概率分布练习题 | SPM Add Math

Q: 怎样判断该用二项分布还是正态分布？

当你有固定次数的独立试验、并在数有多少次成功时，用二项分布，这是离散的整数计数，X∼B(n,p)X\sim B(n,p)X∼B(n,p)。当变量是由平均值和标准差描述的连续测量时，用正态分布，X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^{2})X∼N(μ,σ2)。

Q: 求 P(X\ge 1) 最快的方法是什么？

用互补事件：P(X≥1)=1−P(X=0)P(X\ge 1)=1-P(X=0)P(X≥1)=1−P(X=0)。不必把从 111 往上的每一种情况都加起来，只需算出单项 P(X=0)=q nP(X=0)=q^{\,n}P(X=0)=qn，再用 111 去减。这就是「至少一个」的标准捷径。

Q: 当 Z 值为负时，该怎样查表？

标准正态曲线关于 000 对称，所以 P(Z<−a)=P(Z>a)P(Z<-a)=P(Z>a)P(Z<−a)=P(Z>a)。在表中查正值 aaa 并直接使用。读数之前，务必先画出曲线并把所求区域涂上阴影。

Q: 二项分布的平均值与方差是什么？

对 X∼B(n,p)X\sim B(n,p)X∼B(n,p)，平均值为 μ=np\mu=npμ=np，方差为 σ2=npq\sigma^{2}=npqσ2=npq，其中 q=1−pq=1-pq=1−p。标准差为 σ=npq\sigma=\sqrt{npq}σ=npq；开平方要留到最后一步再做。

如何使用这些练习题

下面六道题的难度贯穿整章，从单个二项概率，一直到求正态分布中未知的平均值，逐题加深。每题给自己大约五到八分钟，先在纸上做，像真正考试那样写下每一行，写出分布及其参数、所用的公式、清楚的代入，然后写出最终概率。

做正态分布题时把标准正态分布表放在手边，并忍住偷看的冲动。

只有当你真正把完整答案写出来之后，才打开解答，逐行给自己评分。当你的算法和我们的不同，就停在两者开始分岔的那一行；那一步几乎总是丢分的地方。

由于 Add Math 采用分析式评分，即使最后四舍五入出错，正确写出的公式和正确的 $Z$ 值仍能拿分，所以务必先写公式再代入，并记住每一个概率都必须介于 $0$ 与 $1$ 之间。

六道练习题

Q1[3 marks]

离散随机变量 $X$ 服从二项分布， $n=5$ 、 $p=0.2$ ，记作 $X\sim B(5,\,0.2)$ 。求 $P(X=2)$ 。

Show worked solution

用二项公式 $P(X=r)={}^{n}C_{r}\,p^{r}\,q^{\,n-r}$ ，其中 $q=1-p=0.8$ 。代入 $n=5$ 、 $r=2$ ：

P(X=2)={}^{5}C_{2}\,(0.2)^{2}\,(0.8)^{3}

=10\times 0.04\times 0.512=0.2048

答案

$P(X=2)=0.2048$ 。检验各部分： ${}^{5}C_{2}=10$ 、 $(0.2)^{2}=0.04$ 、 $(0.8)^{3}=0.512$ ；其乘积为 $0.2048$ ，介于 $0$ 与 $1$ 之间，符合概率的要求。

Q2[3 marks]

离散随机变量 $X$ 服从 $X\sim B(25,\,0.2)$ 。求 $X$ 的平均值与标准差。

Show worked solution

对二项分布，平均值为 $\mu=np$ ，方差为 $\sigma^{2}=npq$ ，其中 $q=1-p=0.8$ 。先求平均值：

\mu=np=25\times 0.2=5

再求方差，然后开平方得到标准差：

\sigma^{2}=npq=25\times 0.2\times 0.8=4

\sigma=\sqrt{4}=2

答案

平均值为 $5$ ，标准差为 $2$ 。作为检验，这里标准差小于平均值，对这样参数的二项分布来说是常见的。

Q3[4 marks]

离散随机变量 $X$ 服从 $X\sim B(5,\,0.4)$ 。求 $P(X\ge 1)$ 。

Show worked solution

把 $P(X=1)$ 一直加到 $P(X=5)$ 太费时，所以用互补事件： $P(X\ge 1)=1-P(X=0)$ 。其中 $q=1-0.4=0.6$ ：

P(X=0)={}^{5}C_{0}\,(0.4)^{0}\,(0.6)^{5}=(0.6)^{5}=0.07776

P(X\ge 1)=1-0.07776=0.92224

答案

$P(X\ge 1)=0.9222$ （保留四位小数）。凡是问「至少一个」，互补事件都是捷径：算出单项 $P(X=0)$ ，再用 $1$ 去减。

Q4[4 marks]

连续随机变量 $X$ 服从正态分布，平均值为 $50$ ，标准差为 $10$ ，即 $X\sim N(50,\,10^{2})$ 。求 $P(X>65)$ 。

Show worked solution

用 $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ 标准化，取 $\mu=50$ 、 $\sigma=10$ ，把 $X=65$ 化为 $Z$ 值：

Z=\frac{65-50}{10}=\frac{15}{10}=1.5

P(X>65)=P(Z>1.5)

查标准正态分布表， $P(Z>1.5)=0.0668$ 。

答案

$P(X>65)=0.0668$ 。由于 $65$ 在平均值之上，这个尾部概率远小于 $0.5$ ，量级合理。

Q5[4 marks]

连续随机变量 $X$ 服从正态分布，平均值为 $60$ ，标准差为 $8$ ，即 $X\sim N(60,\,8^{2})$ 。求 $P(52<X<76)$ 。

Show worked solution

用 $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ 把两个端点都标准化，取 $\mu=60$ 、 $\sigma=8$ ：

Z_{1}=\frac{52-60}{8}=-1 \qquad Z_{2}=\frac{76-60}{8}=2

P(52<X<76)=P(-1<Z<2)

查表得 $P(Z>2)=0.0228$ ， $P(Z>1)=0.1587$ 。把区间写成 $P(Z<2)-P(Z<-1)$ ，并利用对称性 $P(Z<-1)=P(Z>1)$ ：

P(-1<Z<2)=\big(1-0.0228\big)-0.1587

=0.9772-0.1587=0.8185

答案

$P(52<X<76)=0.8185$ 。该区间横跨平均值且范围较宽，所以得到较大的概率正是我们所预期的。

Q6[5 marks]

连续随机变量 $X$ 服从正态分布，平均值为 $\mu$ ，标准差为 $5$ 。已知 $P(X>30)=0.1587$ ，(a) 求 $\mu$ ，(b) 据此求 $P(X<20)$ 。

Show worked solution

(a) 先找出使 $P(Z>z)=0.1587$ 的 $Z$ 值。查标准正态表得 $z=1$ 。

再把 $X=30$ 标准化，并令其 $Z$ 值等于 $1$ ：

\frac{30-\mu}{5}=1 \;\Rightarrow\; 30-\mu=5 \;\Rightarrow\; \mu=25

(b) 取 $\mu=25$ 、 $\sigma=5$ ，把 $X=20$ 标准化，再用对称性：

Z=\frac{20-25}{5}=-1

P(X<20)=P(Z<-1)=P(Z>1)=0.1587

答案

$\mu=25$ ， $P(X<20)=0.1587$ 。它等于已知的 $P(X>30)$ ，这是合理的： $20$ 与 $30$ 各自距平均值 $25$ 恰好 $5$ 个单位，即一个标准差，分处两侧，所以两个尾部概率相等。

如何像考官那样给自己评分

Add Math 采用分析式评分，也就是分数挂在步骤上，而不仅是最后那个数字。检查自己的答卷时，要像考官那样给自己算分：看分布是否正确、公式或 $Z$ 值是否正确、最终概率是否清楚。

方法分：你是否写出了正确的公式，二项 $P(X=r)={}^{n}C_{r}\,p^{r}q^{\,n-r}$ 、平均值 $np$ 与方差 $npq$ ，或标准化 $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ ？
参数分：对二项， $n$ 、 $p$ 与 $q=1-p$ 是否正确，每个因子上的指数是否正确？对正态，分母里用的是 $\sigma$ （而非 $\sigma^{2}$ ）吗？
对「至少一个」：你是否用了互补事件 $1-P(X=0)$ ，而不是冗长的求和？
对正态概率： $Z$ 值是否正确，查表是否按尾部 $P(Z>z)$ 来读，负的 $Z$ 是否用了对称性 $P(Z<-a)=P(Z>a)$ ？
答案分：最终概率是否介于 $0$ 与 $1$ 之间？任何超出此范围的值都立刻提示某一步出错了。

老师如何帮忙

自我评分很有用，但要看清自己的盲点却很难。在一对一的课堂上，我们的老师会盯住丢分的那一行，该用标准差却用了方差、把表的尾部读错了一侧，或把「至少」用冗长的方法而不是互补事件来做，并当场纠正这个习惯。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是能讲清楚何时该用二项、何时该用正态的人。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此我们会确保这套记号在两种版本里对你都是同一个意思。

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常见问题

怎样判断该用二项分布还是正态分布？

当你有固定次数的独立试验、并在数有多少次成功时，用二项分布，这是离散的整数计数， $X\sim B(n,p)$ 。当变量是由平均值和标准差描述的连续测量时，用正态分布， $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ 。

求

P(X\ge 1)

最快的方法是什么？

用互补事件： $P(X\ge 1)=1-P(X=0)$ 。不必把从 $1$ 往上的每一种情况都加起来，只需算出单项 $P(X=0)=q^{\,n}$ ，再用 $1$ 去减。

这就是「至少一个」的标准捷径。

当

Z

值为负时，该怎样查表？

标准正态曲线关于 $0$ 对称，所以 $P(Z<-a)=P(Z>a)$ 。在表中查正值 $a$ 并直接使用。

读数之前，务必先画出曲线并把所求区域涂上阴影。

二项分布的平均值与方差是什么？

对 $X\sim B(n,p)$ ，平均值为 $\mu=np$ ，方差为 $\sigma^{2}=npq$ ，其中 $q=1-p$ 。标准差为 $\sigma=\sqrt{npq}$ ；开平方要留到最后一步再做。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

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如何使用这些练习题

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如何像考官那样给自己评分

老师如何帮忙

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