概率分布例题（简单）| SPM Add Math

Q: 我怎么知道该用二项分布还是正态分布？

当你在固定次数、彼此独立、每次概率相同的试验里数「成功」次数时，用二项分布，例如 333 次投掷里的正面数。当处理像质量、身高这类围绕平均数聚集的连续测量时，用正态分布。

Q: 二项公式里的 p 和 q 是什么？

ppp 是单次试验成功的概率，q=1−pq=1-pq=1−p 是失败的概率。两者永远相加为 111，所以知道其一就知道另一。

Q: 正态分布里求 P(X>a) 为什么要用 1 去减？

标准正态分布表列出的是左侧面积 P(Z<z)P(Z<z)P(Z<z)。由于总面积为 111，右尾就是 P(Z>z)=1−P(Z<z)P(Z>z)=1-P(Z<z)P(Z>z)=1−P(Z<z)。

Q: 我需要检验二项概率之和是否为 1 吗？

并非必须，但这是一个又快又可靠的检验。若所有可能取值的概率之和为 111，你的各个数值几乎一定正确。

这些例题涵盖什么

这四道简单的概率分布例题，演练本章的两大主力：数固定次数试验中「成功」次数的二项分布，以及描述连续量（如质量、高度）的正态分布。你会算一个二项概率，求二项变量的平均数、方差与标准差，并由标准分数 $Z$ 读出两个直接的正态概率。

这里的数字都小而干净，让你不靠计算器也能看清每一行。请先把解答盖住，在纸上完整做一遍，再逐行对照。

凡是你的答案与我们分岔的那一步，往往正是真正学到东西的地方。

例题解析

四题全部做完。每一题都先自己完整做一遍，再看对应的解答，并留意同一套流程，先说出是哪种分布及其参数、写出公式、代入、再化简，如何贯穿每一题。

如何读标准正态分布表

标准正态分布表给出的是正 $z$ 的左侧面积 $P(Z<z)$ 。其余一切都由这一个事实推出：右尾是 $1-P(Z<z)$ ；负分数用对称性， $P(Z<-z)=1-P(Z<z)$ ；区间则是两个左侧面积之差。

随手画一条钟形曲线、把要求的区域涂上阴影，几乎能在所有符号错误发生之前就把它拦下。

Q1[3 marks]

一枚不均匀硬币掷出正面的概率为 $0.4$ 。把它掷 $3$ 次。

设 $X$ 为得到正面的次数，求 $P(X=2)$ 。

Show worked solution

这里 $X$ 服从二项分布，试验次数 $n=3$ ，成功概率 $p=0.4$ ，因此 $q=1-p=0.6$ 。用二项概率公式，取 $r=2$ ：

P(X=r)={}^{n}C_{r}\,p^{r}q^{n-r}

代入 $n=3$ 、 $r=2$ 、 $p=0.4$ 与 $q=0.6$ ：

P(X=2)={}^{3}C_{2}(0.4)^{2}(0.6)^{1}=3\times 0.16\times 0.6

P(X=2)=3\times 0.096=0.288

答案

$P(X=2)=0.288$ 。作为检验，四个概率 $P(0)=0.216$ 、 $P(1)=0.432$ 、 $P(2)=0.288$ 、 $P(3)=0.064$ 相加恰好等于 $1$ ，印证了计算无误。

Q2[4 marks]

某种种子发芽的概率为 $0.25$ 。园丁种下 $16$ 粒这样的种子。

设 $X$ 为发芽的数目，求 $X$ 的平均数、方差与标准差。

Show worked solution

$X$ 服从二项分布， $n=16$ 、 $p=0.25$ ，故 $q=0.75$ 。用 $\text{平均数}=np$ 、 $\text{方差}=npq$ 、 $\text{标准差}=\sqrt{npq}$ 。

\mu=np=16\times 0.25=4

\sigma^{2}=npq=16\times 0.25\times 0.75=3

\sigma=\sqrt{3}=1.732

答案

平均数是 $4$ ，方差是 $3$ ，标准差是 $\sqrt{3}\approx 1.732$ 。平均数 $4$ 合乎直觉： $16$ 粒种子里预期约四分之一会发芽。

Q3[3 marks]

一个水果的质量 $X$ 克服从正态分布，平均数为 $50$ 克，标准差为 $8$ 克。求 $P(X<58)$ 。

Show worked solution

用 $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ 标准化，其中 $\mu=50$ 、 $\sigma=8$ 。把 $X=58$ 化成 $Z$ 分数：

Z=\frac{58-50}{8}=\frac{8}{8}=1

于是 $P(X<58)=P(Z<1)$ 。直接查标准正态分布表：

P(Z<1)=0.8413

答案

$P(X<58)=0.8413$ 。由于 $58$ 恰好比平均数高一个标准差，约 $84\%$ 的水果都在它以下。

Q4[3 marks]

一株植物的高度 $X$ 厘米服从正态分布，平均数为 $100$ 厘米，标准差为 $15$ 厘米。求 $P(X>130)$ 。

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用 $\mu=100$ 、 $\sigma=15$ 把 $X=130$ 标准化：

Z=\frac{130-100}{15}=\frac{30}{15}=2

于是 $P(X>130)=P(Z>2)$ 。表给出的是左侧面积，所以用 $1$ 去减：

P(Z>2)=1-P(Z<2)=1-0.9772=0.0228

答案

$P(X>130)=0.0228$ 。高于 $130$ 厘米是高出平均数两个标准差，所以只有约 $2.3\%$ 的植物能达到。

两种分布，一个习惯：先说明你用的是哪种分布、它的参数是什么，剩下的就是仔细代入。那一句开场，往往就决定了分数是轻松到手还是白白流失。

要避开的常见失误

这里最容易丢分的有两点。其一是把两种分布搞混，数固定次数的试验要用二项，测量得到的量要用正态。

其二是忘了表是往左读的：求 $P(X>a)$ 必须用 $1$ 去减。先说明分布、写出公式、核对尾巴的方向，这两种错误就都不见了。

Q5[3 marks]

某工厂生产 LED 灯泡，每个灯泡有瑕疵的概率为 $0.2$ 。随机抽取 $4$ 个灯泡作为样本。

设 $X$ 为有瑕疵灯泡的数目，求 $P(X\geq 1)$ 。

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$X$ 服从二项分布，试验次数 $n=4$ ，瑕疵概率 $p=0.2$ ，因此 $q=1-p=0.8$ 。由于「至少一个」是「一个都没有」的对立事件，用互补法计算更快：

P(X\geq 1)=1-P(X=0)

代入 $n=4$ 、 $r=0$ 、 $p=0.2$ 、 $q=0.8$ ：

P(X=0)={}^{4}C_{0}(0.2)^{0}(0.8)^{4}=0.4096\;\Rightarrow\;P(X\geq 1)=1-0.4096=0.5904

答案

$P(X\geq 1)=0.5904$ 。先求互补事件 $P(X=0)$ ，比分别加总 $P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)$ 快得多。

Q6[3 marks]

学生完成一场小测所需的时间 $X$ 分钟服从正态分布，平均数为 $40$ 分钟，标准差为 $5$ 分钟。求 $P(35<X<45)$ 。

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用 $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ 把两个边界都标准化，其中 $\mu=40$ 、 $\sigma=5$ 。

Z_{1}=\frac{35-40}{5}=-1,\qquad Z_{2}=\frac{45-40}{5}=1

于是 $P(35<X<45)=P(-1<Z<1)=P(Z<1)-P(Z<-1)$ 。负值用对称性处理： $P(Z<-1)=1-P(Z<1)=1-0.8413=0.1587$ 。

P(-1<Z<1)=0.8413-0.1587=0.6826

答案

$P(35<X<45)=0.6826$ 。这正好对应常见的经验法则：正态分布中约 $68\%$ 的数值落在平均数正负一个标准差之内。

Q7[3 marks]

某种电池的寿命 $X$ 小时服从正态分布，平均数为 $200$ 小时，标准差为 $10$ 小时。已知 $P(X<k)=0.9332$ ，求 $k$ 的值。

Show worked solution

由于 $P(X<k)=0.9332$ 大于 $0.5$ ， $k$ 必定在平均数之上。查标准正态分布表，使 $P(Z<Z)=0.9332$ 的 $Z$ 值为 $Z=1.5$ 。

P(Z<1.5)=0.9332\;\Rightarrow\;Z=1.5

把标准化公式 $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ 反过来求 $k$ ，代入 $\mu=200$ 、 $\sigma=10$ ：

k=\mu+Z\sigma=200+1.5\times 10=215

答案

$k=215$ 小时。由于 $Z=1.5$ 为正， $k$ 应该落在平均数 $200$ 之上，而 $215$ 正是如此。

Q8[3 marks]

在一场选择题小测中，学生靠猜测答对一题的概率为 $0.3$ 。若一名学生对 $5$ 道相互独立的题目都用猜的， $X$ 为猜对的题数，求 $P(X\leq 1)$ 。

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$X$ 服从二项分布， $n=5$ 、 $p=0.3$ 、 $q=0.7$ 。 $P(X\leq 1)=P(X=0)+P(X=1)$ ，即最低的两个结果之和。

P(X\leq 1)=P(X=0)+P(X=1)

把 $n=5$ 、 $p=0.3$ 、 $q=0.7$ 代入每一项：

P(X\leq 1)={}^{5}C_{0}(0.3)^{0}(0.7)^{5}+{}^{5}C_{1}(0.3)^{1}(0.7)^{4}=0.16807+0.36015=0.52822\approx 0.5282

答案

$P(X\leq 1)\approx 0.5282$ 。「最多 $1$ 题」要把从 $0$ 到该值的每个结果都加起来，这与用互补法更快求出的「至少 $1$ 题」不同。

关键方法要点

这四道例题演练几乎每道 Add Math 概率分布题都要用到的日常动作。多做练习时，记住以下几点。

先说明分布及其参数，再做别的，二项要 $n$ 与 $p$ ；正态要 $\mu$ 与 $\sigma$ 。
二项概率用 $P(X=r)={}^{n}C_{r}\,p^{r}q^{n-r}$ ，其中 $q=1-p$ 。
二项变量： $\text{平均数}=np$ ， $\text{方差}=npq$ ， $\text{标准差}=\sqrt{npq}$ 。
任何正态概率，先用 $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ 标准化。
表给的是左侧面积 $P(Z<z)$ ；右尾用 $1-P(Z<z)$ 。
由于采用分析式评分，公式与代入正确，即使最后数字出错仍能拿到方法分。

老师如何帮忙

在简单的概率分布题上，丢分通常出自两种习惯之一：选错了分布，或看错标准正态分布表。在一对一课堂里，我们的老师会先检查第一行，用的是哪种分布、参数是什么，以及查表的那个数值，让小失误在变成习惯之前就被纠正。

我们的老师经验丰富，所以你学到的是每一步背后的道理，而不只是步骤。课程以英语授课，SPM 试卷以马来文和英文双语命题，因此这套记号在两种版本里对你都是同一个意思。

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常见问题

我怎么知道该用二项分布还是正态分布？

当你在固定次数、彼此独立、每次概率相同的试验里数「成功」次数时，用二项分布，例如 $3$ 次投掷里的正面数。当处理像质量、身高这类围绕平均数聚集的连续测量时，用正态分布。

二项公式里的

p

和

q

是什么？

$p$ 是单次试验成功的概率， $q=1-p$ 是失败的概率。两者永远相加为 $1$ ，所以知道其一就知道另一。

正态分布里求

P(X>a)

为什么要用

1

去减？

标准正态分布表列出的是左侧面积 $P(Z<z)$ 。由于总面积为 $1$ ，右尾就是 $P(Z>z)=1-P(Z<z)$ 。

我需要检验二项概率之和是否为

1

吗？

并非必须，但这是一个又快又可靠的检验。若所有可能取值的概率之和为 $1$ ，你的各个数值几乎一定正确。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

概率分布，例题（简单）

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