Taburan Kebarangkalian Contoh (Mudah)

Q: Bagaimana saya tahu sama ada hendak guna taburan binomial atau normal?

Guna binomial apabila anda mengira kejayaan dalam bilangan percubaan berasingan yang tetap, setiap satu dengan kebarangkalian sama, seperti kepala dalam 333 lambungan. Guna normal untuk ukuran selanjar seperti jisim atau tinggi yang berkumpul di sekitar min.

Q: Apakah p dan q dalam rumus binomial?

ppp ialah kebarangkalian kejayaan pada satu percubaan dan q=1−pq=1-pq=1−p ialah kebarangkalian kegagalan. Kedua-duanya sentiasa berjumlah 111, jadi apabila anda tahu satu, anda tahu yang satu lagi.

Q: Mengapa saya tolak daripada 1 untuk P(X>a) dalam taburan normal?

Jadual taburan normal piawai menyenaraikan luas di sebelah kiri, P(Z<z)P(Z<z)P(Z<z). Oleh sebab jumlah luas ialah 111, hujung kanan ialah P(Z>z)=1−P(Z<z)P(Z>z)=1-P(Z<z)P(Z>z)=1−P(Z<z).

Q: Perlukah saya menyemak bahawa kebarangkalian binomial saya berjumlah 1?

Ia tidak diwajibkan, tetapi ia semakan yang pantas dan boleh dipercayai. Jika kebarangkalian bagi semua nilai yang mungkin berjumlah 111, angka individu anda hampir pasti betul.

Apa yang diliputi contoh ini

Empat contoh Taburan Kebarangkalian mudah ini melatih dua tunjang bab ini: taburan binomial untuk mengira bilangan kejayaan dalam bilangan percubaan yang tetap, dan taburan normal untuk kuantiti selanjar seperti jisim atau tinggi. Anda akan mengira satu kebarangkalian binomial, mencari min, varians dan sisihan piawai bagi pemboleh ubah binomial, serta membaca dua kebarangkalian normal yang mudah daripada skor piawai $Z$ .

Setiap nombor di sini kecil dan kemas, jadi anda boleh mengikuti setiap baris tanpa bergelut dengan kalkulator. Tutup penyelesaian, cuba soalan sepenuhnya di atas kertas, dan barulah menyemak baris demi baris.

Di mana jawapan anda bercapah daripada kami, cari langkah tepat itu, baris itulah biasanya tempat pembelajaran sebenar berlaku.

Contoh kerja

Kerjakan keempat-empatnya. Cuba setiap satu sepenuhnya sebelum membaca penyelesaiannya, dan perhatikan bagaimana rutin yang sama, namakan taburan dan parameternya, tulis rumus, gantikan, kemudian permudahkan, mengalir dalam setiap soalan.

Membaca jadual normal piawai

Jadual taburan normal piawai memberi luas sebelah kiri $P(Z<z)$ bagi $z$ positif. Segala-galanya yang lain dibina daripada satu fakta itu: hujung kanan ialah $1-P(Z<z)$ ; skor negatif menggunakan kesimetrian, $P(Z<-z)=1-P(Z<z)$ ; dan selang ialah beza dua luas kiri.

Melakar lengkung loceng ringkas dan melorekkan rantau yang anda mahu menghentikan hampir setiap kesilapan tanda sebelum ia bermula.

Q1[3 marks]

Sekeping syiling berat sebelah mendarat kepala dengan kebarangkalian $0.4$ . Ia dilambung $3$ kali.

Jika $X$ ialah bilangan kepala yang diperoleh, cari $P(X=2)$ .

Show worked solution

Di sini $X$ mengikut taburan binomial dengan $n=3$ percubaan dan kebarangkalian kejayaan $p=0.4$ , jadi $q=1-p=0.6$ . Guna rumus kebarangkalian binomial dengan $r=2$ :

P(X=r)={}^{n}C_{r}\,p^{r}q^{n-r}

Gantikan $n=3$ , $r=2$ , $p=0.4$ dan $q=0.6$ :

P(X=2)={}^{3}C_{2}(0.4)^{2}(0.6)^{1}=3\times 0.16\times 0.6

P(X=2)=3\times 0.096=0.288

Jawapan

$P(X=2)=0.288$ . Sebagai semakan, empat kebarangkalian $P(0)=0.216$ , $P(1)=0.432$ , $P(2)=0.288$ dan $P(3)=0.064$ berjumlah tepat $1$ , yang mengesahkan kerja ini.

Q2[4 marks]

Sejenis biji benih bercambah dengan kebarangkalian $0.25$ . Seorang tukang kebun menanam $16$ biji benih sedemikian.

Jika $X$ ialah bilangan yang bercambah, cari min, varians dan sisihan piawai bagi $X$ .

Show worked solution

$X$ ialah binomial dengan $n=16$ dan $p=0.25$ , jadi $q=0.75$ . Guna $\text{min}=np$ , $\text{varians}=npq$ dan $\text{sisihan piawai}=\sqrt{npq}$ .

\mu=np=16\times 0.25=4

\sigma^{2}=npq=16\times 0.25\times 0.75=3

\sigma=\sqrt{3}=1.732

Jawapan

Min ialah $4$ , varians ialah $3$ , dan sisihan piawai ialah $\sqrt{3}\approx 1.732$ . Min $4$ itu munasabah: satu perempat daripada $16$ biji benih dijangka bercambah.

Q3[3 marks]

Jisim sebiji buah, $X$ gram, tertabur secara normal dengan min $50$ g dan sisihan piawai $8$ g. Cari $P(X<58)$ .

Show worked solution

Piawaikan dengan $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ , menggunakan $\mu=50$ dan $\sigma=8$ . Tukar $X=58$ kepada skor $Z$ :

Z=\frac{58-50}{8}=\frac{8}{8}=1

Jadi $P(X<58)=P(Z<1)$ . Baca terus daripada jadual taburan normal piawai:

P(Z<1)=0.8413

Jawapan

$P(X<58)=0.8413$ . Oleh sebab $58$ ialah tepat satu sisihan piawai di atas min, lebih sedikit daripada $84\%$ buah terletak di bawahnya.

Q4[3 marks]

Tinggi sebatang pokok, $X$ cm, tertabur secara normal dengan min $100$ cm dan sisihan piawai $15$ cm. Cari $P(X>130)$ .

Show worked solution

Piawaikan $X=130$ menggunakan $\mu=100$ dan $\sigma=15$ :

Z=\frac{130-100}{15}=\frac{30}{15}=2

Jadi $P(X>130)=P(Z>2)$ . Jadual memberi luas di sebelah kiri, jadi tolak daripada $1$ :

P(Z>2)=1-P(Z<2)=1-0.9772=0.0228

Jawapan

$P(X>130)=0.0228$ . Tinggi melebihi $130$ cm ialah dua sisihan piawai di atas min, jadi hanya kira-kira $2.3\%$ pokok mencapainya.

Dua taburan, satu tabiat: nyatakan taburan yang anda gunakan dan parameternya dahulu, kemudian selebihnya ialah penggantian yang teliti. Baris pembukaan itu selalunya menentukan sama ada markah datang dengan mudah atau tergelincir.

Kesilapan lazim yang perlu dielakkan

Dua kesilapan paling banyak meragut markah di sini. Pertama ialah mengelirukan taburan, mengira bilangan percubaan yang tetap memerlukan binomial, manakala kuantiti yang diukur memerlukan normal.

Kedua ialah lupa bahawa jadual membaca ke kiri: bagi $P(X>a)$ anda mesti tolak daripada $1$ . Namakan taburan, tulis rumus, dan semak arah hujung, maka kedua-dua ralat lenyap.

Q5[3 marks]

Sebuah kilang menghasilkan mentol LED, dan kebarangkalian sebiji mentol itu rosak ialah $0.2$ . Suatu sampel rawak $4$ biji mentol dipilih.

Jika $X$ ialah bilangan mentol yang rosak, cari $P(X\geq 1)$ .

Show worked solution

$X$ mengikut taburan binomial dengan $n=4$ percubaan dan kebarangkalian rosak $p=0.2$ , jadi $q=1-p=0.8$ . Guna peraturan pelengkap, kerana "sekurang-kurangnya satu" ialah lawan kepada "tiada satu pun":

P(X\geq 1)=1-P(X=0)

Gantikan $n=4$ , $r=0$ , $p=0.2$ dan $q=0.8$ :

P(X=0)={}^{4}C_{0}(0.2)^{0}(0.8)^{4}=0.4096\;\Rightarrow\;P(X\geq 1)=1-0.4096=0.5904

Jawapan

$P(X\geq 1)=0.5904$ . Mencari pelengkap $P(X=0)$ dahulu jauh lebih pantas berbanding menjumlahkan $P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)$ secara berasingan.

Q6[3 marks]

Masa yang diambil oleh pelajar untuk melengkapkan satu kuiz, $X$ minit, tertabur secara normal dengan min $40$ minit dan sisihan piawai $5$ minit. Cari $P(35<X<45)$ .

Show worked solution

Piawaikan kedua-dua sempadan dengan $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ , menggunakan $\mu=40$ dan $\sigma=5$ .

Z_{1}=\frac{35-40}{5}=-1,\qquad Z_{2}=\frac{45-40}{5}=1

Jadi $P(35<X<45)=P(-1<Z<1)=P(Z<1)-P(Z<-1)$ . Guna kesimetrian bagi nilai negatif: $P(Z<-1)=1-P(Z<1)=1-0.8413=0.1587$ .

P(-1<Z<1)=0.8413-0.1587=0.6826

Jawapan

$P(35<X<45)=0.6826$ . Ini sepadan dengan peraturan lazim bahawa kira-kira $68\%$ nilai dalam taburan normal terletak dalam lingkungan satu sisihan piawai daripada min.

Q7[3 marks]

Jangka hayat sejenis bateri, $X$ jam, tertabur secara normal dengan min $200$ jam dan sisihan piawai $10$ jam. Diberi $P(X<k)=0.9332$ , cari nilai $k$ .

Show worked solution

Oleh sebab $P(X<k)=0.9332$ melebihi $0.5$ , $k$ mesti terletak di atas min. Daripada jadual normal piawai, nilai $Z$ dengan $P(Z<Z)=0.9332$ ialah $Z=1.5$ .

P(Z<1.5)=0.9332\;\Rightarrow\;Z=1.5

Susun semula rumus piawaian $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ untuk mencari $k$ , menggunakan $\mu=200$ dan $\sigma=10$ :

k=\mu+Z\sigma=200+1.5\times 10=215

Jawapan

$k=215$ jam. Oleh sebab $Z=1.5$ positif, $k$ sepatutnya terletak di atas min $200$ , dan $215$ memang begitu.

Q8[3 marks]

Dalam satu kuiz aneka pilihan, kebarangkalian seorang pelajar menjawab betul dengan meneka ialah $0.3$ . Jika seorang pelajar meneka jawapan bagi $5$ soalan tak bersandar, dan $X$ ialah bilangan tekaan yang betul, cari $P(X\leq 1)$ .

Show worked solution

$X$ mengikut taburan binomial dengan $n=5$ , $p=0.3$ , $q=0.7$ . $P(X\leq 1)=P(X=0)+P(X=1)$ , iaitu jumlah dua hasil terendah.

P(X\leq 1)=P(X=0)+P(X=1)

Gantikan $n=5$ , $p=0.3$ , $q=0.7$ bagi setiap sebutan:

P(X\leq 1)={}^{5}C_{0}(0.3)^{0}(0.7)^{5}+{}^{5}C_{1}(0.3)^{1}(0.7)^{4}=0.16807+0.36015=0.52822\approx 0.5282

Jawapan

$P(X\leq 1)\approx 0.5282$ . "Paling banyak $1$ " sentiasa bermaksud menjumlahkan setiap hasil bermula $0$ hingga nilai itu, berbeza daripada "sekurang-kurangnya $1$ " yang lebih pantas dicari menggunakan pelengkap.

Poin kaedah utama

Empat contoh ini melatih gerak harian yang membuka hampir setiap soalan Taburan Kebarangkalian dalam Add Math. Ingat poin berikut semasa anda berlatih lebih banyak.

Namakan taburan dan parameternya sebelum apa-apa lagi, binomial perlukan $n$ dan $p$ ; normal perlukan $\mu$ dan $\sigma$ .
Untuk kebarangkalian binomial, guna $P(X=r)={}^{n}C_{r}\,p^{r}q^{n-r}$ dengan $q=1-p$ .
Untuk pemboleh ubah binomial, $\text{min}=np$ , $\text{varians}=npq$ dan $\text{sisihan piawai}=\sqrt{npq}$ .
Untuk sebarang kebarangkalian normal, piawaikan dahulu dengan $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ .
Jadual memberi luas kiri $P(Z<z)$ ; untuk hujung kanan guna $1-P(Z<z)$ .
Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, rumus dan penggantian yang betul boleh memperoleh markah kaedah walaupun angka akhir tergelincir.

Bagaimana guru membantu

Pada soalan Taburan Kebarangkalian yang mudah, markah biasanya hilang kerana salah satu daripada dua tabiat: memilih taburan yang salah, atau tersilap membaca jadual normal piawai. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami menyemak baris pertama, taburan dan parameternya, serta entri jadual yang tepat, supaya kesilapan kecil dibetulkan sebelum ia menjadi rutin.

Guru kami berpengalaman, jadi anda belajar sebab di sebalik langkah, bukan hanya caranya. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya tahu sama ada hendak guna taburan binomial atau normal?

Guna binomial apabila anda mengira kejayaan dalam bilangan percubaan berasingan yang tetap, setiap satu dengan kebarangkalian sama, seperti kepala dalam $3$ lambungan. Guna normal untuk ukuran selanjar seperti jisim atau tinggi yang berkumpul di sekitar min.

Apakah

p

dan

q

dalam rumus binomial?

$p$ ialah kebarangkalian kejayaan pada satu percubaan dan $q=1-p$ ialah kebarangkalian kegagalan. Kedua-duanya sentiasa berjumlah $1$ , jadi apabila anda tahu satu, anda tahu yang satu lagi.

Mengapa saya tolak daripada

1

untuk

P(X>a)

dalam taburan normal?

Jadual taburan normal piawai menyenaraikan luas di sebelah kiri, $P(Z<z)$ . Oleh sebab jumlah luas ialah $1$ , hujung kanan ialah $P(Z>z)=1-P(Z<z)$ .

Perlukah saya menyemak bahawa kebarangkalian binomial saya berjumlah

1

Ia tidak diwajibkan, tetapi ia semakan yang pantas dan boleh dipercayai. Jika kebarangkalian bagi semua nilai yang mungkin berjumlah $1$ , angka individu anda hampir pasti betul.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Taburan Kebarangkalian, Contoh Kerja (mudah)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?