac{1.44}{2.4} \;\Rightarrow\; q=0.6

Jadi $p=1-q=0.4$ . Gantikan semula ke dalam $np=2.4$ untuk mencari $n$ :

n\times 0.4=2.4 \;\Rightarrow\; n=6

(b) Dengan $n=6$ , $p=0.4$ dan $q=0.6$ , $P(X\ge 5)=P(X=5)+P(X=6)$ :

P(X=5)={}^{6}C_{5}(0.4)^{5}(0.6)^{1}=6\times 0.01024\times 0.6=0.036864

P(X=6)={}^{6}C_{6}(0.4)^{6}=0.004096

P(X\ge 5)=0.036864+0.004096=0.04096

Jawapan

$n=6$ , $p=0.4$ , dan $P(X\ge 5)=0.04096$ . Semak parameter: $np=6(0.4)=2.4$ dan $npq=6(0.4)(0.6)=1.44$ , kedua-duanya seperti diberi.

Q2[5 marks]

Suatu pemboleh ubah rawak $X$ tertabur secara normal dengan min $\mu$ dan sisihan piawai $\sigma$ . Diberi $P(X>65)=0.0668$ dan $P(X<30)=0.0228$ , cari $\mu$ dan $\sigma$ .

Show worked solution

Tukar setiap kebarangkalian kepada skor $Z$ . Bagi nilai atas, $P(Z>z)=0.0668$ memberi $P(Z<z)=0.9332$ , jadi $z=1.5$ :

\frac{65-\mu}{\sigma}=1.5 \;\Rightarrow\; 65-\mu=1.5\sigma \quad (1)

Bagi nilai bawah, $P(Z<z)=0.0228$ sepadan dengan $z=-2$ , kerana $P(Z<2)=0.9772$ dan skornya negatif:

\frac{30-\mu}{\sigma}=-2 \;\Rightarrow\; 30-\mu=-2\sigma \quad (2)

Tolak persamaan $(2)$ daripada persamaan $(1)$ untuk menghapuskan $\mu$ :

(65-\mu)-(30-\mu)=1.5\sigma-(-2\sigma) \;\Rightarrow\; 35=3.5\sigma \;\Rightarrow\; \sigma=10

Gantikan $\sigma=10$ ke dalam persamaan $(1)$ :

65-\mu=1.5(10)=15 \;\Rightarrow\; \mu=50

Jawapan

$\mu=50$ dan $\sigma=10$ . Semak syarat bawah: $\dfrac{30-50}{10}=-2$ , dan $P(Z<-2)=0.0228$ , tepat seperti diberi.

Q3[4 marks]

Dalam percubaan berulang, kebarangkalian kejayaan setiap kali ialah $0.4$ , secara tak bersandar. Cari bilangan percubaan terkecil $n$ supaya kebarangkalian sekurang-kurangnya satu kejayaan melebihi $0.9$ .

Show worked solution

Biar $X$ ialah bilangan kejayaan dalam $n$ percubaan, jadi $X$ binomial dengan $p=0.4$ dan $q=0.6$ . 'Sekurang-kurangnya satu kejayaan' menggunakan pelengkap:

P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-(0.6)^{n}

Kehendakkan ini melebihi $0.9$ dan susun semula:

1-(0.6)^{n}>0.9 \;\Rightarrow\; (0.6)^{n}<0.1

Ambil logaritma kedua-dua belah. Oleh sebab $\lg 0.6$ negatif, membahagi dengannya menyongsangkan ketaksamaan:

n\,\lg 0.6<\lg 0.1 \;\Rightarrow\; n>\frac{\lg 0.1}{\lg 0.6}=\frac{-1}{-0.2218}=4.51

Oleh sebab $n$ mesti nombor bulat lebih besar daripada $4.51$ , nilai terkecil ialah $n=5$ .

Jawapan

$n=5$ . Semak: dengan $n=5$ , $1-(0.6)^{5}=1-0.07776=0.92224>0.9$ ; dengan $n=4$ , $1-(0.6)^{4}=1-0.1296=0.8704<0.9$ , jadi $5$ memang yang terkecil.

Setiap soalan sukar di sini ialah alat biasa yang digunakan secara songsang atau bergabung, parameter daripada min dan varians, min dan sisihan daripada dua kebarangkalian, bilangan percubaan daripada pelengkap dan logaritma. Baca kehendak dengan perlahan, bina persamaan dengan jujur, dan setiap satu terungkai kepada jawapan yang kemas.

Kesilapan lazim yang perlu dielakkan

Dua kesilapan berulang pada soalan yang lebih sukar ini. Pertama ialah membahagi min dengan varians dan bukan varians dengan min semasa memperoleh semula $q$ , nisbah mesti $\dfrac{npq}{np}$ .

Kedua ialah lupa menyongsangkan ketaksamaan selepas mengambil log, kerana $\lg 0.6$ negatif. Menulis nisbah dengan betul dan menyemak tanda logaritma mengawal kedua-duanya.

Q4[5 marks]

Bilangan gol yang dijaringkan oleh pasukan futsal sekolah dalam suatu perlawanan ialah pemboleh ubah rawak diskret $X$ dengan taburan kebarangkalian $P(X=0)=0.1$ , $P(X=1)=0.3$ , $P(X=2)=k$ dan $P(X=3)=0.2$ . (a) Cari nilai $k$ .

(b) Cari $E(X)$ . (c) Cari $\text{Var}(X)$ .

Show worked solution

(a) Jumlah kebarangkalian bagi pemboleh ubah rawak diskret mestilah sama dengan $1$ . Tambahkan keempat-empat kebarangkalian yang diberi dan samakan jumlahnya dengan $1$ :

0.1+0.3+k+0.2=1

Jadi $k=0.4$ . (b) Guna $E(X)=\sum xP(X=x)$ , darabkan setiap nilai $X$ dengan kebarangkaliannya:

E(X)=0(0.1)+1(0.3)+2(0.4)+3(0.2)=0+0.3+0.8+0.6=1.7

E(X^{2})=0^{2}(0.1)+1^{2}(0.3)+2^{2}(0.4)+3^{2}(0.2)=0+0.3+1.6+1.8=3.7

\text{Var}(X)=3.7-(1.7)^{2}=3.7-2.89=0.81

Jawapan

$k=0.4$ , $E(X)=1.7$ dan $\text{Var}(X)=0.81$ . Semak jadual: $0.1+0.3+0.4+0.2=1$ , jadi kebarangkalian ini sah.

Q5[6 marks]

Dalam satu sesi latihan memanah, seorang pemain melepaskan $5$ anak panah secara tak bersandar ke arah sasaran, dengan kebarangkalian $p$ mengenai sasaran pada setiap lepasan. Biar $X$ ialah bilangan lepasan yang mengenai sasaran daripada $5$ lepasan itu.

Diberi $P(X=3)=1.5\,P(X=2)$ . (a) Cari nilai $p$ .

(b) Seterusnya, cari $P(X\ge 4)$ .

Show worked solution

(a) Tuliskan kedua-dua kebarangkalian menggunakan rumus binomial dan bentukkan nisbahnya. Oleh sebab ${}^{5}C_{3}={}^{5}C_{2}=10$ , pekali binomial itu saling batal:

\frac{P(X=3)}{P(X=2)}=\frac{{}^{5}C_{3}p^{3}q^{2}}{{}^{5}C_{2}p^{2}q^{3}}=\frac{p}{q}=1.5

Jadi $p=1.5q$ . Gantikan ke dalam $p+q=1$ :

1.5q+q=1 \;\Rightarrow\; 2.5q=1 \;\Rightarrow\; q=0.4 \;\Rightarrow\; p=0.6

(b) Dengan $n=5$ , $p=0.6$ dan $q=0.4$ , $P(X\ge 4)=P(X=4)+P(X=5)$ :

P(X=4)={}^{5}C_{4}(0.6)^{4}(0.4)^{1}=5\times 0.1296\times 0.4=0.2592

P(X=5)={}^{5}C_{5}(0.6)^{5}=0.07776

P(X\ge 4)=0.2592+0.07776=0.33696

Jawapan

$p=0.6$ dan $P(X\ge 4)=0.33696$ . Semak: $P(X=3)={}^{5}C_{3}(0.6)^{3}(0.4)^{2}=0.3456$ dan $P(X=2)={}^{5}C_{2}(0.6)^{2}(0.4)^{3}=0.2304$ ; memang $0.3456=1.5\times 0.2304$ .

Q6[5 marks]

Masa yang diambil, dalam minit, oleh pelajar dalam suatu kelas untuk menyelesaikan teka-teki tertabur secara normal dengan min $40$ dan sisihan piawai $\sigma$ . Diberi $30.85\%$ daripada pelajar mengambil masa lebih daripada $46$ minit untuk menyelesaikan teka-teki itu.

(a) Cari $\sigma$ . (b) Seterusnya, cari kebarangkalian seorang pelajar yang dipilih secara rawak mengambil masa kurang daripada $28$ minit untuk menyelesaikan teka-teki itu.

Show worked solution

(a) Tukarkan peratusan yang diberi kepada skor $Z$ . Oleh sebab $P(Z<0.5)=0.6915$ , hujung kanan ialah $P(Z>0.5)=0.3085$ , sepadan dengan $30.85\%$ yang diberi:

\frac{46-40}{\sigma}=0.5 \;\Rightarrow\; \sigma=\frac{6}{0.5}=12

(b) Dengan $\sigma=12$ , piawaikan $28$ dan guna kesimetrian kerana skornya negatif:

\frac{28-40}{12}=-1 \;\Rightarrow\; P(Z<-1)=1-P(Z<1)=1-0.8413=0.1587

Jawapan

$\sigma=12$ dan $P(X<28)=0.1587$ . Semak saiznya: $28$ ialah $12$ minit di bawah min ( $1\sigma$ ) manakala $46$ hanya $6$ minit di atasnya ( $0.5\sigma$ ); kerana lebih jauh daripada min, $28$ sepatutnya kurang berkemungkinan, dan memang $0.1587<0.3085$ .

Q7[6 marks]

Diameter, dalam mm, bagi galas bola yang dihasilkan oleh sebuah mesin tertabur secara normal dengan min $25$ dan sisihan piawai $2$ . Sebiji galas bola dikelaskan sebagai Gred A jika diameternya melebihi $27$ mm.

(a) Cari kebarangkalian sebiji galas bola yang dipilih secara rawak ialah Gred A. (b) Lima biji galas bola dipilih secara rawak.

Cari kebarangkalian tepat $2$ daripadanya ialah Gred A.

Show worked solution

(a) Piawaikan $27$ dan baca hujung kanan:

\frac{27-25}{2}=1 \;\Rightarrow\; P(X>27)=P(Z>1)=1-0.8413=0.1587

(b) Anggap kebarangkalian ini sebagai peluang kejayaan tetap dalam $5$ percubaan tak bersandar, jadi bilangan galas bola Gred A, $Y$ , ialah binomial dengan $n=5$ , $p=0.1587$ dan $q=0.8413$ :

P(Y=2)={}^{5}C_{2}(0.1587)^{2}(0.8413)^{3}=10\times 0.02519\times 0.59546\approx 0.1500

Jawapan

$P(\text{Gred A})=0.1587$ dan $P(Y=2)\approx 0.1500$ . Kebarangkalian daripada taburan normal boleh terus digunakan sebagai $p$ binomial sebaik sahaja setiap galas bola dianggap percubaan tak bersandar dengan dua kemungkinan yang sama, Gred A atau tidak.

Q8[5 marks]

Di sebuah sekolah, markah ujian Matematik tertabur secara normal dengan min $65$ dan sisihan piawai $5$ . Hanya $0.13\%$ pelajar teratas dianugerahkan sijil Pelajar Terbaik.

(a) Cari markah minimum yang diperlukan untuk menerima sijil itu. (b) Anggarkan bilangan pelajar yang menerima sijil itu, daripada $800$ orang pelajar yang menduduki ujian tersebut.

Show worked solution

(a) $0.13\%$ teratas ialah hujung kanan $0.0013$ , sepadan dengan $P(Z>3)=1-0.9987=0.0013$ . Piawaikan markah minimum yang tidak diketahui, $x$ :

\frac{x-65}{5}=3 \;\Rightarrow\; x=65+3(5)=80

(b) Daripada kumpulan yang besar, bilangan jangkaan yang memenuhi syarat ialah kebarangkalian didarab dengan saiz kumpulan:

800\times 0.0013=1.04

Jawapan

Markah minimum ialah $80$ , dan lebih kurang $1$ orang pelajar (daripada $1.04$ , dibundarkan kepada bilangan pelajar bulat yang terdekat) menerima sijil itu. Kebarangkalian hujung yang sekecil ini pada saiz kumpulan yang sederhana sepatutnya memberi bilangan jangkaan hampir $1$ , dan itulah yang ditunjukkan oleh pengiraan.

Poin kaedah utama

Tiga contoh ini menunjukkan cara alat bab ini digunakan secara songsang dan bergabung. Ingat poin berikut semasa anda berlatih.

Bahagikan varians dengan min untuk mengasingkan $q$ : $\dfrac{npq}{np}=q$ ; kemudian $p=1-q$ dan $n=\dfrac{\text{min}}{p}$ .
Dua kebarangkalian normal memberi dua persamaan dalam $\mu$ dan $\sigma$ ; hapuskan $\mu$ dengan penolakan.
Tukar setiap kebarangkalian kepada luas kiri sebelum membaca skor $Z$ , dan guna kesimetrian bagi negatif.
Untuk 'sekurang-kurangnya satu', tetapkan $1-q^{n}>$ sasaran, memberi $q^{n}<$ suatu batas.
Mengambil log bagi nilai bawah $1$ memberi nombor negatif, jadi ketaksamaan bertukar arah apabila anda membahagi.
Sentiasa sahkan kes sempadan, di sini $n=4$ dan $n=5$ , supaya 'terkecil' benar-benar betul.

Bagaimana guru membantu

Soalan Taburan Kebarangkalian yang sukar kurang tentang rumus baharu dan lebih tentang membina persamaan yang betul, di situlah guru memberi nilai. Satu-dengan-satu, kami memperlahankan pembukaan, apa yang 'min dan varians' membolehkan anda peroleh semula, kebarangkalian mana menjadi skor $Z$ mana, bila ketaksamaan bertukar, supaya rancangan kukuh sebelum algebra bermula.

Kemudian kami menyemak kes sempadan bersama, langkah yang paling kerap dilangkau pelajar. Guru kami berpengalaman.

Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi setiap simbol kekal biasa dalam kedua-duanya.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya mendapat

n

dan

p

daripada min dan varians?

Bahagikan: $\dfrac{\text{varians}}{\text{min}}=\dfrac{npq}{np}=q$ . Kemudian $p=1-q$ , dan $n=\dfrac{\text{min}}{p}$ .

Dua langkah pendek memperoleh semula kedua-dua parameter.

Mengapa menolak dua persamaan dalam masalah normal?

Kedua-dua persamaan mengandungi $-\mu$ . Menolak satu daripada yang lain membatalkan $\mu$ dan meninggalkan satu persamaan dalam $\sigma$ , yang anda selesaikan dahulu, kemudian gantikan semula untuk $\mu$ .

Mengapa ketaksamaan bertukar apabila saya mengambil logaritma?

$\lg 0.6$ negatif. Membahagi atau mendarab ketaksamaan dengan nombor negatif menyongsangkan arahnya, jadi $n\,\lg 0.6<\lg 0.1$ menjadi $n>\dfrac{\lg 0.1}{\lg 0.6}$ .

Setelah saya dapat

n>4.51

, mengapa jawapannya

5

dan bukan

4

$n$ mengira percubaan, jadi ia mesti nombor bulat. Nombor bulat terkecil lebih besar daripada $4.51$ ialah $5$ ; menyemak $n=4$ hanya memberi $0.8704$ , yang gagal memenuhi kehendak.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Taburan Kebarangkalian, Contoh Kerja (KBAT)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?